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2017-2018学年高中数学人教A版必修5课件:2.5.2数列求和习题课(42张)


【课标要求】 1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法. 2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法. 3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法. 自主学习 |新知预习| 基础认识 1.公式求和法 (1)如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利 用等差、等比数列的前 n 项和公式,注意等比数列公比 q 的取值 情况要分 q=1 和 q≠1. (2)正整数和及正整数平方和公式有: n?n+1? ①1+2+?+n= 2 . n?n+1??2n+1? 2 2 2 ②1 +2 +?+n = . 6 2.分组转化求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类 数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列.即先分别 求和,然后再合并,形如: (1){an+bn},其中{an}是等差数列,{bn}是等比数列; ? ?f?n?,n=2k-1, (2)an=? (k∈N*). ? ?g?n?,n=2k 3.裂项相消求和法 把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相 互抵消,从而求得其和. 常见的裂项公式: 1 1 1 (1) =n- ; n?n+1? n+1 1 ? 1 1? ? 1 (2) =2?2n-1-2n+1? ?; ?2n-1??2n+1? ? ? ? 1 1 1 1? ? (3) =2?n?n+1?-?n+1??n+2?? ?; n?n+1??n+2? ? ? 1 1 (4) = ( a- b). a+ b a-b 4.倒序相加求和法 如果在一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一常数, 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相 加法,如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的. 5.错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求, 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的. |化解疑难| 求数列前 n 项和,一般有下列几种方法 (1)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对 应项相乘构成的数列求和. (2)分组转化法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的 形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. (4)奇偶并项法:当数列通项中出现(-1)n 或(-1)n+1 时,常 常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论. |自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an=Sn-Sn-1.( × ) 1 ? 1 1? ? 1 (2)当 n≥2 时, 2 =2?n-1-n+1? ?.( √ ) n -1 ? ? 2.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1,则{an}的前 n 项 和 Sn 等于( ) A.n2 B.n2+2n C.2n2+n D.n+2 解析:a1=2×1+1=3, n?a1+an? n?3+2n+1? 2 Sn= = =n +2n. 2 2 故选 B. 答案:B 1 1 1 3.1+ + +?+ 等于( 1×2 2×3 99×100 99 199 A.100 B.100 98 197 C.99 D. 99 ) 1 1 1 解析:因为 =n- , n?n+1? n+1 所以所求和= ?? ?1 1? ?1 1? 1 ?? 1+??1-2?+?2-3?+?+?99-100?? ? ? ? ? ?? ?? ? 1 ? 199 =1+?1-100?=100. ? ? 答案:B 4.数列{n· 2n}的前 n 项和等于( A.n· 2n-2n+2 + + B.n· 2n 1-2n 1+2 C.n· 2n+1-2n + + D.n· 2n 1-2n 1 ) 解析:设{n· 2n}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=1×21+2×22+3×23+?+n· 2n,① + 所以 2Sn=1×22+2×23+?+(n-1)· 2n+n· 2n 1,② ①-②得-Sn=2+22+23+?+2n-n· 2n+1 2?1-2n? = -n· 2n+1, 1-2 所以 Sn=n· 2n+1-2n+1+2, 故选 B. 答案:B 2n-1 321 5. 已知数列{an}的通项公式 an= 2n , 其前 n 项和 Sn= 64 , 则项数 n 等于________. 2n-1 1 解析:an= 2n =1-2n, 1? 1? ?1- n? 2? 2 ? 1 321 1 ∴Sn=n- 1 =n-1+2n= 64 =5+64, 1-2 ∴n=6. 答案:6 课堂探究 互动讲练 类型一 分组转化法求和 [例 1] (北京卷)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和. 【思路点拨】 (1)设出公差 d,公比 q,利用等差、等比的 知识求 d,q,即可求 an,及 bn.(2)cn=an+bn,{an}是等差数列, {bn}是等比数列,故利用分组求和法求{an}的前 n 项和. b3 9 【解析】 (1)设等比数列{bn}的公比为 q,则 q=b =3=3, 2 b2 - 所以 b1= q =1,b4=b3q=27,所以 bn=3n 1(n=1,2,3,?). 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27,所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,?). (2)由(1)知 an=2n-1,bn=3n 1, - 因此 cn=an+bn=2n-1+3n 1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn=1+3+?+(2n-1)+1+3+?+3n-1 n n?1+2n-1? 1-3n 3 -1

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