班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

一、选择题

海东市高中 2018-2019 学年高二下学期第一次月考试卷数学

1． 已知 f（x）=

，g（x）= （k∈N*），对任意的 c＞1，存在实数 a，b 满足 0＜a＜b＜c，使得 f（c）

=f（a）=g（b），则 k 的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

2． 已知 a 为常数，则使得

成立的一个充分而不必要条件是（ ）

A．a＞0

B．a＜0

C．a＞e

D．a＜e

3． 复数 (1? i)2 的值是（

）

3?i

A． ? 1 ? 3 i 44

B． 1 ? 3 i 44

C． ? 1 ? 3 i 55

D． 1 ? 3 i 55

【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．

4． 在复平面内，复数 z 所对应的点为 (2, ?1) ， i 是虚数单位，则 z ? （

）

1? i

A． ?3 ? i

B． ?3 ? i

C． 3 ? i

D． 3 ? i

5． 曲线 y=ex 在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（

）

A． e2 B．2e2 C．e2 D． e2

6． 数列{an}的通项公式为 an=﹣n+p，数列{bn}的通项公式为 bn=2n﹣5，设 cn=

中 c8＞cn（n∈N*，n≠8），则实数 p 的取值范围是（

）

A．（11，25） B．（12，16] C．（12，17） D．[16，17）

，若在数列{cn}

7． 设复数 z ?1?i （ i 是虚数单位），则复数 2 ? z2 ? （

）

z

A.1? i

B.1? i

C. 2 ? i D. 2 ?i

【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．

8． 已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R，都有 f（x+2）=f（x）．当 0≤x≤1 时，f（x）

=x2．若直线 y=x+a 与函数 y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是（

）

A．0 B．0 或

C． 或

D．0 或

9． 有下列四个命题：

①“若 a2+b2=0，则 a，b 全为 0”的逆否命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若“q≤1”，则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题．

其中真命题为（ ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．③④

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10．（2011 辽宁）设 sin（ +θ）= ，则 sin2θ=（ ）

A．﹣

B．﹣

C．

D．

11．若 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆

tan∠PF1F2= ，则此椭圆的离心率为（

A．

B．

C． D．

=1（a＞b＞0）上的一点，且 ）

=0，

12．已知 x，y 满足约束条件

，使 z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为（ ）

A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1

二、填空题

13．函数 f（x）=loga（x﹣1）+2（a＞0 且 a≠1）过定点 A，则点 A 的坐标为

．

14．已知过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的右焦点 F2 的直线交双曲线于 A, B 两点，连结 AF1, BF1 ，若

| AB |?| BF1 | ，且 ?ABF1 ? 90? ，则双曲线的离心率为（ ）

A． 5 ? 2 2

B． 5 ? 2 2

C． 6 ? 3 2

D． 6 ?3 2

【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思 想、方程思想、转化思想． 15．给出下列命题： ①把函数 y=sin（x﹣ ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y=sin（2x﹣ ）； ②若 α ，β 是第一象限角且 α ＜β ，则 cosα ＞cosβ ； ③x=﹣ 是函数 y=cos（2x+ π ）的一条对称轴； ④函数 y=4sin（2x+ ）与函数 y=4cos（2x﹣ ）相同；

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⑤y=2sin（2x﹣ ）在是增函数；

则正确命题的序号

．

16．设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=

其中 a，

b∈R．若

=

17．直线 l：

是

．

，则 a+3b 的值为 ． （t 为参数）与圆 C：

（θ 为参数）相交所得的弦长的取值范围

18．曲线 y=x2 和直线 x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．

三、解答题 19．设锐角三角形 ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c a ? 2bsin A． （1）求角 B 的大小； （2）若 a ? 3 3 ， c ? 5 ，求．

20．已知向量 ， 满足| |=1，| |=2， 与 的夹角为 120°． （1）求 及| + |； （2）设向量 + 与 ﹣ 的夹角为 θ，求 cosθ 的值．

21．已知函数 θ ∈（0，π ）， （1）求 θ 的值； （2）当 m=0 时，求函数 f（x）的单调区间和极值；

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上为增函数，且 ，m∈R．

（3）若在上至少存在一个 x0，使得 f（x0）＞g（x0）成立，求 m 的取值范围．

22．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an=3Sn﹣2（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{nan}的前 n 项和 Tn．

23．（本小题满分 12 分）

设?

