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高中数学第2章2.21-2.22等差数列的概念等差数列的通项公式(二)配套课件苏教版必修_图文


2.2.1 等差数列的概念(二) 2.2.2 等差数列的通项公式(二)
【学习要求】 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题. 【学法指导】 1.灵活运用等差数列的性质,可以减少计算量,因此要熟练 掌握等差数列的有关性质. 2.掌握等差数列与一次函数之间的关系,就能站在较高的角 度整体把握等差数列的内涵和本质 .

填一填·知识要点、记下疑难点

1.等差数列的通项公式:an=

a1+(n-1)d

.

2.等差数列的项的对称性:有穷等差数列中,与首末两项 “等距离”的两项之和等于首末两项的和,即: a1+an =a2+ an-1 =?=ak+ an+1-k .

填一填·知识要点、记下疑难点

3.等差数列的性质 (1)若{an}是等差数列,且 k+l=m+n(k、l、m、n∈N*), 则 ak+al=am+an . (2)若{an}是等差数列,且公差为 d,则{a2n-1}和{a2n}都是等 差数列,且公差为 2d . (3)若{an}, {bn}分别是公差为 d1, d2 的等差数列, 则数列{pan +qbn}(p、q 是常数)是公差为 pd1+qd2 的等差数列.

研一研·问题探究、课堂更高效

探究点一

等差数列的常用性质

问题 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则有下列性质: (1)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq. (2)若 m+n=2k(m,n,k∈N*),则 am+an=2ak. 请你给出证明.
证明 (1)∵am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d. ∴am+an=2a1+(m+n-2)d. 同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,
∵m+n=p+q, ∴am+an=ap+aq.

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(2)∵am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
=2a1+(m+n-2)d,
2ak=2[ a1+(k-1)d] =2a1+(2k-2)d, 又 m+n=2k, ∴am+an=2ak.

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探究 已知等差数列{an}、 {bn}分别是公差为 d 和 d′, 则由{an} 及{bn}生成的“新数列”具有以下性质,请你补充完整. ①{an}是等差数列,则 a1,a3,a5,?仍成等差数列(首项不 一定选 a1),公差为 2d ; ②下标成等差数列且公差为 m 的项 ak,ak+m,ak+2m,?(k, m∈N*)组成公差为 md 的等差数列; ③数列{λan+b}(λ,b 是常数)是公差为 λd 的等差数列; ④数列{an+bn}仍是等差数列,公差为 d+d′ ; ⑤数列{λan+μbn}(λ,μ 是常数)仍是等差数列,公差为

λd+μd′ .

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探究点二 探究

等差数列与一次函数的联系

由于等差数列{an}的通项公式 an=dn+(a1-d),与一次

函数对比可知,公差 d 本质上是相应直线的斜率.如 am,an 是等差数列{an}中的任意两项, 由 an=am+(n-m)d, 可知点 (n,an)分布以 d 为斜率,以 a1-d 为纵截距的直线上.

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请你类比一次函数的单调性,研究等差数列的单调性,并完成 下表. {an}为 递增 数列

d>0

d=0

{an}为 常 数列

d<0

{an}为 递减 数列

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【典型例题】 例1 在等差数列{an}中,已知 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8= 33,求 a3+a6+a9 的值.

解 方法一 ∵a1+a4+a7=(a1+a7)+a4=3a4=39, ∴a4=13, ∵a2+a5+a8=(a2+a8)+a5=3a5=33. ∴a5=11,∴d=a5-a4=-2.
∵a3+a6+a9=(a3+a9)+a6 =3a6=3(a5+d) =3(11-2)=27.

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方法二 ∵a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)


=3a1+9d=39,
∴a1+3d=13,

∵a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)
=3a1+12d=33.

∴a1+4d=11,
? ?a1+3d=13 由①②联立? ? ?a1+4d=11 ? ?d=-2 ,得? ? ?a1=19


.

∴a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d) =3a1+15d=3×19+15×(-2)=27.

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小结

解决本类问题一般有两种方法:一是运用等差数列 {an}

的性质:若 m+n=p+q=2w,则 am+an=ap+aq=2aw(m,n, p,q,w 都是正整数);二是利用通项公式转化为数列的首项 与公差的结构完成运算,属于通性通法,两种方法都运用了整 体代换与方程的思想.

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跟踪训练 1 已知等差数列{an}中, a1+a4+a7=15, a2a4a6=45, 求此数列的通项公式.
解 因为 a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,

所以 a4=5.又因为 a2a4a6=45,所以 a2a6=9, 即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9, 解得 d=± 2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.

