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山东省青岛市2012届高三第二次模拟试题_理科数学试题(2012青岛二模)[1]


高三自评试题

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考 试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式为: V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? ?m, ?3? , N ? x 2 x ? 7 x ? 3 ? 0, x ? Z ,如果 M ? N ? ? ,则 m 等于

?

?

A. ?1 2.设复数 z ? 1 ? A. 2i

B. ?2

C. ?2 或 ?1

D. ?

3 2

2 2 (其中 i 为虚数单位),则 z ? 3 z 的虚部为 i
B. 0 C. ?10 D. 2

3.“ a ? 4 ”是“对任意的实数 x , 2x ?1 ? 2 x ? 3 ? a 成立”的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 4.已知函数 f ( x) ? ? A. 7 B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件

?log 2 x , x ? 0 ?9 ? 1, x ? 0
?x

1 的值是 ,则 f ( f (1)) ? f log 3 2
C. 5 D. 3

?

?

B. 2

5.设 m , n 是两条不同的直线,

? , ? , ? 是三个不同的平面.有下列四个命题:

①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ;

②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; 开始 ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中错误命题的序号是 .. A.①③ B.①④ C.②③④ D.②③
a ? 1, b ? 1

a ? ①?

b ? 2b ? 1



6.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31 , 则图中判断框内①处应填 A. 3 B. 4
2

输出 b

a ? a ?1
C. 5 D. 6 结束

7.函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可 能成为该等比数列的公比的数是 A.

3 4

B. 2

C. 3

D. 5

8.以下正确命题的个数为 ①命题“存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是:“不存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”;
2 2

x ②函数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;

1

1 2

1 1 3 2

2 ③已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) , P(? ? 4) ? 0.79 ,则 P(? ? ?2) ? 0.21 ;

④函数 f ( x) ? e

?x

? ex 的图象的切线的斜率的最大值是 ?2 ;

⑤线性回归直线 ? ? bx ? a 恒过样本中心 x, y ,且至少过一个样本点. y ? ? A. 1 9.设 a ? B. 2 C. 3 D. 4

? ?

2 a 6 2 3 2 .. ? 0(1 ? 3x )dx ? 4 ,则二项式 ( x ? x ) 展开式中不含 x 项的系数和是
B. 160 C. 161 D. ?161

A. ?160

10.已知函数 f ( x) ? cos x ? 中真命题的序号是 ① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 )

1 ? π 1 ? π x, x ? [? , ] , sin x0 ? , x0 ? [? , ] ,那么下面命题 2 2 2 2 2 2

② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 )

③ f ( x ) 在 [? A.①③

?
2

, x0 ] 上是增函数
B.①④

④ f ( x ) 在 [ x0 , ] 上是增函数 C.②③ D. ②④

π 2

11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的 A.外接球的半径为

3 3

B.体积为 3

3

C.表面积为 6 ? 3 ? 1

D.外接球的表面积为

16? 3

1

1 正视图

1 侧视图

12.已知直线 y ? k ? x ? 1? 与抛物线 C : y 2 ? 4x 相交于 A 、
俯视图

B 两点, F 为抛物线 C 的焦点,若 FA ? 2 FB ,则 k =
A. ?

2 2 3

B. ?

2 3

C. ?

1 3

D.

2 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若 tan ? ? 2, 则 sin ? cos ? ? .

14.已知直线 y ? x ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点,且 OA ? OB ? 0 ,其中 O 为坐标原 点,则正实数 a 的值为 .

??? ??? ? ?

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 15.设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x 2 ? y 2 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?

.

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图 象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题: ①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 ?0, 2? 上是减函数; ③如果当 x ???1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最 大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点;

x
f ? x?

-1 1

0 2

4 2

5 1

⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) , 设 函 数 (

f ( x) ? m ? n ,若函数 g (x) 的图象与 f (x) 的图象关于坐标原点对称.
(Ⅰ)求函数 g (x) 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的最大值,并求出此时 x 的值; ? 4 6?
3 , 2

( Ⅱ )在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边, A 为 锐 角 ,若 f ( A) ? g ( A) ?

