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(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 第一课时 并集与交集教案 新人


1.1.3 集合的基本运算
第一课时 并集与交集
预习课本 P8~10,思考并完成以下问题 (1)两个集合的并集与交集的含义是什么?它们具有哪些性质?
(2)怎样用 Venn 图表示集合的并集和交集?

[新知初探]

1.并集和交集的概念及其表示

类别 概念

自然语言

符号语言 图形语言

并集

由 所有属于 集合 A或者
_属__于__集合 B 的元素组成 A∪B= 的集合,称为集合 A 与 B {x|x∈A, 的并集,记作 A∪B (读 或 x∈B}
作“A 并 B ”)

类别 概念
交集

自然语言

符号语言 图形语言

由 属于 集合 A 且属于
集合 B 的所有元素组成 A∩B= 的集合,称为 A 与 B 的 {x|x∈A, 交集,记作 A∩B ( 读作 且 x∈B} “ A 交 B ”)

[点睛] (1)两个集合的并集、交集还是一个集合. (2)对于 A∪B,不能认为是由 A 的所有元素和 B 的所有元 素所组成的集合.因为 A 与 B 可能有公共元素,每一个公共元 素只能算一个元素. (3)A∩B 是由 A 与 B 的所有公共元素组成,而非部分元素 组成.

2.并集与交集的运算性质

并集的运算性质 A∪B=B∪A A∪A= A A∪ = A
A?B?A∪B=B

交集的运算性质 A∩B=B∩A A∩A= A A∩ =
A?B?A∩B=A

[小试身手]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)并集定义中的“或”就是“和”.

(×)

(2)A∪B 表示由集合 A 和集合 B 中元素共同组成. ( × )

(3)A∩B 是由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合.( √ )

2.设集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∪N 等于

A.{0,1}

B.{-1,0,1}

C.{0,1,2}

D.{-1,0,1,2}

()

答案:D

3.若集合 A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则 A∩B=( )

A.{x|-3<x<2}

B.{x|-5<x<2}

C.{x|-3<x<3}

D.{x|-5<x<3}

答案:A

4.满足{1}∪B={1,2}的集合 B 的个数是________. 答案:2

并集的运算

[例 1] (1)设集合 M={4,5,6,8},集合 N={3,5,7,8},那么 M

∪N 等于

()

A.{3,4,5,6,7,8}

B.{5,8}

C.{3,5,7,8}

D.{4,5,6,8}

(2)若集合 A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则 A∪B 等于( )

A.{x|x>-2}

B.{x|x>-1}

C.{x|-2<x<-1}

D.{x|-1<x<2}

[解析] (1)由并集的定义知,M∪N={3,4,5,6,7,8}. (2)画出数轴如图所示,故 A∪B={x|x>-2}.

[答案] (1)A (2)A

求集合并集的 2 种基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并 集的定义求解; (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的 数集,则可以借助数轴分析法求解.

[活学活用]

1.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5 或 x>5},则

M∪N=

()

A.{x|x<-5 或 x>-3}

B.{x|-5<x<5}

C.{x|-3<x<5}

D.{x|x<-3 或 x>5}

解析:将集合 M 和 N 在数轴上表示出来,如图所示,

可知 M∪N={x|x<-5 或 x>-3}. 答案:A

2 . 已 知 集 合 A = {0,2,4} , B = {0,1,2,3,5} , 则 A ∪ B = ________________.
解析:A∪B={0,2,4}∪{0,1,2,3,5}={0,1,2,3,4,5}. 答案:{0,1,2,3,4,5}

交集的运算

[例 2] (1)设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则

A∩B 等于

()

A.{x|0≤x≤2}

B.{x|1≤x≤2}

C.{x|0≤x≤4}

D.{x|1≤x≤4}

(2)(全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B=

{6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为

()

A.5

B.4

C.3

D.2

[解析] (1)在数轴上表示出集合 A 与 B,如下图.
则由交集的定义,A∩B={x|0≤x≤2}. (2)集合 A 中元素满足 x=3n+2,n∈N,即被 3 除余 2,而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14.故选 D. [答案] (1)A (2)D

1.求集合交集的运算类似于并集的运算,其方法为: (1)定义法,(2)数形结合法.
2.若 A,B 是无限连续的数集,多利用数轴来求解.但 要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实点表 示,不含有端点的值用空心点表示.

[活学活用]

3.(北京高考)已知集合 A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则 A∩B



()

A.{0,1}

B.{0,1,2}

C.{-1,0,1}

D.{-1,0,1,2}

解析:集合 A={x|-2<x<2},集合 B={-1,0,1,2,3},所

以 A∩B={-1,0,1}.

答案:C

4.若集合 A={x|2x+1>0},B={x|-1<x<3},则 A∩B

=________.

解析:∵A=?????x???x>-12

???,B={x|-1<x<3},
??

画数轴如图:

∴A∩B=?????x???-12<x<3

??
?.
??

答案:?????x???-12<x<3

?? ? ??

由集合的并集、交集求参数
题点一:由并集、交集求参数的值 1.已知 M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N=
{3},求实数 a 的值. 解:∵M∩N={3},∴3∈M; ∴a2-3a-1=3,即 a2-3a-4=0, 解得 a=-1 或 4. 但当 a=-1 时,与集合中元素的互异性矛盾,舍去; 当 a=4 时,M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意. ∴a=4.

题点二:由并集、交集的定义求参数的范围 2.设集合 A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且 A∪B={x|-1
<x<3},求 a 的取值范围.
解:如图所示, 由 A∪B={x|-1<x<3}知,1<a≤3.

题点三:由交集、并集的性质求参数的范围

3.已知集合 A={x|-3<x≤4},集合 B={x|k+1≤x≤2k-1}, 且 A∪B=A,试求 k 的取值范围. 解:∵A∪B=A,∴B?A, ①当 B= 时,k+1>2k-1,∴k<2.

②当 B≠ ,则根据题意如图所示:

??k+1≤2k-1, 根据数轴可得?-3<k+1,
??2k-1≤4,

解得 2≤k≤52.

综合①②可得 k 的取值范围为?????k???k≤52

??
?.
??

4.把 3 题中的条件“A∪B=A”换为“A∩B=A”,求 k 的取 值范围.
解:∵A∩B=A,∴A?B. 又 A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1},可知 B≠ . 由数轴 可知?????k2+k-1≤1≥-43,, 解得 k∈ , 即当 A∩B=A 时,k 不存在.


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