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例2


三个数成等差数列,和为 6,积为-24,求这三个数.
方法一 设等差数列的等差中项为 a,公差为 d,则这三

个数分别为 a-d,a,a+d, 依题得,3a=6 且 a(a-d)(a+d)=-24, 所以 a=2,代入 a(a-d)(a+d)=-24, 化简得 d2=16,于是 d=± 4, 故三个数为-2,2,6 或 6,2,-2. 方法二 +2d, 依题得,3a+3d=6 且 a(a+d)(a+2d)=-24, 所以 a=2-d,代入 a(a+d)(a+2d)=-24, 设首项为 a,公差为 d,这三个数分别为 a,a+d,a

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得 2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,
即 d2=16,于是 d=± 4,三个数为-2,2,6 或 6,2,-2.

小结

利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般

地有如下规律:当等差数列{an}的项数 n 为奇数时,可设中间 一项为 a,再用公差为 d 向两边分别设项:?a-2d,a-d,a, a+d,a+2d,?;当项数为偶数项时,可设中间两项为 a-d, a+d, 再以公差为 2d 向两边分别设项: ?a-3d, a-d, a+d, a+3d,?,这样可减少计算量.

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跟踪训练 2
解 方法一

四个数成递增等差数列,中间两数的和为 2,首
设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差

末两数的积为-8,求这四个数.
为 2d). 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即 a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1 或 d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 方法二 设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d), 依题意,2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8, 3 把 a=1-2d 代入 a(a+3d)=-8,

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3 3 9 2 得(1- d)(1+ d)=-8,即 1- d =-8, 2 2 4

化简得 d2=4,所以 d=2 或-2.

又四个数成递增等差数列,所以 d>0,所以 d=2,a=-2. 故所求的四个数为-2,0,2,4.

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2an 例 3 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= . an+2 1 (1)数列{a }是否为等差数列?说明理由. n
1 解 (1)数列{a }是等差数列,理由如下: n an+2 1 1 2an 1 ∵a1=2,an+1= ,∴ = 2a =2+a , an+2 an+1 n n 1 1 1 1 1 1 ∴ - = ,即{a }是首项为a =2, an+1 an 2 n 1 1 公差为 d=2的等差数列. 1 1 n (2)由上述可知 = +(n-1)d= , an a1 2 2 ∴an= . n

(2)求 an.

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小结

判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义: an+1

-an=d(d 为常数),也可以用 an+1-an=an-an-1(n≥2)进行判 断.本题属于“生成数列问题”,关键是形成整体代换的思想 方法,运用方程思想求通项公式.

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跟踪训练 3 正项数列{an}中,a1=1,an+1- an+1=an+ an. (1)数列{ an}是否为等差数列?说明理由. (2)求 an. 解 (1)∵an+1- an+1=an+ an,
∴an+1-an= an+1+ an, ∴( an+1+ an)· ( an+1- an)= an+1+ an, ∴ an+1- an=1, ∴{ an}是等差数列,公差为 1. (2)由(1)知{ an}是等差数列,且 d=1, ∴ an= a1+(n-1)×d =1+(n-1)×1=n, ∴an=n2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

-6 1. 等差数列{an}中, 已知 a3=10, a8=-20, 则公差 d=________.
2.等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12 =________. 24 解析 ∵a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8= 120,∴a8=24.∴2a10-a12=a10+(a10-a12)=a10-2d=a8=24.

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3.已知等差数列{an}中,a2+a3+a10+a11=36,求 a5+a8.
解 ∵a2+a3+a10+a11 =(a2+a11)+(a3+a10) =(a5+a8)+(a5+a8) =2(a5+a8) =36, ∴a5+a8=18.

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4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为 18, 平方和为 116,求这三个数.
解 设这三个数为 a-d,a,a+d,由已知得
? ??a-d?+a+?a+d?=18 ① ? 2 2 2 ? ? a - d ? + a + ? a + d ? =116 ② ?

由①得 a=6,代入②得 d=± 2. ∵该数列是递增数列,∴d>0,即 d=2. ∴这三个数依次为 4,6,8.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.判断一个数列{an}是否是等差数列,关键是看 an+1-an 是否是 一个与 n 无关的常数. 2.三个数成等差数列可设为:a-d,a,a+d 或 a,a+d,a+2d; 四个数成等差数列可设为:a-3d,a-d,a+d,a+3d 或 a, a+d,a+2d,a+3d. 3.在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素;有 关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均 可化成有关 a1、d 的关系列方程组求解,但是,要注意公式的 变形及整体计算,以减少计算量.


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