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010全国历年高考数学题------概率与统计


010 全国历年高考数学题------概率与统计(理)
2014 5. (5 分)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为( ) A. B. C. D. 18. (12 分)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s (同一组中数据用该组区间 的中点值作代表) ; (Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ ) ,其中 μ 近 2 2 似为样本平均数 ,σ 近似为样本方差 s . (i)利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX. 附: ≈12.2. 2 若 Z﹣N(μ,σ )则 P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
2

2

2013 3.(2013 课标全国Ⅰ,理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生 中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 19. (2013 课标全国Ⅰ, 理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批 产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品 中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过 检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为

1 ,且各件产品是 2

否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量 检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.

2012 (2)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )

( A) 12 种

( B ) 10 种

(C ) ? 种

( D) ? 种

18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。

2011 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的 可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量越好, 且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产 了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率)

参考答案

2014 5. 考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求得 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情 利用古典概型概率公式求解即可. 4 解答: 解:4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有 2 =16 种情况, 4 周六、周日都有同学参加公益活动,共有 2 ﹣2=16﹣2=14 种情况,
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∴所求概率为

= .故选:D.

点评: 本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概 再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 18. 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;离散型随机变量的期望与方差.
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专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出; (Ⅱ) (i)由(Ⅰ)知 Z~N(200,150) ,从而求出 P(187.8<Z<212.2) ,注意运用所给数据; (ii)由(i)知 X~B(100,0.6826) ,运用 EX=np 即可求得.

2 解答: 解: (Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s 分别为: =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, 2 2 2 2 2 2 2 s =(﹣30) ×0.02+(﹣20) ×0.09+(﹣10) ×0.22+0×0.33+10 ×0.24+20 ×0.08+30 ×0.02=150. (Ⅱ) (i) 由 (Ⅰ) 知 Z~N(200, 150) , 从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2) =0.682 (ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826, 依题意知 X~B(100,0.6826) ,所以 EX=100×0.6826=68.26.

点评: 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力. 2013 3.答案:C 解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样. 19. 解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是 优质品为事件 A2, 第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1, 第二次取出的 1 件产品是优 质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互 斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= (2)X 可能的取值为 400,500,800,并且

4 1 1 1 3 ? ? ? ? . 16 16 16 2 64

P(X=400)= 1 ?

4 1 11 1 1 ? ? ,P(X=500)= ,P(X=800)= . 16 16 16 16 4
X P
400 500 800

所以 X 的分布列为

11 16

1 16

1 4

EX= 400 ?

11 1 1 +500 ? +800 ? =506.25. 16 16 4

2012 2. 【解析】选 A
1 2 甲地由 1 名教师和 2 名学生: C2 C4 ? 12 种

18. 【解析】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0.2

0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 , DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ?1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝
2011 4.A 19.解(Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方 100

?90,94? , ?94,102? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68


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