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2015高考数学题库(新)-应用题3


18.(本题满分 16 分) 如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态, 并且与天花板的距离 (即OB) 为 2m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2,A3。点 C 为 OB 上一点(不包含端 点 O、B) ,同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接,且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等。设细绳 的总长为 y (1)设∠CA1O = ? (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 ? ,当角 θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为多长。 B C A3 A1 O A2 18. (Ⅰ)解:在 Rt △ COA1 中,

CA1 ?

2 , CO ? 2 tan ? , cos ?

………2 分

y ? 3CA1 ? CB ? 3 ?

2 ? 2 ? 2 tan ? = cos ?

2(3 ? sin ? ) ? ? 2 ( 0 ? ? ? )……7 分 cos ? 4
(Ⅱ) y ? 2
/

? cos2 ? ? (3 ? sin ? )(? sin ? ) 3 sin ? ? 1 ?2 , 2 cos ? cos2 ?
1 3
………………12 分

令 y ? ? 0 ,则 sin ? ? 当 sin ? ?

1 1 时, y ? ? 0 ; sin ? ? 时, y ? ? 0 , 3 3

∵ y ? sin ? 在 [0,

?
4

] 上是增函数 1 2 时,y 最小,最小为 4 2 ? 2 ;此时 BC ? 2 ? m 3 2
…16 分

∴当角 ? 满足 sin ? ?

19.由一个小区历年市场行情调查得知,某一种蔬菜在一年 12 个月内每月销售量 P(t ) (单位:吨)与上 市时间 t (单位:月)的关系大致如图(1)所示的折线 ABCDE 表示,销售价格 Q(t ) (单位:元/千克) 与上市时间 t (单位:月)的大致关系如图(2)所示的抛物线段 GHR 表示( H 为顶点) . (1)请分别写出 P(t ) , Q(t ) 关于 t 的函数关系式,并求出在这一年内 3 到 6 月份的销售额最大的月份? (2) 图 (1) 中由四条线段所在直线 围成的平面区域为 M , 动点 P( x, y) 在 M 内 (包括边界) , 求 z ? x ? 5y ....

的最大值; (3) 由 (2) , 将动点 P( x, y) 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算 (如1 ? 2 x ? 3 y ? 3 类比为 1 ?

x2 ,试列出 P( x, y) 所满足的条件,并求出相应的最大值. ? 3) y3

(图 1)

(图 2)

? ?t ? 5 0 ? t ? 3, ? t ? 1 3 ? t ? 6, ? 19.解(Ⅰ) P(t ) ? ? ??t ? 11 6 ? t ? 9, ? ? t ? 7 9 ? t ? 12
Q(t )? ? 1 2 t( ? 4 ) ? 16 6 ? (t 0? 12) .

P(t ) ? Q(t ) ? (t ? 1)[? ( P(t ) ? Q(t ))' ? ?

1 (t ? 4) 2 ? 6] 16

( 3 ? t ? 6)

3 [(t ? 3) 2 ? 33] ? 0 在 t ? (3, 6] 恒成立,所以函数在 (3,6] 上递增 16

当 t=6 时, [ P(t )? Q(t )]max =34.5. ∴6 月份销售额最大为 34500 元 . (Ⅱ)

?5 ? x ? y ? 11 ,z=x—5y. ? ?1? x ? y ? 7 ? A? B ?1 ? A ? ?2 , ?? ? A ? B ? ?5 ? B ? 3

令 x—5y=A(x+y)+B(x—y),则 ?

∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y).由 ? 22 ? ?2( x ? y) ? ?10 , 3 ? 3( x ? y) ? 21, ∴ ?19 ? z ? 11,则(z)max=11 . (Ⅲ)类比到乘法有已知 ?

?5 ? xy ? 11 x x x ? x ,求 z ? 5 的最大值.由 5 =( xy )A· ( )B 1? ? 7 y y y ? y ?

? A? B ?1 ? A ? ?2 1 1 3 ? ( xy ) ? 2 ? .∴ , 1 ? ( xy) ? 343 ?? ? 121 25 ? A ? B ? ?5 ? B ? 3



1 343 343 ?z? ,则(z)max= . 121 25 25

18. (本题满分 15 分) 如图甲,一个正方体魔方由 27 个单位(长度为 1 个单位长度)小立方体组成,把魔方中间的一层
EFGH ? E1F1G1H1 转动 ? ,如图乙,设 ? 的对边长为 x .

