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福建省厦门市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


福建省厦门市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个答案中有且只 有一个答案是正确的) 1. (5 分)计算机执行如图的程序段后,输出的结果是()

A.1

B .2

C.3

D.﹣2

2. (5 分)气象台预报“厦门市明天降雨的概率是 80%”,下列理解正确的是() A.厦门市明天将有 80%的地区降雨 B. 厦门市明天将有 80%的时间降雨 C. 明天出行不带雨具肯定要淋雨 D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 3. (5 分)如图,在一个边长为 2 的正方形中有一封闭的“★”型阴影区域,向正方形中随机撒 入 200 粒豆子,若恰有 40 粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)如图,样本 A 和 B 分别来自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 样本标准差分别为 SA 和 SB,则下列结论正确的是()





A. C.

> <

,SA>SB ,SA>SB

B. D.

> <

,SA<SB ,SA<SB

5. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 为()

A.3

B .7

C.10

D.16

6. (5 分)已知 α,β 是两个不同平面,m,n 是两条不同直线,则以下命题正确的是() A.若 m∥n,n?α,则 m∥α B. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m∥α,m?β,α∩β=n,则 m∥n 7. (5 分)函数 f(x)=x ln|x|的图象大致是()
2

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)某产品的广告费用 x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如下表(一个数据上 有污渍) : 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39

已知该公司根据原有统计数据(没有污渍前)得线性回归方程 =9.4x+9.1,则污渍部分的数据 是() A.50

B.52

C.54

D.58

9. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f(log47) , 0.6 b=f(log23) ,c=f(0.2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 10. (5 分)已知函数 f(x)=a(x﹣1) +bx+c(a∈R,b,c∈Z) ,对于取定的一组 a,b,c 的 值,若计算得到 f(﹣1)=2,则 f(3)的值一定不能等于() A.4 B .3 C.2 D.0
3

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11. (4 分)某商场对新进 300 袋奶粉采用系统抽样的方法,从中抽取 20 袋进行检查,先将所 有奶粉从 1~300 编号,按编号顺序平均分成 15 组(1~20 号,21~40 号,…,281~300 号) , 若第 1 组抽出的号码是 6,则第 3 组抽出的号码为. 12. (4 分)将二进制数 10011(2)化为十进制数等于. 13. (4 分)投掷一颗质地均匀的骰子两次,记向上一面的点数分别为 a,b,则事件“a+b>4” 发生的概率为. 14. (4 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

15. (4 分)已知函数 f(x)=

,如果 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于.

16. (4 分)设方程 2 +x+2=0 和 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q,凼数 f(x)=(x+p) (x+q) , 2 则关于 x 的不等式 f(x +2x+2)<f(0)的解集是.

x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分,解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)实数 R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥0}.

(Ⅰ)求?R(A∩B) ; (Ⅱ)若集合 C={x|y=log2(x﹣a)},且满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)某甲计划到厦门探亲访友,有三种方式(动车、汽车、飞机)直达厦门,已知甲 选择乘坐动车或汽车到厦门的概率为 0.6,选择乘坐汽车到厦门的概率为 0.3. (Ⅰ)求甲不选择乘坐动车的概率; (Ⅱ)甲选择哪种方式到厦门的可能性最大?写出理由. 19. (12 分)某校 2014-2015 学年高一(1)班的一次数学考试成绩(满分为 100 分)的茎叶 图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图,解答下列问题:

(Ⅰ)求分数在[80,90)的频率; (Ⅱ)若用分层抽样的方法从分数在[50,70)的试卷中任取 9 份分析无谓失分情况,求在[50, 60)中应抽取多少份? (Ⅲ)从分数在[90,100)的学生中选 2 名同学作经验介绍,请列出所有基本事件,并求成绩 为 99 分的同学被选中的概率. 20. (12 分)如图是一个长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 被一个平面截去一部分后,所得多面体的 直观图,已知 AB=6,AD=AA1=4,BE=CF=2. (Ⅰ)若点 M 的棱 DD1 的中点,求证:BM∥平面 A1EFD; (Ⅱ)求此多面体的体积.