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABC ? A1B1C1 中,四边形 ABB1 A 是正 1 方形, AC ? AB ? 1 , AC ? A B ? BC , B1C1 // BC , 1 1

A1 C1

B1

1 BC . 2 (Ⅰ)求证: AB1 // 面 AC1C ; 1 B1C1 ?
(Ⅱ)求二面角 C ? AC1 ? B 的余弦值的大小. 1

A

B

C
19. (本小题满分 12 分)甲居住在城镇的 A 处,准备开 车到单位 B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相 互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次, 发生堵车事件的概率如图(例如, A → C → D 算作两个路段: 路段 AC 发生堵车事件的概率为
1 ,路段 CD 发生堵车事件的 10

E

1 20 3 20 1 10

F

1 12 1 6 1 15

B

1 概率为 ,且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进) . 15

1 5
A

(Ⅰ) 请你为其选择一条由 A 到 B 的路线, 使得途中发生堵车事 件的概率最小;

C

D

(Ⅱ)若记路线 A → C → F → B 中遇到堵车次数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及 E? . 20. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x x ? ?2n ? 1, n ? N ? , B ? ? x x ? ?6n ? 3, n ? N? ? , S n 设 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 ?an ? 的任一项 an ? A ? B ,且首项 a1 是 A ? B 中的最大数,

?

?

?750 ? S10 ? ?300 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? ( 与

2 an ?13n?9 ,令 Tn ? 24(b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b2n ) ,试比较 Tn ) 2

48n 的大小. 2n ? 1
3 2 x . 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln ? 2 ? 3 x ? ? (Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的极大值; (Ⅱ)令 g ? x ? ? f ? x ? ?

3 2 x ? ? m ? 1? x ( m 为实常数) ,试判断函数 g ? x ? 的单调性; 2

(Ⅲ)若对任意 x ? ? , ? ,不等式 a ? ln x ? ln ? f ? ? x ? ? 3x ? ? 0 均成立,求实数 a 的取值 ? ? 6 3 范围. 22. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶 点均为坐标原点 上各取两个点, 表中: (Ⅰ) C1、C2 求

?1 1? ? ?

O ,从每条曲线

x
y

3

?2

4

2
2 2

将其坐标记录于

?2 3

0

?4

的标准方程;

(Ⅱ) 请问是否存在直线 l 同时满足条件: (ⅰ)过 C2 的焦点 F ; (ⅱ)与 C1 交于不同两点 Q 、R , 且满足 OQ ? OR ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)已知椭圆 C1 的左顶点为 A ,过 A 作两条互相垂直的弦 AM 、 AN 分别另交椭圆于 M 、

????

??? ?

N 两点.当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的一定点,若过定点,请给出证
明,并求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.

高三自评试题

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. CDBAB BDCCA DA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.

2 5

14. 2

15. 52

16.①②⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6 1 ? 所以 g ( x ) ? ? ? sin( 2 x ? ) 2 6 ?
因为 x ? ??

………………………………………………………2 分 ………………………………………………3 分

? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

即x ??

?
6

时,函数 g (x) 在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上的最大值为 . 2 ? 4 6?

……………………………………………6 分 (Ⅱ)由 f ( A) ? g ( A) ? 化简得: cos 2 A ? ? 又因为 0 ? A ?

3 ? ? 3 得: 1 ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 2 6 6 2

?
2

1 2

,解得: A ?

?
3

…………………………………………9 分

由题意知: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 , 2

2 2 2 2 又 b ? c ? 7 ,所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 2bc(1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2
故所求边 a 的长为 5 . …………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 BC 的中点 E ,连结 AE , C1E , B1E

? B1C1 // BC , B1C1 ?

1 BC ,? B1C1 // EC, B1C1 ? EC , 2

? 四边形 CEB1C1 为平行四边形, 从而 B1E // C1C , ? C1C ? 面 AC1C , B1E ? 面 AC1C 1 1 ? B1E // 面 AC1C 1 ? B1C1 // BC , B1C1 ?
………………………………………………………………2 分

1 BC ,? B1C1 // BE, B1C1 ? BE 2

? 四边形 BB1C1E 为平行四边形 ? B1B // C1E ,且 B1B ? C1E
又? ABB1 A 是正方形,? A1 A // C1E ,且 A A ? C1E 1 1 故 AEC1 A 为平行四边形,? AE // AC1 1 1

? A1C1 ? 面 AC1C , AE ? 面 AC1C 1 1 ? AE // 面 AC1C 1
………………………………………………………………4 分

? AE ? B1E ? E ,? 面 B1 AE // 面 AC1C 1 ? AB1 ? 面 B1 AE ,? AB1 // 面 AC1C 1
………………………………………6 分

(Ⅱ)? 四边形 ABB1 A 为正方形, ? A A ? AB ? AC ? 1 , A1 A ? AB 1 1

? A1B ? 2 ,? AC ? A1B ? AC ? 2 1 1
由勾股定理可得: ?A AC ? 90? ,? A1 A ? AC , 1

A1

z

B1 C1

? AB ? AC ? A ,? A1 A ? 面 ABC , ? AC ? A1B ? BC ,? BC ? 2 1
由勾股定理可得: ?BAC ? 90 ,
?