(1)试用 ? 表示 x ;

E (2)求魔方增加的表面积的最大值. E1

F1 F

E? x ? E M H?

N

F F?

HH 1

G1G

H

G
G?

(图乙) (图甲) 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (1)由题意得 x ? 解得 x ?
x ? x ?3, sin ? tan ?

3sin ? (6 分) , ? ? 0,? , 1 ? sin ? ? cos ? ?

? ?

2 (2)魔方增加的表面积为 S ? 8 ? x , tan ?

由(1)得 S ?

72sin ? cos ? , ? , (10 分) ? ? 0, ? (1 ? sin ? ? cos ? )2

? ?
?

令 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? , t ? 1, ? ? ?, ? 则S ?
36 ? t 2 ? 1? (1 ? t )
2

?

?

? 36 1 ? 2 ≤36 ? 1 ? 2 ? 108 ? 72 2 (当且仅当 t ? 2 即 ? ? ? 时等 ? t ?1 2 ?1

?

?

?

?

号成立) , 答:当 ? ? ? 时,魔方增加的表面积最大为 108 ? 72 2 . (15 分) ?

17. (本题满分 15 分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用) .它 的上部是底面圆半径为 5m 的圆锥, 下部是底面圆半径为 5m 的圆柱, 且该仓库的总高度为 5m. 经过预算, 制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为 400 元/ m 2 、100 元/ m 2 ,问当圆锥的高度为多少时, 该仓库的侧面总造价(单位:元)最少?

17.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (法一)设圆锥母线与底面所成角为 ? ,且 ? ? 0,π , (2 分) 4 则该仓库的侧面总造价 y ? ? 2π ? 5 ? 5(1 ? tan ? )? ?100 ? ? 1 ? 2π ? 5 ? 5 ? ? 400 ?2 ? cos? ? ? (8 分) ? 50π 3+ 2 ? sin? , cos?

? ?

?

?

2sin? ? 1 ? ? 0 得 sin? ? 1 ,即 ? ? π , 由 y? ? 50π ? (13 分) ? ? 2 6 ? cos2? ?
经检验得,当 ? ? π 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 5 3 m. (15 分) 6 3 (法二)设圆锥的高为 x m,且 x ? ? 0, (2 分) 5? , 则该仓库的侧面总造价 y ? ? 2π ? 5 ? 5(1 ? x)? ?100 ? ? 1 ? 2π ? 5 ? x2 ? 25 ? ? 400 ? ? ?2 ?
? 150π+10π 2 x 2 ? 25 ? x , (8 分)

?

?

由 y ? ? 10π

?

2x ?1 ? 0 得 x ? 5 3 , (13 分) 3 x ? 25
2

?

经检验得,当 x ? 5 3 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 5 3 m. (15 分) 3 3

3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN 内,用长为 a 的围栏设置一个运动器材储存区域(如图所示) ,已知

?A ? 120? ,B 是墙角线 AM 上的一点,C 是墙角线 AN 上的一点.
(1) 若 BC=a=20, 求储存区域面积的最大值; (2) 若 AB=AC=10,在折线 MBCN 内选一点 D ,使 BD ? DC ? 20 ,求四边形储存区域 DBAC 的最大面 积. 解:(1)设 AB ? x, AC ? y, x ? 0, y ? 0. 由 20 2 ? x 2 ? y 2 ? 2xy cos120? ? 2 xy ? 2 xy cos120? ,

202 202 . 得 xy ? ? 2 ? 2cos120? 4sin 2 60?

?S ?

1 1 202 202 cos 60? 202 100 3 ? ? xy sin120? ? ? ? 2sin 60 cos 60 ? ? ? . 2 ? ? ? 2 2 4sin 60 4sin 60 4 tan 60 3



四边形DBAC面积的最大值为

100 3 ,当且仅当x=y时取到. 3

(2) 由 DB ? DC ? 20 ,知点 D 在以 B , C 为焦点的椭圆上, ∵ S ?ABC ?