21. (14 分)某地区二手车的收购市场只收购使用 10 年(含)以内的车,且二手车的收购价 计算方式如下:前四年每年递减新车购买总价的 15%;从第五年开始,每年的收购价是上一 年收购价的 (超过 n 年不到 n+1 年的按 n+1 年计算,0<n<10,n∈N) ,某人在 2014 年元旦 以 25 万元的总价购买了一辆新车. (Ⅰ)若此人在 2017 年 5 月卖车,则此人得到的卖车款是多少万元? (Ⅱ)写出卖车款 y(万元)关于新车购买后 x(年)的函数关系; (Ⅲ)若此人想得到不低于 4 万元的卖车款,则最迟应该在哪年卖车?

(参考公式: logab=

, 其中 a>0 且 a≠1, c>0, 且 c≠1, b>0; 参考数据 lg2≈0.3, lg3≈0.5)

22. (14 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 n 的值;

为奇函数.

(Ⅱ)设函数 g(x)=x ﹣2λx﹣2λ,若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x2∈[0,1],使得 g(x2) >f(x1)成立,求实数 λ 的取值范围; (Ⅲ)请指出方程|f(x)|=log |x|有几个实数解,并说明理由.

2

福建省厦门市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个答案中有且只 有一个答案是正确的) 1. (5 分)计算机执行如图的程序段后,输出的结果是()

A.1

B. 2

C. 3

D.﹣2

考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟程序语言的运算过程,即可得出程序运行后输出的结果是什么. 解答: 解:模拟程序语言的运算过程,如下; a=1,b=3, a=a+b=1+3=4, b=a﹣b=4﹣3=1, 输出 b=1. 故选:A. 点评: 本题考查了程序语言的应用问题,解题应模拟程序的运行过程,是基础题目. 2. (5 分)气象台预报“厦门市明天降雨的概率是 80%”,下列理解正确的是() A.厦门市明天将有 80%的地区降雨 B. 厦门市明天将有 80%的时间降雨

C. 明天出行不带雨具肯定要淋雨 D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 考点: 概率的意义. 专题: 概率与统计. 分析: “厦门市明天降雨的概率是 80%”,是指“厦门市明天降雨的可能性达到 80%”,由此分 析四个选项,能求出正确结果. 解答: 解:“厦门市明天降雨的概率是 80%”, 是指“厦门市明天降雨的可能性达到 80%”, 由此得到选项 A、B、C 均不正确,选项 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查概率的概念,是基础题,解题时要认真审题,正确理解概率的定义. 3. (5 分)如图,在一个边长为 2 的正方形中有一封闭的“★”型阴影区域,向正方形中随机撒 入 200 粒豆子,若恰有 40 粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出正方形的面积为 2 ,由几何概型的概率知落在阴影区域内的豆子数与 200 粒 豆子的比值等于阴影部分面积与正方形的面积的比. 解答: 解:由题意,豆子落在阴影部分的数量与全部数量的比值恰好是阴影部分的面积与 正方形的面积比,所以 = ,即 ,所以 S 阴影= .
2

故选 B, 点评: 本题考查利用几何概率求不规则图形的面积;每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概型. 解题时要认真审题, 合理地运用几何概型解决实际问题. 4. (5 分)如图,样本 A 和 B 分别来自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 样本标准差分别为 SA 和 SB,则下列结论正确的是() 和 ,

A. C.

> <

,SA>SB ,SA>SB

B. D.

> <

,SA<SB ,SA<SB

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 由图可知样本 A 的数据均不大于 8,而样本 B 的数据均不小于 8;A 中数据波动程度 较大,B 中数据较稳定.由此能求出结果. 解答: 解:∵样本 A 的数据均不大于 8, 而样本 B 的数据均不小于 8, ∴ < ,

由图可知 A 中数据波动程度较大, B 中数据较稳定, ∴SA>SB. 故选:C. 点评: 本题考查样本平均数和方差的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,认真观 察,注意平均数和方差性质的合理运用. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 为()