A E

B y

C

x
? AB ? AC
…………………………………8 分

1 1 2 2 ???? ? ???? ? 1 1 ???? ???? 1 1 B(0,1, 0) ,所以 CA1 ? (?1,0,1) , CC1 ? (? , ,1) , BA1 ? (0, ?1,1) , BC1 ? ( , ? ,1) . 2 2 2 2 ?? ?? ???? ?? ???? ? 设面 AC1C 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,由 n1 ? CA ? 0, n1 ? CC1 ? 0 1 1
故以 A 为原点,以 AC 为 x 轴建立坐标系如图,则 C (1, 0, 0), A1 (0, 0,1), C1 ( , ,1) ,

?? x ? z ? 0 ?? ? ,令 z ? 1 ,则 n1 ? (1, ?1,1) ?? 1 1 ?? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ?
设面 AC1B 的法向量为 n2 ? (m, n, k ) ,则 n2 ? BA ? 0, n2 ? BC1 ? 0 1 1

?? ?

?? ???? ?

?? ???? ? ?

??n ? k ? 0 ?? ? ? 则 ?1 ,令 k ? 1 ,则 n2 ? (?1,1,1) 1 ?2 m ? 2 n ? k ? 0 ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ?1 ? 1 ? 1 1 所以 cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ?? ? 3 3? 3 n1 n2
设二面角 C ? AC1 ? B 的平面角为 ? , n1 , n2 ? ? 1 所以 cos ? ? cos ?? ? ? ? ? 19. (本小题满分 12 分)

…………………………10 分

?? ?? ?

1 3

……………………………………………………12 分

解: (Ⅰ)记路段 AC 发生堵车事件为 AC ,各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段 发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所以路线

A → C → D → B 中遇到堵车的概率为

P ? 1 ? P AC ? CD ? DB ? 1 ? P AC P CD P DB 1
? 1 ? ?1 ? P ? AC ? ? ?1 ? P ? CD ? ? ?1 ? P ? DB ? ? ? ?? ?? ?

?

?

? ? ? ? ? ?

? 1?

9 14 5 3 ? ? ? 10 15 6 10

……………………………………………………………………2 分

同理:路线 A → C → F → B 中遇到堵车的概率为 P ? 1- P ( AC · CF · FB )= 2 于

239 (小 800

3 ) 10

………………………………………………………………………4 分

路线 A → E → F → B 中遇到堵车的概率为 P ? 1 ? P AE ? EF ? FB ? 3

?

?

91 3 (大于 ) 300 10
…………6 分

显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小,只可能在以上三条路线中选择.因 此选择路线 A → C → F → B ,可使得途中发生堵车事件的概率最小

(Ⅱ)路线 A → C → F → B 中遇到堵车次数 ? 可取值为 0,1,2,3.

P ?? ? 0? ? P AC ? CF ? FB ?

?

?

561 , 800

P ?? ? 1? ? P AC ? CF ? FB ? P AC ? CF ? FB ? P AC ? CF ? FB

?

? ?

? ?

?

?

1 17 11 9 3 11 9 17 1 637 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400

P ?? ? 2 ? ? P AC ? CF ? FB ? P AC ? CF ? FB ? P AC ? CF ? FB
? 1 3 11 1 17 1 9 3 1 77 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400 1 3 1 1 P ?? ? 3? ? P ? AC ? CF ? FB ? ? ? ? ? . 10 20 12 800

?

? ?

? ?

?

所以 ? 的分布列为

?
P

0
561 800

1
637 2400

2
77 2400

3

1 800

…………………………………………………………9 分 ∴ E? = 0 ?

561 637 77 1 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 800 2400 2400 800 3

………………12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题设可得: 集合 A 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 2 为公差的递减等差 数列;集合 B 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列.
? 由此可得,对任意的 n ? N ,有 A ? B ? B

A ? B 中的最大数为 ?3 ,即 a1 ? ?3

…………………………………………2 分

设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 an ? ?3 ? (n ? 1)d , S10 ?