?

? ??

0

，? 3

? ??

，满足

6 sin ? ?

2 cos ? ?

3．

（1）求

cos

????

?

? 6

? ??

的值；

（2）求

cos

? ??

2?

?

? 12

? ??

的值．

24．已知 f（x）=x2﹣3ax+2a2． （1）若实数 a=1 时，求不等式 f（x）≤0 的解集； （2）求不等式 f（x）＜0 的解集．

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海东市高中 2018-2019 学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵f（x）=

，g（x）= （k∈N*），

对任意的 c＞1，存在实数 a，b 满足 0＜a＜b＜c，使得 f（c）=f（a）=g（b），

∴可得：

＞ ，对于 x＞1 恒成立．

设 h（x）=x?

，h′（x）=

，且 y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣ ＞0 在 x＞1 成立，

∴即 3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0， 故存在 x0∈（3，4）使得 f（x）≥f（x0）＞3， ∴k 的最大值为 3． 故选：B 【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．

2． 【答案】C 【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx =lne﹣ln1=1

因此，不等式即

即 a＞1，对应的集合是（1，+∞）

将此范围与各个选项加以比较，只有 C 项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是 a＞e 故选：C 【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公 式和充要条件的判断等知识，属于基础题．

3． 【答案】 C

【解析】 (1 ? i)2 ? 2i ? 2i(3 ? i) ? ? 2 ? 6i ? ? 1 ? 3 i ．

3 ? i 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10

55

4． 【答案】D

【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算， z ? 2 ? i ， z ? (1? i)(2 ? i) ? 3 ? i ，选 D． 1? i

5． 【答案】D

【解析】解析：依题意得 y′=ex， 因此曲线 y=ex 在点 A（2，e2）处的切线的斜率等于 e2， 相应的切线方程是 y﹣e2=e2（x﹣2）， 当 x=0 时，y=﹣e2

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即 y=0 时，x=1， ∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： S= ×e2×1= ．

故选 D．

6． 【答案】C 【解析】解：当 an≤bn 时，cn=an，当 an＞bn 时，cn=bn，∴cn 是 an，bn 中的较小者， ∵an=﹣n+p，∴{an}是递减数列， ∵bn=2n﹣5，∴{bn}是递增数列， ∵c8＞cn（n≠8），∴c8 是 cn 的最大者， 则 n=1，2，3，…7，8 时，cn 递增，n=8，9，10，…时，cn 递减， ∴n=1，2，3，…7 时，2n﹣5＜﹣n+p 总成立， 当 n=7 时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11， n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p 总成立， 当 n=9 时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25， 而 c8=a8 或 c8=b8， 若 a8≤b8，即 23≥p﹣8，∴p≤16， 则 c8=a8=p﹣8， ∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12， 故 12＜p≤16，

若 a8＞b8，即 p﹣8＞28﹣5，∴p＞16， ∴c8=b8=23， 那么 c8＞c9=a9，即 8＞p﹣9， ∴p＜17， 故 16＜p＜17， 综上，12＜p＜17． 故选：C．

7． 【答案】A

【

解

析

】

8． 【答案】D 【解析】解：∵f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=x2， ∴当﹣1≤x≤0 时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x）， 又 f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为 2 的函数，

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又直线 y=x+a 与函数 y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：

当 a=0 时，直线 y=x+a 变为直线 l1，其方程为：y=x，显然，l1 与函数 y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不 同的公共点； 当 a≠0 时，直线 y=x+a 与函数 y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线 y=x+a 与 函数 y=f（x）相切，切点的横坐标 x0∈[0，1]．

由

得：x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0 得 a=﹣ ，此时，x0=x= ∈[0，1]．

综上所述，a=﹣ 或 0 故选 D．

9． 【答案】B 【解析】解：①由于“若 a2+b2=0，则 a，b 全为 0”是真命题，因此其逆否命题是真命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确； ③若 x2+2x+q=0 有实根，则△=4﹣4q≥0，解得 q≤1，因此“若“q≤1”，则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题是真命 题； ④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题． 综上可得：真命题为：①③． 故选：B． 【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

10．【答案】A

【解析】解：由 sin（ +θ）=sin cosθ+cos sinθ= （sinθ+cosθ）= ，

两边平方得：1+2sinθcosθ= ，即 2sinθcosθ=﹣ ，

则 sin2θ=2sinθcosθ=﹣ ． 故选 A

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【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值，是一道基础题．

