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领育国际高中数学课件:2-1 函数及其表示


第二章 函数、导数及其应用

第一节

函数及其表示

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

高考模拟 备考套餐

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.函数的有关概念及表示法

数集 ,如果按某种确定的对应关系 f, 1 ________ (1)函数的定义:设 A,B 是非空的□
2 唯一 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有□ ______确定的数 f(x)和它对应, 3 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。x 的取值范围 A 叫做函数的□

定义域 ,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□ 值域 。 4 ________ __________ 值域 5 ________ 6 __________ 7 __________ 定义域 、□ 对应法则 和□ (2)函数的三要素:□ 。
8 解析法 9 __________ 10 列表法 (3) 函 数的 表示 法: 表 示函 数的 常用 方法 : □ ______ 、 □ 、□

图象法 。 __________

定义域 对应法则 完全一 11 ____________ 12 __________ (4)相等函数:如果两个函数的□ 相同,并且□
致,我们就称这两个函数相等,这是判断两个函数相等的依据。 13 (5)分段函数: 在函数的定义域内, 对于自变量 x 的不同取值区间, 有着不同的□

对应法则 ________,这样的函数通常叫做分段函数。分段函数是一个函数,它的定义域是各段
取值区间的并集,值域是各段值域的并集。

2.映射的概念 (1)映射的定义:设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那 14 __________ 么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个□ 。 映射

函数 15 __________ (2)由映射的定义可以看出,映射是□ 概念的推广,函数是一种特殊 非空数集 ;而构成映射的两个集合可 16 __________ 的映射。构成函数的两个集合 A,B 必须是□
以是数集、点集或其他集合。

3.常见基本初等函数的定义域

不等于零 17 ________________________ (1)分式函数中分母□ 。 大于或等于零 18 __________________ (2)偶次根式函数被开方式□ 。 R 19 ________ (3)一次函数、二次函数的定义域均为□ 。 R 20 __________ (4)y=ax(a>0 且 a≠1),y=sinx,y=cosx 的定义域均为□ 。 ,+∞)。 21 (0 (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的定义域为□ ________ {x|x≠0} 22 ______________ (6)函数 f(x)=x0 的定义域为□ 。
(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问 题对函数自变量的制约。

4.基本初等函数的值域
4ac-b2 {y|y≥ 4a } 24 ________________ (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为□ ;当 2 4ac-b { y | y ≤ 25 ______________________ a<0 时,值域为□ 。 4a }

23 __________ R (1)y=kx+b(k≠0)的值域是□ 。

k {y|y≠0} 。 26 ______________ (3)y=x(k≠0)的值域是□
{y|y>0} 。 27 __________ (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是□ R 28 ________ (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是□ 。

? 4 个准则——函数表达式有意义的准则 函数表达式有意义的准则一般有: ①分式中的分母不为零;②偶次根式的被开方 数非负;③y=x0 要求 x≠0;④对数式中的真数大于零,底数大于零且不等于 1。 ? 4 种方法——函数解析式的求法 求函数解析式常用的方法有:①配凑法;②待定系数法;③换元法;④解方程组 法。

? 4 个注意点——求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集 合。 (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化。 (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义 域是使得各式子都有意义的公共部分的集合。 (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或” 连接,而应该用并集符号“∪”连接。

1.函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1]

)

?1-x>0, 解析:由? 得函数定义域为[0,1)。 x ≥ 0 , ?

