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1.3.2-函数极值与导数的关系(2课时)


1.3.2函数的极值与导数(1)

观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋 势、P点的函数值以及点P位置的特点
y
R( x3 , f ( x3 ))

y=f(x)
S ( x4 , f ( x4 ))

P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

o

a x1

x

1 函数y=f(x)在 x1 , x2 , x3 , x4 等点的函数值与这些点附近 的函数值有什么关系? 2 y=f(x)在这些点的导数值是多少? 3 这这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?

函数极大值的定义:
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0 附近的所有的点,都有 f(x)﹤f (x0) 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f (x0);

函数极小值的定义:
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f (x0) 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值, 记作y极小值= f (x0); 极大值与极小值同称为极值.

(1)极值是某一点附近的小区间而言的, 是函数的局部性质;
(2)函数的极值不一定唯一,在整个定义 区间内可能有多个极大值和极小值; (3)极大值与极小值没有必然关系,极 大值可能比极小值还小. y
R( x3 , f ( x3 ))

y=f(x)
S ( x4 , f ( x4 ))

P(x1,f(x1))

o

a x1

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

观察图像并类比于函数的单调性与导数关系 的研究方法 ,看极值与导数之间有什么关系? y
x0 x0左侧 x0右侧 f?(x) f '( x) ? 0 f '( x) ? 0 f '( x) ? 0
f(x)
增 极大值 减

x

o
y

a

x0

b

x

x0 x0左侧 x0右侧 f?(x) f '( x) ? 0 f '( x) ? 0 f '( x) ? 0 o a x0 b x f(x)
减 极小值 增

x

思考
?若寻找可导函数极值点 ,

y f (x)?x3

可否只由f?(x)=0求得即可?

探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?
f?(x)=3x 当f?(x)=0时,x =0,而x =0不 是该函数的极值点. f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
x0 是函数f(x) (可导)的极值点
2

O

x

x0左右侧导数异号

f?(x0) =0

注意: f?(x0) =0 是函数(可导)取得极值的

必要不充分条件

注意:极值点指的是自变量x, 极值指的是函数值y

函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值

C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

1 3 求函数f(x) ? x ? 4 x ? 4的极值 3

1 求函数y ? ? x的极值. x

求可到函数极值的步骤:
1. 确定函数的定义域; 2. 求函数f ' ( x); 3. 求f ( x) ? 0的全部实根;
'

4. 判断f ( x)在方程根左右的值的符号. 如果左正,右负 ? 极大值. 左负,右正 ? 极小值.

'

求下列函数的极值 (1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2
2

(2) f ( x) ? 3 x ? x

3

图像与函数的极值
1.函数f ( x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ( x)在(a,b)内的函数图像如图,则函数 f ( x)在开区间(a,b)内存在极小值点 y
'

1

个.

a

O

b x

2 导函数y=f’(x)的图像如图,试找出函数 y=f(x)的极值点,并指出那些是极大值点, 那些是极小值点? X2,x4为极值点 X2为极大值点 X4为极小值点 y
Y=f’(x)
x2 x3 a x1
O

x4

x5

x6

b

X

3 导函数y=f’(x)的图像如图,在标记的 点中哪一点处 (1)导函数y=f’(x)有极大值? X2 (2)导函数y=f’(x)有极小值? X 4 (3)函数y=f(x)有极大值? X3 (4)函数y=f(x)有极小值?
X5

y

Y=f’(x)
x4

x1

x2 O x3

x5

X

4 已知汽车在笔直的公路上行驶: (1)如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车与起点的距 离,请标出汽车速度等于0的点 (2)如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车的速度,那 么(1)中标出点的意义是什么?

y=f(t)

1、极值的判定方法

2、极值的求法

注意:
1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必 须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号. 3 通过图像来观察函数的极值点

函数的极值与导数(2)

函数极大值的定义:
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0 附近的所有的点,都有 f(x)﹤f (x0) 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f (x0);

函数极小值的定义:
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f (x0) 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值, 记作y极小值= f (x0); 极大值与极小值同称为极值.

y

注意: f?(x0) =0 是函数(可导)取得极值的

f (x)?x3

必要不充分条件

O

x

求可到函数极值的步骤:
1. 确定函数的定义域; 2. 求函数f ' ( x); 3. 求f ( x) ? 0的全部实根;
'

4. 判断f ( x)在方程根左右的值的符号. 如果左正,右负 ? 极大值. 左负,右正 ? 极小值.

'

1 导函数y=f’(x)的图像如图,试找出函数 y=f(x)的极值点,并指出那些是极大值点, 那些是极小值点? X2,x4为极值点 X2为极大值点 X4为极小值点 y
Y=f’(x)
x2 x3 a x1
O

x4

x5

x6

b

X

2已知汽车在笔直的公路上行驶: (1)如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车与起点的距 离,请标出汽车速度等于0的点 (2)如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车的速度,那 么(1)中标出点的意义是什么?

y=f(t)

例1.函数f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a 在x ? 1时
3 2 2

取极值,求实数a, b的值.

例2. 若f ( x) ? x ? ax ? 3ax ? 2既有极大值,
3 2

又有极小值.求a的取值范围.
分析:如果函数有极大值又有极小值,说明函数的导数的 符号有从正变到负和从负变到正的时候,也就是说到导函 数有两个相异的实根
3

变式1. 若f ( x) ? x ? 3ax ? 2在 ? 0,内有极值, 1? 求a的取值范围.

变式2. 若f ( x) ? x ? 3ax ? 2有三个零点,
3

求a的取值范围. 一个零点呢? 变式3. 若f ( x) ? x ? 3x ? 2的图象与直线y ? k
3

有三个交点,求k的取值范围.
3

例4.若过点P ?1, m ? 与曲线y ? x 相切的直线有3条, 求实数m的取值范围.

1.根据函数的极值与函数的导数关系 来求解函数的解析式 2.利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围

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