10(a1 ? a10 ) ? 45d ? 30 2

因为 ?750 ? S10 ? ?300 , ? ?750 ? 45d ? 30 ? ?300 ,即 ? 16 ? d ? ?6 由于 B 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列 所以 d ? ?6m(m ? Z , m ? 0) ,由 ?16 ? ?6m ? ?6 ? m ? 2 ,所以 d ? ?12 …………5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 9 ? 12n ( n ? N )
?

………………………6 分

(Ⅱ) bn ? (

2 an ?13n?9 2 ) ? ( )n 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 ? 24(1 ? 1 ) ………………………7 分 Tn ? 24(b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b2 n ) ? 24 ? 2 1 2n 1? 2

Tn ?

48n 24 48n 24(2n ? 2n ?1) ? 24 ? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
48n n 的大小关系等价于比较 2 与 2n ? 1 的大小 2n ? 1
2 4

于是确定 Tn 与

3 由 2 ? 2 ?1 ? 1 , 2 ? 2 ? 2 ? 1, 2 ? 2 ? 3 ? 1, 2 ? 2 ? 4 ? 1 , ???

可猜想当 n ? 3 时, 2 ? 2n ? 1
n

…………………………………………………………9 分

证明如下: 证法 1: (1)当 n ? 3 时,由上验算可知成立. (2)假设 n ? k 时, 2 ? 2k ? 1 ,
k

则 2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ?1) ? 2(k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 根据(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1
n

? 当 n ? 1, 2 时, Tn ?
证法 2:当 n ? 3 时

48n 48n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

………………………………12 分

0 1 n n 0 1 n n 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ???? ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

? 当 n ? 1, 2 时, Tn ?

48n 48n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

………………………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f ? x ? ? ln ? 2 ? 3 x ? ?

3 2 ? 2 ? x , ? y ? f ? x ? 的定义域为 ? ? , ?? ? ; 2 ? 3 ?

1? ? 9 ? x ? 1? ? x ? ? 1 3? ? 由于 f ? ? x ? ? ? ,由 f ? ? x ? ? 0 ? x ? , 3x ? 2 3
当 x ?? ?

? 2 1? ?1 ? , ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 . ? 3 3? ?3 ?

? 2 1? ?1 ? ? y ? f ? x ? 在 ? ? , ? 上为增函数;在 ? , ?? ? 上为减函数, ? 3 3? ?3 ?
从而 f ? x ?极大 ? f ? ? ? ln 3 ?

?1? ?3?

1 . 6 ? ?

………………………………………3 分

(Ⅱ) ? g ? x ? ? ln ? 2 ? 3x ? ? ? m ?1? x , ? x ? ?

2? ? 3?

? g? ? x ? ?

3 ? m ? 1? x ? 2m ? 1 3 ? m ?1 ? ,………………………………………4 分 2 ? 3x 2 ? 3x
3 ? 0, 2 ? 3x

① 当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, g ? ? x ? ?

? 2 ? ? g ? x? 在 ? ? , ?? ? 上为增函数;…………………………………………………………5 分 ? 3 ?

? 2m ? 1 ? 3 ? m ? 1? ? x ? ? 3 ? m ? 1? x ? 2m ? 1 ? 3 ? m ? 1? ? . ②当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, g ? ? x ? ? ? 2 ? 3x 2 ? 3x
由 g? ? x ? ? 0 ? x ? ?

2m ? 1 , 3 ? m ? 1?

? 2m ? 1 ? ? 2 ? 1 ??? ? 3 ? m ? 1? ? ? ? ? 3 ? ? ? m ? 1 , ? ? ? ? ?

? (ⅰ)若 m ? 1 ,则 ?

2 2m ? 1 2 ? ? ,? x ? ? 时, g? ? x ? ? 0 , 3 3 ? m ? 1? 3

? 2 ? ? g ? x? 在 ? ? , ?? ? 上为增函数;…………………………………………………………7 分 ? 3 ?
(ⅱ)若 m ? 1 ,则 ?

2m ? 1 2 ?? , 3 ? m ? 1? 3

? 2 ? 2m ? 1 ? 2m ? 1 ? x ?? ? ,? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 , ? 时, g? ? x ? ? 0 ; x ? ? ? ? 3 3 ? m ? 1? ? ? 3 ? m ? 1? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2m ? 1 ? 2m ? 1 ? , ?? ? 上为减函数. ? g ? x? 在 ? ? , ? ? 上为增函数,在 ? ? ? ? 3 3 ? m ? 1? ? 3 ? m ? 1? ? ? ?
综上可知:当 m ? 1 时, g ? x ? 在 ? ?