A.3

B. 7

C.10

D.16

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 k=16 时,不满足条件 k <10,退出循环,输出 S 的值为 7. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=1,S=1 满足条件 k<10,S=1,k=2 满足条件 k<10,S=2,k=4 满足条件 k<10,S=4,k=8 满足条件 k<10,S=7,k=16 不满足条件 k<10,退出循环,输出 S 的值为 7. 故选:B. 点评: 本题主要考查了程序框图,考查了循环结构,正确得到每次循环 S,k 的值是解题的 关键,属于基础题. 6. (5 分)已知 α,β 是两个不同平面,m,n 是两条不同直线,则以下命题正确的是() A.若 m∥n,n?α,则 m∥α B. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m∥α,m?β,α∩β=n,则 m∥n 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答. 解答: 解:对于 A,若 m∥n,n?α,则 m 可能在 α 内;故 A 错误; 对于 B,若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 可能相交;故 B 错误; 对于 C,若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 的位置关系可能为相交、平行或者异面;故 C 错误; 对于 D,若 m∥α,m?β,α∩β=n,根据线面平行的性质定理可以得到 m∥n;故 D 正确; 故选 D. 点评: 本题考查了线面平行的性质定理和判定定理;熟练的掌握定理是关键. 7. (5 分)函数 f(x)=x ln|x|的图象大致是()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性以及特殊点的坐标所在位置判断即可. 2 2 2 解答: 解:函数 f(x)=x ln|x|可知:f(﹣x)=x ln|﹣x|=x ln|x|=f(x) ,函数是偶函数,排 除选项 A、C; 2 当 x=e 时,函数的图象经过(e,e ) ,是第一象限的点.

显然 B 不满足题意. 故选:D. 点评: 本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数的图象经过的特殊点是解题的 关键,考查基本知识的应用. 8. (5 分)某产品的广告费用 x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如下表(一个数据上 有污渍) : 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 已知该公司根据原有统计数据(没有污渍前)得线性回归方程 =9.4x+9.1,则污渍部分的数据 是() A.50 考点: 专题: 分析: 解答:

B.52

C.54

D.58

线性回归方程. 概率与统计. 根据线性回归直线过样本中心点,即可求出 m 的值. 解:设污渍部分的数据是 m, =3.5,代入 =9.4x+9.1,可得 =42,

由题意, =

∴ (49+26+39+m)=42,解得 m=54. 故选 C. 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用,是一个基础题,本题解答关键是利用线性回 归直线必定经过样本中心点. 9. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f(log47) , 0.6 b=f(log23) ,c=f(0.2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 考点: 奇偶性与单调性的综合;对数值大小的比较. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,可得出自变量的绝对 值越小,函数值越大,由此问题转化为比较自变量的大小,问题即可解决. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,要得函数在(0,+∞) 上是减函数, 图象越靠近 y 轴,图象越靠上,即自变量的绝对值越小,函数值越大, 0.6 由于 0<0.2 <1<log47<log49=log23, 可得 b<a<c, 故选 C. 点评: 本题解答的关键是根据函数的性质得出自变量的绝对值越小,函数值越大这一特征, 由此转化为比较自变量的大小,使得问题容易解决.这也是本题解答的亮点.