1 3 ?10?10? ? 25 3 ,∴要使四边形 DBAC 面积最大,只需 ?DBC 的面积最大,此 2 2

时点 D 到 BC 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点.由 BC ? 10 3 ,得短半轴长 b ? 5, S?BCD 面积的 最大值为

1 ?10 3 ? 5 ? 25 3 . 2

因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 50 3 . 3.某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为 2m. (1)过点 P 的一条直线与走廊的外侧两边交于 A, B 两点,且与走廊的一边的夹角 为 ? (0 ? ? ?

?
2

) ,将线段 AB 的长度 l 表示为 ? 的函数;

(2)一根长度为 5m 的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略 不计) . 解:(1) 根据图得 l (? ) ? BP ? AP ?

2 2 ? ? , ? ? (0, ). sin ? cos ? 2

(2) 铁棒能水平通过该直角直廊,理由如下:

l ?(? ) ? (

2 2 )? ? ( )? sin ? cos ?

0 ? sin ? ? 2 ? cos ? 0 ? cos ? ? 2 ? sin ? 2(sin 3 ? ? cos3 ? ) ? ? ? . sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ?
令 l ?(? ) ? 0 得, ? ? 当0 ?? ? 当

?
4



?
4

时, l ?(? ) ? 0, l (? ) 为减函数; 时, l ?(? ) ? 0, l (? ) 为增函数; 时, l (? ) 有最小值 4 2 ,

?
4

?? ?

?
2

所以当 ? ?

?
4

因为 4 2 ? 5 ,所以铁棒能水平通过该直角走廊.

19. (本小题满分 16 分) 如图一块长方形区域 ABCD,AD=2( km ) ,AB=1( km ) .在边 AD 的中点 O 处,有一个可转动的 探照灯,其照射角∠EOF 始终为

π ,设∠AOE=α,探照灯 O 照射在长方形 ABCD 内部区域的面积为 S. 4

(1)当 0≤α< (2)当 0≤α≤

π 时,写出 S 关于 α 的函数表达式; 2 π 时,求 S 的最大值. 4

(3)若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回” (OE 自 OA 转到 OC,再回到 OA,称“一个来回” ,忽略 OE 在 OA 及 OC 反向旋转时所用时间) , 且转动的角速度大小一定, 设 AB 边上有一点 G,且∠AOG= 被照到的时间.

π ,求点 G 在“一个来回”中, 6

C

F

B G E

D

O

? ?

A

(第 19 题)

19.解: (1)过 O 作 OH⊥BC,H 为垂足. ①当 0≤α≤

π 时, 4

C

H

F

B G E

E 在边 AB 上,F 在线段 BH 上(如图①) , 此时,AE= tan? ,FH= tan(

π ? ? ) ,? 2 分 4

∴S=S 正方形 OABH-S△OAE-S△OHF

D

O

? ? 图①

A

1 1 π = 1 ? tan ? ? tan( ? ? ) . 2 2 4
②当

???? 4 分

π π <α< 时, 4 2

E 在线段 BH 上,F 在线段 CH 上(如图②) , 此时,EH=
1 1 ,FH= ,? 6 分 3 π tan ? tan( ??) 4

C

F

H

E

B G

∴EF=

1 1 ? . 3 tan ? tan( π ? ? ) 4

? ? ? 1? 1 1 ∴S=S△OEF= ? ? ?. 2 ? tan ? tan( 3π ? ? ) ? ? 4 ?

D

O

? ? 图②

A

1 π π ? 1 ?1 ? 2 tan ? ? 2 tan( 4 ? ? ), (0 ≤ ? ≤ 4 ), ? ? ? 综上所述, S ? ? ? ? 1 ? π 1 1 π ? ? ? ? , ( ? ? ? ). 3π ? 2 ? tan ? 2 tan( ??) ? 4 ? 4 ? ? ?

???? 8 分

(2)当 0≤α≤

π 1 1 π 时,S= 1 ? tan ? ? tan( ? ? ) , 2 2 4 4
?????? 10 分

1 2 即 S ? 2 ? (1 ? tan ? ? ). 2 1 ? tan ?
∵0≤α≤

π ,∴0≤ tan? ≤1.即 1≤1+ tan? ≤2. 4
2 ≥2 2 . 1 ? tan ?