? 2 ? , ?? ? 上为增函数; ? 3 ?

当 m ? 1 时, g ? x ? 在 ? ?

? 2 ? 2m ? 1 ? 2m ? 1 ? ,? , ?? ? 上为减函数. ? 上为增函数,在 ? ? ? ? 3 3 ? m ? 1? ? 3 ? m ? 1? ? ? ?
…………………………9 分

(Ⅲ)由 a ? ln x ? ln ? f ? ? x ? ? 3x ? ? 0 ? a ? ln x ? ln ? ?

3 ?0, 2 ? 3x

3 6 ?1 1? ? ln ,而 a ? ln x ? 0 , ? x ? ? , ? ,? 0 ? ln 2 ? 3x 5 ?6 3?

?1 1? ? 要对任意 x ? ? , ? ,不等式 a ? ln x ? ln ? f ? ? x ? ? 3x ? ? 0 均成立,必须: ? ? ?6 3?
ln 3 与 a ? ln x 不同时为 0. ………………………………………………………11 分 2 ? 3x 1 3 1 时, ln =0,所以为满足题意必有 a ? ln ? 0 , 3 2 ? 3x 3
…………………………………………………………………12 分

因当且仅当 x ? 即 a ? ln

1 . 3

22. (本小题满分 14 分)

y2 ? 2m ? x ? 0 ? ,据此验证 4 个点知 解: (Ⅰ)设抛物线 C2 : y ? 2mx ? m ? 0? ,则有 x
2

?3, ?2 3 ? 、 ? 4, ?4? 在抛物线上,易求 C
设 C1 :

2

: y 2 ? 4x

…………………2 分

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,把点( ? 2,0) 2 , ( )代入得: 2 a b 2
? 2 ?a ? 4 ? ? 2 ?b ? 1 ?

?4 ?a2 ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ?1 ? a 2 2b 2 ?
x2 ? y2 ? 1 ∴ C1 方程为 4

………………………………………………………4 分

(Ⅱ)容易验证直线 l 的斜率不存在时,不满足题意; 当直线 l 斜率存在时,假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0) ,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,与 C1 的交点坐标为 Q ? x1, y1 ? , R ? x2 , y2 ?

? x2 2 ? 由 ? 4 ? y ? 1 消去 y ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ?1) ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?

于是 x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 1) , x1 x2 ? …………① 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

……………………7 分

y1 y2 ? k ( x1 ?1) ? k ( x2 ?1) ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1]
即 y1 y2 ? k (
2

4(k 2 ? 1) 8k 2 3k 2 ……② ? ? 1) ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 1 ? 4k 2

由 OQ ? OR ,即 OQ ? OR ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0(*) 将①、②代入(*)式,得

????

??? ?

???? ??? ?

4 (k 2 ? 1) 32 k k 2? 4 ? ? ? 0 ,解得 k ? ?2 ; 1 ? 4k 2 1 42 ? k ? 42 1 k

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 …………………9 分 (Ⅲ)设直线 AM 的斜率为 k ? k ? 0 ? ,则 AM : y ? k ( x ? 2) , AN : y ? ? 则? x

1 ( x ? 2) k

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 2 化简得: (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 . ? y 2 ? 1, ? 4 ?
4k 2 ? 8k 2 ? yM ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

∵此方程有一根为 ?2 ,∴ xM ?

同理可得 xN ?

4k 2k 2 ? 8 ………………………………………………11 分 ? yN ? ? 2 2 k ?4 k ?4

则 kMN

4k 4k ? 2 5k ? k2 ? 4 1 ? 4 k 2 ? ? 2k ? 8 2 ? 8k 4(k 2 ? 1) ? k 2 ? 4 1 ? 4k 2 ?
2

所以 MN 的直线方程为 y ?

4k 5k 2 ? 8k 2 ?? (x ? ) 1 ? 4k 2 4(k 2 ? 1) 1 ? 4k 2

令 y ? 0 ,则 x ?

16k (k 2 ? 1) 2 ? 8k 2 6 ? ?? . 2 2 5k (1 ? 4k ) 1 ? 4k 5
6 5

所以直线 MN 过 x 轴上的一定点 (? , 0) ………………………………………………14 分


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