10. (5 分)已知函数 f(x)=a(x﹣1) +bx+c(a∈R,b,c∈Z) ,对于取定的一组 a,b,c 的 值,若计算得到 f(﹣1)=2,则 f(3)的值一定不能等于() A.4 B. 3 C. 2 D.0 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知求出 f(﹣1)和 f(3) ,由 b,c∈Z,得 f(﹣1)+f(3)的值为偶数,由此根 据 f(﹣1)=2,得到 f(3)的值一定不能是奇数. 3 解答: 解:∵函数 f(x)=a(x﹣1) +bx+c(a∈R,b,c∈Z) ,对于取定的一组 a,b,c 的 值,若计算得到 f(﹣1)=2, ∴f(﹣1)=﹣8a﹣b+c,f(3)=8a+3b+c, ∴f(﹣1)+f(3)=2(b+c) , ∵b,c∈Z,∴f(﹣1)+f(3)的值为偶数, ∵f(﹣1)=2,∴f(3)的值一定不能是奇数, 故选:B. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用. 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11. (4 分)某商场对新进 300 袋奶粉采用系统抽样的方法,从中抽取 20 袋进行检查,先将所 有奶粉从 1~300 编号,按编号顺序平均分成 15 组(1~20 号,21~40 号,…,281~300 号) , 若第 1 组抽出的号码是 6,则第 3 组抽出的号码为 36. 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样求出样本间隔即可得到结论. 解答: 解:样本间隔为 300÷20=15, 若第 1 组抽出的号码是 6,则第 3 组抽出的号码为 6+2×15=36, 故答案为:36. 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出样本间隔是解决本题的关键. 12. (4 分)将二进制数 10011(2)化为十进制数等于 19. 考点: 进位制. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换,即可得到答案. 解答: 解:10011(2)=1+1×2+1×2 =19. 故答案为:19. 点评: 二进制转换为十进制方法:按权相加法,即将二进制每位上的数乘以权(即该数位 上的 1 表示 2 的多少次方) ,然后相加之和即是十进制数.大家在做二进制转换成十进制需要 注意的是: (1)要知道二进制每位的权值; (2)要能求出每位的值,本题属于基础题. 13. (4 分)投掷一颗质地均匀的骰子两次,记向上一面的点数分别为 a,b,则事件“a+b>4” 发生的概率为 .
4

3

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由分步计数原理可得将一枚骰子连掷两次,其基本事件的总个数,由列举法可得事 件事件“a+b≤4”包含基本事件包含基本事件数目,再根据互斥事件概型公式,计算可得答案; 解答: 解:由题意得,掷骰子 1 次,其向上的点数有 6 种情况, 则将一枚骰子连掷两次,基本事件的总个数是 6×6=36,即(a,b)的情况有 36 种, 事件“a+b≤4”包含基本事件: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (3,1) , (2,2)共 6 个, 故“a+b>4”发生的概率为 1﹣ 故答案为: 点评: 本题考查等可能事件概率计算,关键是正确运用列举法,得到基本事件的数目. =

14. (4 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据,求解几何体的体积即可. 解:由题意可知,三视图复原的几何体是半球,半球的半径为:1, = .

半球的体积为: 故答案为: .

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计 算能力.

15. (4 分)已知函数 f(x)=

,如果 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 0.

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. a+1 分析: 先求得 f(1)=2,再由 f(a)=﹣2,即有﹣2 =﹣2,由指数函数的性质,即可得到 a=0.

解答: 解:由 f(x)=

,可得 f(1)=2,

且 x>0 时,f(x)>1, 则 f(a)+f(1)=0,即 f(a)=﹣2, a+1 则 a≤0,即有﹣2 =﹣2, 即 a+1=1, 解得 a=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查分段函数的运用:求函数值对应的自变量,考查运算能力,属于基础题. 16. (4 分)设方程 2 +x+2=0 和 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q,凼数 f(x)=(x+p) (x+q) , 2 则关于 x 的不等式 f(x +2x+2)<f(0)的解集是(﹣2,0) . 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 把两个方程分别看作指数函数与直线 y=﹣x﹣2 的交点 B 和对数函数与直线 y=﹣x﹣ 2 的交点 A 的横坐标分别为 p 和 q,而指数函数与对数函数互为反函数则关于 y=x 对称,求出 AB 的中点坐标得到 p+q=﹣2;然后把函数 f(x)化简后得到一个二次函数,对称轴为直线 x= ﹣ =1,所以 x +2x+2≥1,f(2)=f(0)且当 x>1 时,函数为增函数,即可得到答案.
x x 2 x