答案:B

2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=|x|,g(x)= x2

)

B.f(x)= x2,g(x)=( x)2

x2-1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1 x-1 解析:A 项中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x)。

B 项中,f(x)=|x|,g(x)=x(x≥0),∴两函数的定义域不同。 C 项中,f(x)=x+1(x≠1),g(x)=x+1, ∴两函数的定义域不同。 D 项中,f(x)= x+1· x-1(x+1≥0 且 x-1≥0), f(x)的定义域为{x|x≥1}; g(x)= x2-1(x2-1≥0), g(x)的定义域为{x|x≥1,或 x≤-1}。 ∴两函数的定义域不同。故选 A。 答案:A

3.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

)

解析:将 f(2x)表示出来,看与 2f(x)是否相等。 对于 A 项,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于 B 项,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x); 对于 C 项,f(2x)=2x+1≠2f(x); 对于 D 项,f(2x)=-2x=2f(x), 故只有 C 项不满足 f(2x)=2f(x),故选 C。 答案:C

1,x>0, ? ? ?1,x为有理数, 4.设 f(x)=?0,x=0, g(x)=? ?0,x为无理数, ? ?-1,x<0, 则 f(g(π))的值为( A.1 C.-1 ) B.0 D.π

解析:根据题设条件,∵π 是无理数,∴g(π)=0。 ∴f(g(π))=f(0)=0。 答案:B

5.已知 A={x|x 是锐角},B=(0,1),从 A 到 B 的映射是“求余弦”,与 A 中 1 3 2 元素 60° 相对应的 B 中的元素是________ ;与 B 中元素 2 相对应的 A 中的元素是

30° 。 ________
1 3 解析:当 x=60° 时,y=cos60° =2;当 x∈(0° ,90° ),cosx= 2 时,x=30° 。

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一 【例 1】 (1)函数 f(x)=
? 1? A.?0,2? ? ? ? 1? ? ? 0 , C. 2?∪(2,+∞) ?

求函数的定义域 )

1 的定义域为( ?log2x?2-1 B.(2,+∞)

? 1? ? ? 0 , D. 2?∪[2,+∞) ?

f?2x? (2)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1)

)

1 解析:(1)(log2x)2-1>0,即 log2x>1 或 log2x<-1,解得 x>2 或 0<x<2,故所求的
? 1? 定义域是?0,2?∪(2,+∞)。 ? ? ?0≤2x≤2, (2)由题意,得? 解得 0≤x<1,所以 g(x)的定义域为[0,1),故选 B。 ?x-1≠0。

答案:(1)C (2)B

?名师点拨 函数定义域的求法 1.简单函数定义域的求法 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式 或不等式组,然后求出它们的解集即可。 2.抽象函数的定义域 (1) 若已知函数 f(x) 的定义域为 [a , b] ,则复合函数 f(g(x)) 的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出。 (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的 值域。

通关特训 1 (1)如果函数 f(x)=ln(-2x+a)的定义域为(-∞,1),那么实数 a 的值为( A.-2 C.1 ) B.-1 D.2

(2)已知 f(x)的定义域是[0,4],则 f(x+1)+f(x-1)的定义域是__________。
a a 解析:(1)∵-2x+a>0,∴x<2,∴2=1,∴a=2。
?0≤x+1≤4, (2)由? 得 1≤x≤3。 ?0≤x-1≤4,

故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3]。 答案:(1)D (2)[1,3]

考点二
? ?

求函数的解析式

? 1? 1 【例 2】 (1)已知 f?x+x ?=x2+x2,求 f(x)的解析式。

? 1? 2 1 ? 1?2 ? ? ?x+ ? x + 解析:(1)由于 f x ?=x +x2=? x? -2, ?

所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2)。
?2 ? ? (2)已知 f x +1?=lgx,求 f(x)的解析式。 ? ?

2 2 2 解析:(2)令x +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1)。 x-1

(3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x)的解析式。
解析:(3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx。 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
?2a+b=b+1, 1 所以? 解得 a=b= 。 2 ?a+b=1,

1 2 1 所以 f(x)= x + x(x∈R)。 2 2

?1? (4)已知 f(x)满足 2f(x)+f?x ?=3x,求 f(x)的解析式。 ? ?
?1? 解析:(4)∵2f(x)+f?x ?=3x,① ? ? ?1? 1 3 ∴将 x 用x 替换,得 2f?x ?+f(x)=x,② ? ?