11．【答案】A 【解析】解：∵ ∴

∵Rt△PF1F2 中，

，即△PF1F2 是 P 为直角顶点的直角三角形． ，

∴

= ，设 PF2=t，则 PF1=2t

∴

又∵根据椭圆的定义，得 2a=PF1+PF2=3t

∴此椭圆的离心率为 e= =

=

=

=2c，

故选 A 【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查 了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

12．【答案】D 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由 z=ax+y，得 y=﹣ax+z， 若 a=0，此时 y=z，此时函数 y=z 只在 B 处取得最小值，不满足条件． 若 a＞0，则目标函数的斜率 k=﹣a＜0． 平移直线 y=﹣ax+z， 由图象可知当直线 y=﹣ax+z 和直线 x+y=1 平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即 a=1． 若 a＜0，则目标函数的斜率 k=﹣a＞0． 平移直线 y=﹣ax+z， 由图象可知当直线 y=﹣ax+z，此时目标函数只在 C 处取得最小值，不满足条件． 综上 a=1． 故选：D．

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用 z 的几何意义是解决 本题的关键．注意要对 a 进行分类讨论．

二、填空题

13．【答案】 （2，2） ．

【解析】解：∵loga1=0， ∴当 x﹣1=1，即 x=2 时，y=2， 则函数 y=loga（x﹣1）+2 的图象恒过定点 （2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用 loga1=0，属于基础题．

14．【答案】B

【

解

析

】

15．【答案】 【解析】解：对于①，把函数 y=sin（x﹣

到函数 y=sin（2x﹣

），故①正确．

）图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得

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对于②，当 α ，β 是第一象限角且 α ＜β ，如 α =30°，β =390°，则此时有 cosα =cosβ =

，故②错

误． 对于③，当 x=﹣

时，2x+ π =π ，函数 y=cos（2x+ π ）=﹣1，为函数的最小值，故 x=﹣

是函

数 y=cos（2x+ π ）的一条对称轴，故③正确．

对于④，函数 y=4sin（2x+

）=4cos[

﹣（2x+

）]=4cos（

﹣2）=4cos（2x﹣

），

故函数 y=4sin（2x+

）与函数 y=4cos（2x﹣

）相同，故④正确．

对于⑤，在上，2x﹣ 故答案为：①③④．

∈，函数 y=2sin（2x﹣

）在上没有单调性，故⑤错误，

16．【答案】 ﹣10 ．

【解析】解：∵f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，f（x）=

，

∴f（ ）=f（﹣ ）=1﹣ a，f（ ）= ；又

=

，

∴1﹣ a= ①

又 f（﹣1）=f（1）， ∴2a+b=0，② 由①②解得 a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10． 故答案为：﹣10．

17．【答案】 [4 ，16] ．

【解析】解：直线 l：

（t 为参数），

化为普通方程是 =

，

即 y=tanα?x+1；

圆 C 的参数方程

（θ 为参数），

化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；

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画出图形，如图所示

；

∵直线过定点（0，1），

∴直线被圆截得的弦长的最大值是 2r=16，

最小值是 2

=2×

=2× =4

∴弦长的取值范围是[4 ，16]．

故答案为：[4 ，16]．

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形

结合，容易解答本题．

18．【答案】

．

【解析】解：∵曲线 y=x2 和直线：x=1 的交点为（1，1），和直线 y= 的一个交点为（ ， ）

∴曲线 y=x2 和直线 x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 S= （

）dx+

dx=（ x

﹣ x3） +（ x3﹣ x） = ． 故答案为： ．

三、解答题 19．【答案】（1） B ? ? ；（2） b ? 7 ．

6

【解析】1111]

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（2）根据余弦定理，得

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 ， 所以 b ? 7 .