解答: 解:方程 2 +x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 可以分别看作方程方程 2 =﹣x﹣2 和方程 log2x=﹣x﹣2, x x 方程 2 +x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q 即分别为函数 y=2 与函数 y=﹣x﹣2 的 x 交点 B 横坐标为 p;y=log2 与 y=﹣x﹣2 的交点 C 横坐标为 q. x x 由 y=2 与 y=log2 互为反函数且关于 y=x 对称,所以 BC 的中点 A 一定在直线 y=x 上, 联立得 ,解得 A 点坐标为(﹣1,﹣1)

根据中点坐标公式得到

=﹣1,即 p+q=﹣2,
2

则 f(x) =(x+p) (x+q) +2=x +(p+q)x+pq+2 为开口向上的抛物线, 且对称轴为 x=﹣ 因为 x +2x+2≥1,f(2)=f(0)且当 x>1 时,函数为增函数, 2 2 所以由 f(x +2x+2)<f(0) ,可得 x +2x+2<2, 所以﹣2<x<0, 故答案为: (﹣2,0) .
2

=1,

点评: 此题是一道综合题,考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质,要求学 生掌握反函数的性质,会利用二次函数的图象与性质解决实际问题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分,解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)实数 R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥0}. (Ⅰ)求?R(A∩B) ; (Ⅱ)若集合 C={x|y=log2(x﹣a)},且满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (Ⅰ)先求出 A∩B,再根据补集的运算法则计算即可 (Ⅱ)先根据对数函数的定义求出集合 C,再根据 B∪C=C,得到 B?C,继而求出 a 的范围 解答: 解: (Ⅰ)∵集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥0}={x|x≥2} ∴A∩B={x|2≤x<3} ∴?R(A∩B)={x|x<2,或 x≥3} (Ⅱ)∵集合 C={x|y=log2(x﹣a)}, ∴C={x|x>a} ∵B∪C=C, ∴B?C, ∴a<2 点评: 本题考查集合的交并补运算,属于基础题 18. (12 分)某甲计划到厦门探亲访友,有三种方式(动车、汽车、飞机)直达厦门,已知甲 选择乘坐动车或汽车到厦门的概率为 0.6,选择乘坐汽车到厦门的概率为 0.3. (Ⅰ)求甲不选择乘坐动车的概率; (Ⅱ)甲选择哪种方式到厦门的可能性最大?写出理由. 考点: 互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计.

分析: (Ⅰ)记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件 A、B、C,则事件 A、B、C 互斥, 由已知得 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6,P(B)=0.3,从而 P(A)=0.6﹣0.3=0.3,由此利 用对立事件概率公式能求出甲不选择乘坐动车的概率. (Ⅱ)由 P(A)+P(B)+P(C)=1,利用对立事件概率计算公式求出 P(C)=0.4,从而得 到甲选择乘飞机到厦门的可能性最大. 解答: 解: (Ⅰ)记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件 A、B、C,则事件 A、B、C 互斥, P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6,P(B)=0.3, ∴P(A)=0.6﹣0.3=0.3, ∴甲不选择乘坐动车的概率 P=1﹣P(A)=0.7. (Ⅱ)∵P(A)+P(B)+P(C)=1, ∴P(C)=1﹣P(A)﹣P(B)=1﹣0.3﹣0.3=0.4, ∴P(C)>P(A)=P(B) , ∴甲选择乘飞机到厦门的可能性最大. 点评: 本题考查概率的求法和应用,是基础题,解题时要注意互斥事件、对立事件的概率 计算公式的合理运用. 19. (12 分)某校 2014-2015 学年高一(1)班的一次数学考试成绩(满分为 100 分)的茎叶 图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图,解答下列问题:

