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【课堂新坐2013-2014学年高中数学 2.2.2 第2课时 椭圆标准方程及性质的应用课后知能检测 新人教B版选修2-1


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 2.2.2 第 2 课 时 椭圆标准方程及性质的应用课后知能检测 新人教 B 版选修 2-1

一、选择题 1.点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是( 4 2 A.- 2<a< 2 C.-2<a<2 B.a<- 2或 a> 2 D.-1<a<1

x2 y2

)

【解析】 ∵点 A(a,1)在椭圆 + =1 内部, 4 2

x2 y2

a 1 ∴ + <1, 4 2 a 1 ∴ < , 4 2
则 a <2,∴- 2<a< 2. 【答案】 A 2.(2013?潍坊高二检测)直线 y=k(x-2)+1 与椭圆 + =1 的位置关系是 16 9 ( A.相离 C.相切 B.相交 D.无法判断 )
2 2

2

x2

y2

4 1 【解析】 直线 y=k(x-2)+1 过定点 P(2,1),将 P(2,1)代入椭圆方程,得 + <1, 16 9 ∴P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 【答案】 B 3.已知椭圆 2+ 2=1 有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则此椭圆的焦点坐标是( A.(± 3,0) C.(± 5,0) B.(0,± 3) D.(0,± 5)

x2 y2 a b

)

【解析】 ∵直线 x+2y=2 过(2,0)和(0,1)点, ∴a=2,b=1,∴c= 3, 椭圆焦点坐标为(± 3,0).
1

【答案】 A 4.(2013?课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. C. 3 6 1 2 B. D. 1 3 3 3 )

x2 y2 a b

|PF2| 1 【解析】 如图,由题意知 sin 30°= = , |PF1| 2 ∴|PF1|=2|PF2|.

又∵|PF1|+|PF2|=2a, 2a ∴|PF2|= . 3 2a |PF2| 3 3 ∴tan 30°= = = . |F1F2| 2c 3 ∴ =

c a

3 . 3

故选 D. 【答案】 D

x2 y2 5.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 总有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
A.m≥1 B.m≥1 或 0<m<1 C.0<m<5 且 m≠1 D.m≥1 且 m≠5

)

y=kx+1, ? ? 2 2 【解】 由?x y + =1, ? ?5 m
又直线与椭圆有公共点,

得(m+5k )x +10kx+5(1-m)=0,

2

2

∴上述方程的 Δ ≥0 对一切 k 都成立,

2

即(10k) -4(m+5k )?5(1-m)≥0, 亦即 5k ≥1-m 对一切 k 都成立, ∴1-m≤0,即 m≥1,且 m≠5. 【答案】 D 二、填空题 6.已知 F1 为椭圆 C: +y =1 的左焦点,直线 l:y=x-1 与椭圆 C 交于 A、B 两点, 2 那么|F1A|+|F1B|的值为________. 【解析】 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),
? ?x +2y =2, 由? ?y=x-1, ?
2 2 2

2

2

x2

2

消去 y,得

3x -4x=0. 4 1 ∴A(0,-1),B( , ). 3 3 又由 +y =1 知左焦点 F1(-1,0), 2 则|F1A|+|F1B|= 2+ 【答案】 8 2 3 5 2 8 2 = . 3 3

2

x2

2

7. 直线 l 交椭圆 + =1 于 A、 B 两点, AB 的中点为 M(2,1), 则 l 的方程为________. 16 12 3 3 【解析】 由点差法求出 kAB=- ,∴l 的方程为 y-1=- (x-2). 2 2 化简得:3x+2y-8=0. 【答案】 3x+2y-8=0 8.过椭圆 + =1 的右焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标 5 4 原点,则△OAB 的面积为________. 【解析】 由已知可得直线方程为 y=2x-2,联立方程得

x2

y2

x2 y2

x y ? ? + =1 ?5 4 ? ?y=2x-2

2

2

5 4 解得 A(0,-2),B( , ), 3 3

1 5 ∴S△AOB= ?|OF|?|yA-yB|= . 2 3 【答案】 5 3
3

三、解答题 9.如图 2-2-4 所示,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少?

图 2-2-4

x2 y2 【解】 如图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5),椭圆方程为 2+ 2=1. a b

∵P(11,4.5)在椭圆上, ∴ 11
2

a

2

4.5 + 2 =1.

2

b



44 7 又 b=h=6,代入①式,得 a= . 7 88 7 此时 l=2a= ≈33.3(米), 7 因此隧道的拱宽约为 33.3 米. 10.(2013?西安检测)如图 2-2-5,设 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴 4 上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5
2 2

图 2-2-5 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程. 【解】 设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

xP=x, ? ? 由已知得? 5 yP= y, ? 4 ?
∵P 在圆上,
4

5 2 2 ∴x +( y) =25, 4 即 C 的方程为 + =1. 25 16 11.已知△ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x +3y =4 上,C 在直线 l:y=x+2 上,且 AB∥l. (1)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及△ABC 的面积; (2)当∠ABC=90°,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程. 【解】 (1)∵AB∥l,且 AB 边通过点(0,0), ∴AB 所在直线的方程为 y=x. 设 A,B 两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
?x +3y =4, ? 由? ?y=x, ?
2 2 2 2

x2

y2

得 x=±1,

∴|AB|= 2|x1-x2|=2 2, 又∵AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离, 1 ∴h= 2,∴S△ABC= |AB|?h=2. 2 (2)设 AB 所在直线方程为 y=x+m. 由?
?x +3y =4, ? ? ?y=x+m,
2 2

得 4x +6mx+3m -4=0.

2

2

∵A,B 在椭圆上, ∴Δ =-12m +64>0. 3m 3m -4 设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1?x2= , 2 4 ∴|AB|= 2|x1-x2|= 32-6m . 2 |2-m| . 2
2 2 2

又∵BC 的长等于点(0,m)到直线 l 的距离,即|BC|= ∴|AC| =|AB| +|BC| =-m -2m+10 =-(m+1) +11.
2 2 2 2 2

∴当 m=-1 时,AC 边最长.(这时 Δ =-12+64>0). 此时 AB 所在直线方程为 y=x-1.

5


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