考点：正弦定理与余弦定理． 20．【答案】

【解析】解：（1）

=

；

∴

=

；

∴

；

（2）同理可求得

；

；

∴

=

．

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据 余弦的计算公式．

求

的方法，以及向量夹角

21．【答案】 【解析】解：（1）∵函数 增函数，

∴g′（x）=﹣

+ ≥0 在，mx﹣ ≤0，﹣2lnx﹣

∴在上不存在一个 x0，使得 f（x0）＞g（x0）成立．

②当 m＞0 时，F′（x）=m+

﹣=

∵x∈，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0， ∴F′（x）＞0 在恒成立． 故 F（x）在上单调递增，

＜0， ，

上为

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F（x） max=F（e）=me﹣ ﹣4，

只要 me﹣ ﹣4＞0，解得 m＞

．

故 m 的取值范围是（

，+∞）

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对 数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵an=3Sn﹣2， ∴an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2）， 两式相减得：an﹣an﹣1=3an， 整理得：an=﹣ an﹣1（n≥2）， 又∵a1=3S1﹣2，即 a1=1， ∴数列{an}是首项为 1、公比为﹣ 的等比数列，

∴其通项公式 an=（﹣1）n﹣1?

；

（2）由（1）可知 nan=（﹣1）n﹣1?

，

∴Tn=1?1+（﹣1）?2? +…+（﹣1）n﹣2?（n﹣1）?

+（﹣1）n﹣1?

，

∴﹣ Tn=1?（﹣1）? +2? +…+（﹣1）n﹣1?（n﹣1）?

+（﹣1）n?n? ，

错位相减得： Tn=1+[﹣ + ﹣ +…+（﹣1）n﹣1?

]﹣（﹣1）n?n?

=1+

﹣（﹣1）n?n?

= +（﹣1）n﹣1?

?，

∴Tn= [ +（﹣1）n﹣1?

? ]= +（﹣1）n﹣1?

?

．

【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题 方法的积累，属于中档题．

23．【答案】（1） 10 ；（2） 30 ? 2 ．

4

8

【解析】

第 14 页，共 15 页

试题分析：（1）由

6 sin? ?

2 cos? ?

3?

sin

? ??

?

?

? 6

? ??

?

6 4

，又

?

?

? ??

0

，? 3

? ??

?

?

?

? 6

?

? ??

? 6

，? 2

? ??

?

cos

????

?

? 6

? ??

?

10 4

；（2）由（1）可得

cos

? ??

2?

?

? 3

? ??

?

2

cos2

? ??

?

?

? 6

? ??

?

1

?

1 4

?

sin

? ??

2?

?

? 3

? ??

?

15 4

?

cos

? ??

2?

?

? 12

? ??

?

cos

?? ????

2?

?

? 3

? ??

?

? 4

? ??

?

cos

? ??

2?

?

? 3

? ??

cos

? 4

?

sin

? ??

2?

?

? 3

??? sin

? 4

?

30 ? 8

2．

试题解析：（1）∵

6 sin? ?

2 cos? ?

3

，∴

sin

????

?

? 6

? ??

?

6 ，………………………………3 分 4

∵

?

?

? ??

0

，? 3

? ??

，∴

?

?

? 6

?

? ??

? 6

，? 2

? ??

，∴

cos

????

?

? 6

? ??

?

10 ．………………………………6 分 4

（2）由（1）可得

cos

? ??

2?

?

? 3

? ??

?

2 cos

2

????

?

? 6

? ??

?1

?

2

?

? ???

10 4

?2 ???

?1

?

1 4

．………………………………8

分

∵

?

?

? ??

0

，? 3

? ??

，∴

2?

?

? 3

?

? ??

? 3

，?

? ??

，∴

sin

? ??

2?

?

? 3

? ??

?

15 ．……………………………………10 分 4

∴

cos

? ??

2?

?

? 12

? ??

?

cos

?? ????

2?

?

? 3

? ??

?

? 4

? ? ?

?

cos

? ??

2?

?

? 3

? ??

cos

? 4

?

sin

? ??

2?

?

? 3

? ??

sin

? 4

? 30 ? 2 ．………………………………………………………………………………12 分 8

考点：三角恒等变换．

24．【答案】 【解析】解：（1）当 a=1 时，依题意得 x2﹣3x+2≤0

因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，

解得：x≥1 或 x≤2．

∴1≤x≤2．

不等式的解集为{x|1≤x≤2}． （2）依题意得 x2﹣3ax+2a2＜0

∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…

对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0

得 x1=a，x2=2a 当 a=0 时，x∈?．

当 a＞0 时，a＜2a，∴a＜x＜2a；

当 a＜0 时，a＞2a，∴2a＜x＜a；

综上所述，当 a=0 时，原不等式的解集为?；

当 a＞0 时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；

当 a＜0 时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；

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