∴ 1 ? tan ? ?

∴S≤2- 2 . 当 tan? = 2 -1 时,S 取得最大值为 2- 2 . (3)在“一个来回”中,OE 共转了 2× 其中点 G 被照到时,共转了 2× ?????? 12 分

3π 3π = . 4 2
?????? 14 分

π π = . 6 3

π 则“一个来回”中,点 G 被照到的时间为 9 ? 3 ? 2 (分钟) .?? 16 分 3π 2
17. (本小题满分 14 分) 第十八届省运会将于 2014 年 9 月在徐州市举办.为营造优美的环境,举办方决定在某“葫芦”形花 坛中建喷泉.如图,该花坛的边界是两个半径为 10 米的圆弧围成,两圆心 O1 、 O2 之间的距离为 10 米. ( 1 )如图甲,在花坛中建矩形喷泉,四个顶点 A , B , C , D 均在圆弧上, O1O2 ? AB 于点 M .设

? AO2 M

q ,求矩形的宽 AB 为多少时,可使喷泉 ABCD 的面积最大;

(2)如图乙,在花坛中间铺设一条宽为 2 米的观赏长廊以作休闲之用,则矩形喷泉变为两个全等的等腰 三角形,其中 NA ? NB , NO2 ? 4 米.若 ? AO2 M

p p q ? [ , ] ,求喷泉的面积的取值范围. 6 4
A
观 赏

D θ O1 、 C
(第 17 题图甲)

A M B

D θ O2

O2

O1 C

长 廊

M

N

B
(第 17 题图乙)

17. (1)在直角Δ AO2 M 中, AM ? 10sin ? , O2 M ? 10cos? ,则 AD ? 20 cos ? ? 10 , 所以矩形 ABCD 的面积 S ? 20sin ? (20cos? ? 10) ? 200(2sin ? cos? ? sin ? ) ,???4 分 令 f (? ) ? 2sin ? cos? ? sin ? , 0 < q ?

p , 3

则 f '(? ) ? 2cos2? ? cos? ? 4cos2 ? ? cos? ? 2 ,

p 令 f '(? ) ? 0 ,得 cos? ? 33 ? 1 .设 cos?0 ? 33 ? 1 ,且 0 < q0 ? ,列表如下: 8 8 3
?

? 0,?0 ?
?

?0
0 极大值

(?0 , ? ) 3
?

f '(? ) f (? )



↘ ??????10 分

所以当 ? ? ? 0 ,即 AB ?

5 30 ? 2 33 时,矩形 ABCD 的面积最大. 2

(2)由(1)易得,喷泉的面积 S ? 20sin ? (10cos? ? 4) ? 100sin 2? ? 80sin ? ,

p p p p 由 q ? [ , ] 知, 2q ? [ , ] ,所以函数 g (? ) ? 100sin 2? ? 80sin ? 是单调增函数, 6 4 3 2
所以 S ?[50 3 ? 40,100 ? 40 2] . 答: (1)矩形的宽 AB ? ????????????13 分

5 30 ? 2 33 (米)时,可使喷泉 ABCD 的面积最大; 2

(2)喷泉的面积的取值范围是 [50 3 ? 40,100 ? 40 2] (单位:平方米) .

??14 分

17. (本小题满分 14 分) 如图,某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园,种植桃树,已知角 A 为 120° ,AB, AC 的长度均大于 200 米.现在边界 AP,AQ 处建围墙,在 PQ 处围竹篱笆. (1)若围墙 AP,AQ 总长为 200 米,如何围可使 三角形地块 APQ 的面积最大? (2) 已知 AP 段围墙高 1 米, AQ 段围墙高 1.5 米, 造价均为每平方米 100 元.若围围墙用了 20000 元, 问如何围可使竹篱笆用料最省?
B
(第 17 题)

A Q P C

17.解

设 AP ? x 米, AQ ? y 米.

(1)则 x ? y ? 200 , ?APQ 的面积

S?

1 2

xy sin120? ?

3 4

xy .

