1．1.3 集合的基本运算
第一课时 并集与交集
预习课本 P8～10，思考并完成以下问题 (1)两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？
(2)怎样用 Venn 图表示集合的并集和交集？
[新知初探]
1．并集和交集的概念及其表示
类别 概念
自然语言
符号语言 图形语言
并集
由 所有属于 集合 A或者
_属__于__集合 B 的元素组成 A∪B＝ 的集合，称为集合 A 与 B {x|x∈A， 的并集，记作 A∪B (读 或 x∈B}
作“A 并 B ”)
类别 概念
交集
自然语言
符号语言 图形语言
由 属于 集合 A 且属于
集合 B 的所有元素组成 A∩B＝ 的集合，称为 A 与 B 的 {x|x∈A， 交集，记作 A∩B ( 读作 且 x∈B} “ A 交 B ”)
[点睛] (1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于 A∪B，不能认为是由 A 的所有元素和 B 的所有元 素所组成的集合．因为 A 与 B 可能有公共元素，每一个公共元 素只能算一个元素． (3)A∩B 是由 A 与 B 的所有公共元素组成，而非部分元素 组成．
2．并集与交集的运算性质
并集的运算性质 A∪B＝B∪A A∪A＝ A A∪ ＝ A
A?B?A∪B＝B
交集的运算性质 A∩B＝B∩A A∩A＝ A A∩ ＝
A?B?A∩B＝A
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)并集定义中的“或”就是“和”．
(×)
(2)A∪B 表示由集合 A 和集合 B 中元素共同组成． ( × )
(3)A∩B 是由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合．( √ )
2．设集合 M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则 M∪N 等于
A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
()
答案：D
3．若集合 A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则 A∩B＝( )
A．{x|－3＜x＜2}
B．{x|－5＜x＜2}
C．{x|－3＜x＜3}
D．{x|－5＜x＜3}
答案：A
4．满足{1}∪B＝{1,2}的集合 B 的个数是________． 答案：2
并集的运算
[例 1] (1)设集合 M＝{4,5,6,8}，集合 N＝{3,5,7,8}，那么 M
∪N 等于
()
A．{3,4,5,6,7,8}
B．{5,8}
C．{3,5,7,8}
D．{4,5,6,8}
(2)若集合 A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则 A∪B 等于( )
A．{x|x＞－2}
B．{x|x＞－1}
C．{x|－2＜x＜－1}
D．{x|－1＜x＜2}
[解析] (1)由并集的定义知，M∪N＝{3,4,5,6,7,8}． (2)画出数轴如图所示，故 A∪B＝{x|x＞－2}．
[答案] (1)A (2)A
求集合并集的 2 种基本方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并 集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的 数集，则可以借助数轴分析法求解．
[活学活用]
1．已知集合 M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5 或 x＞5}，则
M∪N＝
()
A．{x|x＜－5 或 x＞－3}
B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|－3＜x＜5}
D．{x|x＜－3 或 x＞5}
解析：将集合 M 和 N 在数轴上表示出来，如图所示，
可知 M∪N＝{x|x＜－5 或 x＞－3}． 答案：A
2 ． 已 知 集 合 A ＝ {0,2,4} ， B ＝ {0,1,2,3,5} ， 则 A ∪ B ＝ ________________.
解析：A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}． 答案：{0,1,2,3,4,5}
交集的运算
[例 2] (1)设集合 A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则
A∩B 等于
()
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
(2)(全国卷Ⅰ)已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝
{6,8,10,12,14}，则集合 A∩B 中元素的个数为
()
A．5
B．4
C．3
D．2
[解析] (1)在数轴上表示出集合 A 与 B，如下图．
则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}． (2)集合 A 中元素满足 x＝3n＋2，n∈N，即被 3 除余 2，而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14.故选 D. [答案] (1)A (2)D
1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为： (1)定义法，(2)数形结合法．
2．若 A，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但 要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表 示，不含有端点的值用空心点表示．
[活学活用]
3．(北京高考)已知集合 A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则 A∩B
＝
()
A．{0,1}
B．{0,1,2}
C．{－1,0,1}
D．{－1,0,1,2}
解析：集合 A＝{x|－2<x<2}，集合 B＝{－1,0,1,2,3}，所
以 A∩B＝{－1,0,1}．
答案：C
4．若集合 A＝{x|2x＋1＞0}，B＝{x|－1＜x＜3}，则 A∩B
＝________.
解析：∵A＝?????x???x＞－12
???，B＝{x|－1＜x＜3}，
??
画数轴如图：
∴A∩B＝?????x???－12＜x＜3
??
?.
??
答案：?????x???－12＜x＜3
?? ? ??
由集合的并集、交集求参数
题点一：由并集、交集求参数的值 1．已知 M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝
{3}，求实数 a 的值． 解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M； ∴a2－3a－1＝3，即 a2－3a－4＝0， 解得 a＝－1 或 4. 但当 a＝－1 时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当 a＝4 时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a＝4.
题点二：由并集、交集的定义求参数的范围 2．设集合 A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且 A∪B＝{x|－1
＜x＜3}，求 a 的取值范围．
解：如图所示， 由 A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
题点三：由交集、并集的性质求参数的范围
3．已知集合 A＝{x|－3＜x≤4}，集合 B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}， 且 A∪B＝A，试求 k 的取值范围． 解：∵A∪B＝A，∴B?A， ①当 B＝ 时，k＋1＞2k－1，∴k＜2.
②当 B≠ ，则根据题意如图所示：
??k＋1≤2k－1， 根据数轴可得?－3＜k＋1，
??2k－1≤4，
解得 2≤k≤52.
综合①②可得 k 的取值范围为?????k???k≤52
??
?.
??
4．把 3 题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求 k 的取 值范围．
解：∵A∩B＝A，∴A?B. 又 A＝{x|－3＜x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，可知 B≠ . 由数轴 可知?????k2＋k－1≤1≥－43，， 解得 k∈ ， 即当 A∩B＝A 时，k 不存在．