1 由①②解得 f(x)=2x- (x≠0), x 1 即 f(x)的解析式是 f(x)=2x-x (x≠0)。

?名师点拨 求函数解析式的常用方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后 以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式。 (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数),则可用待定系数法。 (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值 范围。
?1? (4)解方程组法: 已知关于 f(x)与 f?x ?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出 ? ?

另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x)。

通关特训 2 1 A. x C. 1 1-x

?1? x (1)如果 f? x?= ,那么当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)=( ? ? 1-x

)

B.

1 x-1

1 D. x-1
? ?

?1? (2)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f(x)=2f?x ?· x-1, 则 f(x)=__________。

1 1 解析:(1)令 t=x ,得 x= t , 1 1 ∴f(t)= 1= 。∴f(x)= ,故选 B。 t-1 x-1 1- t 1 t

?1? 1 (2)在 f(x)=2f?x ? x-1 中,用 代替 x, x ? ? ?1? 1 得 f?x ?=2f(x) -1, ? ? x ?1? 2f?x? ?1? 将 f?x ?= -1 代入 f(x)=2f? x? x-1 中, ? ? ? ? x 2 1 可求得 f(x)= x+ 。 3 3

2 1 答案:(1)B (2) x+ 3 3

考点三 【例 3】 A.lg101

分段函数 )

?x2+1,x≤1, (1)函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( lg x , x > 1 , ?

B.2


C.1

D.0 )

?21 x,x≤1, (2)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( 1 - log x , x > 1 , ? 2

A.[-1,2] C.[1,+∞)

B.[0,2] D.[0,+∞)

?2x+a,x<1, (3)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的 ?-x-2a,x≥1,

值为__________。
解析:(1)f(10)=lg10=1,f(f(10))=f(1)=12+1=2。 (2)当 x≤1 时,21-x≤2,解得 x≥0。 又因为 x≤1,所以 0≤x≤1; 1 当 x>1 时,1-log2x≤2,解得 x≥ 。 2 又因为 x>1,所以 x>1。 故 x 的取值范围是[0,+∞)。 (3)①当 1-a<1,即 a>0 时,1+a>1,由 f(1-a)=f(1+a),得 2(1-a)+a=- 3 (1+a)-2a,解得 a=- (舍去); 2

②当 1-a>1,即 a<0 时,1+a<1, 由 f(1-a)=f(1+a), 得 2(1+a)+a=-(1-a)-2a, 3 解得 a=- ,符合题意。 4 3 综上所述,a=- 。 4 3 答案:(1)B (2)D (3)-4

?名师点拨 分段函数问题的常见类型及解题策略 (1)求函数值,弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函 数值,要从最内层逐层往外计算。 (2)求函数最值,分别求出每个区间上的最值,然后比较大小。 (3)解不等式。根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解, 但要注意取值范围的大前提。 (4)求参数。“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程。

? ?a×b,a×b≥0, 通关特训 3 (1)定义 a⊕b=?a 设函数 f(x)=lnx⊕x,则 f(2)+ , a × b < 0 , ? ?b
?1? f?2?=( ) ? ? A.4ln2

B.-4ln2 D.0

C.2

? 2x ?x>0?, ?4? ? 4? (2)已知 f(x)=? 则 f?3?+f?-3?的值等于( ? ? ? ? ?f?x+1? ?x≤0?,

)

A.-2 C.2

B.4 D.-4

解析:(1)由题意可得 f(x)=

? ?xlnx,x≥1, ?lnx ? ? x ,0<x<1,
?1? 1 所以 f(2)+f?2?=2ln2+2ln =0,故选 D。 2 ? ?

?4? 4 4 8 (2)∵ >0,∴f?3?=2× = 。 3 3 3 ? ? 4 ∵-3<0, ? 4? ? 4 ? ? 1? ∴f?-3?=f?-3+1?=f?-3?= ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?2? 4 f?-3+1?=f?3?=3。 ? ? ? ? ?4? ? 4? 12 ∴f?3?+f?-3?= =4。 ? ? ? ? 3

答案:(1)D (2)B

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