??????????????????????3 分

∴S ≤

3 x? y 2 ( ) ? 2500 3 . 4 2

当且仅当 x ? y ? 100 时取“=”. ??????????????????????6 分 (注:不写“=”成立条件扣 1 分) (2)由题意得 100 ? (1? x ? 1.5 ? y) ? 20000 ,即 x ? 1.5 y ? 200 . ???????8 分 要使竹篱笆用料最省,只需其长度 PQ 最短,所以

PQ2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos120? ? x2 ? y 2 ? xy

? (200 ?1.5 y)2 ? y 2 ? (200 ?1.5 y) y ? 1.75 y 2 ? 400 y ? 40000 ( 0 ? y ?
当y?

400 ) 3

???????????????11 分

800 200 200 21 时, PQ 有最小值 ,此时 x ? . 7 7 7

??????????13 分

答:(1)当 AP ? AQ ? 100 米时,三角形地块 APQ 的面积最大为 2500 3 平方米; (2)当 AP ?

200 800 米 , AQ ? 米时,可使竹篱笆用料最省.????????? 14 分 7 7

18.(本小题满分 14 分) 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在 渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a(1 ? a ? 4 ,且 a ? R) 个单位的药剂,它 在 水 中 释 放 的 浓 度 y ( 克 / 升 ) 随 着 时 间 x ( 天 ) 变 化 的 函 数 关 系 式 近 似 为 y ? a ? f ( x) , 其 中

? 16 ? 1 (0 ? x ? 4) ? ?8 ? x f ( x) ? ? . ? 5 ? 1 x (4 ? x ? 10) ? ? 2
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验, 当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. (1)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (2) 若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能够持续有效治 污,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4).

? 64 ? 4(0 ? x ? 4) ? 18.解: (1)因为 a ? 4 ,所以 y ? ? 8 ? x …………………………………………………1 分 ? ? 20 ? 2 x(4 ? x ? 10)
则当 0 ? x ? 4 时,由

64 ? 4 ? 4 ,解得 x ? 0 ,所以此时 0 ? x ? 4 …………………………………… 3 分 8? x

当 4 ? x ? 10 时,由 20 ? 2 x ? 4 ,解得 x ? 8 ,所以此时 4 ? x ? 8 ………………………………………5 分 综合,得 0 ? x ? 8 ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天………………………… 6 分 (2)当 6 ? x ? 10 时, y ? 2 ? (5 ? = 10 ? x ?

1 16 x) ? a ( ? 1) ……………………………………………9 分 2 8 ? ( x ? 6)

16a 16a ? a = (14 ? x) ? ? a ? 4 ,因为 14 ? x ?[4,8] ,而 1 ? a ? 4 , 14 ? x 14 ? x

所以 4 a ?[4,8] ,故当且仅当 14 ? x ? 4 a 时,y 有最小值为 8 a ? a ? 4 ………………………12 分 令 8 a ? a ? 4 ? 4 ,解得 24 ?16 2 ? a ? 4 ,所以 a 的最小值为 24 ? 16 2 ? 1.6 ………………14 分

17. (本小题满分 14 分) 已知 A、B 两地相距 2 R ,以 AB 为直径作一个半圆,在半圆上取一点 C,连接 AC、BC,在三角形 ABC 内种草坪(如图) ,M、N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点,在三角形 AMC、三角形 BNC 上种花,其余 是空地.设花坛的面积为 S1 ,草坪的面积为 S2 ,取 ?ABC ? ? . (1) 用 ? 及 R 表示 S1 和 S2 ; (2) 求

S1 的最小值. S2

17. (1)因为 ?ABC ? ? ,则 AC ? 2R sin ? , BC ? 2R cos ? , 则 S2 ?

1 AC ? BC ? 2 R 2 sin ? cos ? ? R 2 sin 2? .………………………………………3 分 2

设 AB 的中点为 O,连 MO、NO,则 MO ? AC , NO ? BC . 易得三角形 AMC 的面积为 R sin ? (1 ? cos ? ) ,三角形 BNC 的面积为 R cos ? (1 ? sin ? ) ,
2 2

∴ S1 ? R sin ? (1 ? cos ? ) + R sin ? (1 ? cos ? )
2 2

? R2 (sin ? ? cos? ? 2sin ? cos? ) .
(2)∵

S1 R2 (sin ? ? cos? ? 2sin ? cos? ) sin ? ? cos? ? ? ?1 , S2 2R2 sin ? cos ? 2sin ? cos ?
2

令 sin ? ? cos? ? t ? (1, 2] ,则 2sin ? cos ? ? t ? 1 .