(Ⅰ)求分数在[80,90)的频率; (Ⅱ)若用分层抽样的方法从分数在[50,70)的试卷中任取 9 份分析无谓失分情况,求在[50, 60)中应抽取多少份? (Ⅲ)从分数在[90,100)的学生中选 2 名同学作经验介绍,请列出所有基本事件,并求成绩 为 99 分的同学被选中的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由频率分布直方图,得分数在[50,60)之间的频率为:0.008×10=0.08,由茎 叶图知分数在[50,60)之间的频数为 4,由此能求出全班人数为 50 人,从而能求出分数落在 [80,90)的学生人数,进而能求出分数落在[80,90)的频率. (Ⅱ)分数在[50,70)的试卷共有 18 份,其中[50,60)的有 4 份,由此利用分层抽样原理, 能求出在[50,60)中应抽取的份数. (Ⅲ)分数分布在[90,100)的学生一共有 4 人,从中抽 2 人,其中成绩为 99 分的有 1 人, 基本事件总数 n= =6,成绩为 99 分的同学被选中包含的基本事件个数 m= =3,由此能

求出成绩为 99 分的同学被选中的概率. 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布直方图,得分数在[50,60)之间的频率为:0.008×10=0.08,

由茎叶图知分数在[50,60)之间的频数为 4, ∴全班人数为: =50(人) ,

∴分数落在[80,90)的学生共有:50﹣(4+14+20+4)=8(人) . ∴分数落在[80,90)的频率为: =0.16.

(Ⅱ)分数在[50,70)的试卷共有 18 份,其中[50,60)的有 4 份, 现需抽取容量为 9 的样本,根据分层抽样原理,在[50,60)中应抽取的份数为 =2,

∴在[50,60)中应抽取 2 份. (Ⅲ)分数分布在[90,100)的学生一共有 4 人,从中抽 2 人,其中成绩为 99 分的有 1 人, 基本事件总数 n= =6, =3,

成绩为 99 分的同学被选中包含的基本事件个数 m= ∴成绩为 99 分的同学被选中的概率 P= .

点评: 本题考查频率分布直方图的应用,考查分层抽样的应用,考查概率的求法,是基础 题, 解题时要认真审题, 注意频率分布直方图、 茎叶图、 等可能事件概率计算公式的合理运用. 20. (12 分)如图是一个长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 被一个平面截去一部分后,所得多面体的 直观图,已知 AB=6,AD=AA1=4,BE=CF=2. (Ⅰ)若点 M 的棱 DD1 的中点,求证:BM∥平面 A1EFD; (Ⅱ)求此多面体的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)连接 ED1,点 M 的棱 DD1 的中点,DD1=AA1=4,可得四边形 D1MBE 是平行 四边形,BM∥ED1,再利用线面平行的判定定理可得:BM∥平面 A1EFD; (II)由题意此多面体是一个四棱柱,底面 ABEA1 是一个梯形,高 h=AD=4,即可得出此多 面体的体积 V=sh. 解答: (I)证明:连接 ED1, ∵点 M 为棱 DD1 的中点,DD1=AA1=4, ∴BE=MD1=2, 又 BE∥MD1, ∴四边形 D1MBE 是平行四边形,

∴BM∥ED1, 又 BM?平面 A1EFD,D1E∥平面 A1EFD; ∴BM∥平面 A1EFD; (II)解:由题意此多面体是一个四棱柱, 底面 = =18,

高 h=AD=4, ∴此多面体的体积 V=sh=18×4=72.

点评: 本题考查了线面平行的判定定理、四棱柱的体积计算公式、平行四边形的判定与性 质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 21. (14 分)某地区二手车的收购市场只收购使用 10 年(含)以内的车,且二手车的收购价 计算方式如下:前四年每年递减新车购买总价的 15%;从第五年开始,每年的收购价是上一 年收购价的 (超过 n 年不到 n+1 年的按 n+1 年计算,0<n<10,n∈N) ,某人在 2014 年元旦 以 25 万元的总价购买了一辆新车. (Ⅰ)若此人在 2017 年 5 月卖车,则此人得到的卖车款是多少万元? (Ⅱ)写出卖车款 y(万元)关于新车购买后 x(年)的函数关系; (Ⅲ)若此人想得到不低于 4 万元的卖车款,则最迟应该在哪年卖车? (参考公式: logab= , 其中 a>0 且 a≠1, c>0, 且 c≠1, b>0; 参考数据 lg2≈0.3, lg3≈0.5)

考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由题意,25×(1﹣4×15%)=10,可得此人得到的卖车款是 10 万元; (Ⅱ)利用前四年每年递减新车购买总价的 15%;从第五年开始,每年的收购价是上一年收 购价的 ,可得卖车款 y(万元)关于新车购买后 x(年)的函数关系; (Ⅲ)由题意,10? ≥4,解得 x≤6,即可得出最迟应该在 2020 年元旦(或 2019)

卖车. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,25×(1﹣4×15%)=10,∴此人得到的卖车款是 10 万元; (Ⅱ)∵前四年每年递减新车购买总价的 15%;从第五年开始,每年的收购价是上一年收购 价的 ,

∴卖车款 y(万元)关于新车购买后 x(年)的函数关系

y=



(Ⅲ)由题意,10?

≥4,解得 x≤6,

2014+6=2020, ∵超过 n 年不到 n+1 年的按 n+1 年计算, ∴最迟应该在 2020 年元旦(或 2019)卖车. 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,正确理解题 意是关键. 22. (14 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 为奇函数.

(Ⅰ)求实数 n 的值; 2 (Ⅱ)设函数 g(x)=x ﹣2λx﹣2λ,若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x2∈[0,1],使得 g(x2) >f(x1)成立,求实数 λ 的取值范围; (Ⅲ)请指出方程|f(x)|=log |x|有几个实数解,并说明理由.

考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由函数 f(x)= 为 R 上的奇函数知 f(0)=n=0;从而检验即可.

(Ⅱ)由题意,对于任意 x1∈[0,1],g(x2)>f(x1)在 x2∈[0,1]上有解可化为 g(x2)max >f(x1)max,从而化为函数的最值问题求解即可. (Ⅲ)易知函数 h(x)=|f(x)|﹣log |x|= ﹣log |x|是定义在(﹣∞,0)∪(0, +∞)

上的偶函数,故可先讨论 h(x)在(0,+∞)上的零点个数,再分两类讨论即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)= ∴f(0)=n=0; 经检验,当 n=0 时,f(x)= 是 R 上的奇函数; 为 R 上的奇函数,

故 n=0; (Ⅱ)由题意,对于任意 x1∈[0,1],g(x2)>f(x1)在 x2∈[0,1]上有解, 即 g(x2)max>f(x1)在[0,1]上恒成立; 即 g(x2)max>f(x1)max,

对于 f(x)=

,易知其在[0,1]上单调递增,

故 f(x1)max=f(1)= , 对于二次函数 g(x)=x ﹣2λx﹣2λ,对称轴为 x=λ, (1)当 λ≥ 时,g(x2)max=g(0)=﹣2λ, 令﹣2λ> 得,λ< (舍去) ;
2

(2)当 λ< 时,g(x2)max=g(1)=1﹣4λ, 令 1﹣4λ> 得,λ< ; 综上所述,λ< . (Ⅲ)方程|f(x)|=log |x|只有 2 个实数解,

∵函数 h(x)=|f(x)|﹣log

|x|=

﹣log

|x|是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶

函数, 故先讨论 h(x)在(0,+∞)上的零点个数, 此时 h(x)= ﹣log x,

(1)当 x≥1 时,

﹣log

x>0 恒成立,故不存在零点,

(2)当 0<x<1 时,f(x)= y=log x 在(0,1)上单调递减;

在(0,1)上单调递增,

故 h(x)=

﹣log

x 在(0,1)上单调递增,且连续不断,

h( )= ﹣1<0,h(1)= >0, 故函数 h(x)在(0,1)上有一个零点, 综上可知,函数 h(x)在(0,+∞)上有一个零点, 故函数 h(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上只有两个零点. 即方程|f(x)|=log |x|只有 2 个实数解. 点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用,同时考查了分类讨论与恒成立问题 及存在性问题的处理方法应用,属于中档题.


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