S S1 t 1 ? 2 ?1 ? ? 1 .∴ 1 的最小值为 2 ? 1 . 1 S2 S2 t ? 1 t? t

17.(本小题满分 14 分) 据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例 常数为 k (k ? 0) .现已知相距 18 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为 a , b ,它们连 线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设 AC ? x ( km ) . (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值. 17.解: (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 数,且 k ? 0 .

kb ka ,点 C 受 B 污染源污染程度为 ,其中 k 为比例系 2 (18 ? x) 2 x

??????????????????????????4 分

从而点 C 处受污染程度 y ?

ka kb ? . x 2 (18 ? x) 2 k kb ? , 2 x (18 ? x) 2

????????????????6 分

(2)因为 a ? 1 ,所以, y ?

???????????8 分

y ' ? k[

18 ?2 2b ? ] ,令 y ' ? 0 ,得 x ? , 3 3 x (18 ? x) 1? 3 b

???????????12 分

又此时 x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. ???????????14 分

19.一走廊拐角处的横截面如图所示, 已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的四分之一圆弧,AB ,DC 分别与圆弧 BC 相切于 B , C 两点, EF ∥ AB , GH ∥ CD ,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m . (1 )若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M , N 分别在外壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁圆弧相切于点

P .设 ?CMN ? ? (rad) ,试用 ? 表示木棒 MN 的长度 f (? ) ;
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值. M C D 1m B P G H 1m

?

m
Q

N

F

A

1m

1m

E

19.(1)如图,设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q ,过 Q 点作 CD 垂线,垂足为点 T ,且交 MN 或其延长线与 于 S ,并连接 PQ ,再过 N 点作 TQ 的垂线,垂足为 W . 在 Rt ?NWS 中,因为 NW ? 2 , ?SNW ? ? , 所以 NS ?

2 . cos ?
B

C

T

?

M

D 1m H 1m

因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P ,所以 PQ ? MN , 在 Rt ?QPS ,因为 PQ ? 1 , ?PQS ? ? , 所以 QS ? P

S G

m

1 1 , QT ? QS ? 2 ? , cos ? cos ?
N

F

①若 S 在线段 TG 上,则 TS ? QT ? QS 在 Rt ?STM 中, MS ?

Q W

TS QT ? QS ? , sin ? sin ?

QT ? QS 因此 MN ? NS ? MS ? NS ? sin ?
②若 S 在线段 GT 的延长线上,则 TS ? QS ? QT 在 Rt ?STM 中, MS ?

A

1m

1m
m

E

TS QS ? QT ? , sin ? sin ? QS ? QT QT ? QS ? NS ? sin ? sin ?

因此 MN ? NS ? MS ? NS ?

f (? ) ? MN ? NS ?
?

QT ? QS 2 2 1 ? ?( ? ) sin ? cos ? sin ? sin ? cos ?

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? (0 ? ? ? ) .………………………………………8 分 sin ? cos ? 2

(2)设 sin ? ? cos ? ? t (1 ? t ? 2) ,则 sin ? cos ? ? 因此 f (? ) ? g (t ) ? 因为 g ?(t ) ? ?

t 2 ?1 , 2

4t ? 2 . t 2 ?1

4(t 2 ? t ? 1) ,又 1 ? t ? 2 ,所以 g ?(t ) ? 0 恒成立, (t 2 ? 1)2
4t ? 2 在 t ? (1, 2] 是减函数,所以 g (t )min ? g ( 2) ? 4 2 ? 2 , t 2 ?1

因此函数 g (t ) ?

即 MNmin ? 4 2 ? 2 . 答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为 4 2 ? 2 .

17.(本小题满分 14 分) 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进 行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求 用栏栅隔开(栏栅要求在直线上) ,公共设施边界为曲线

f ( x) ? 1 ? ax 2 (a ? 0) 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交
于点 M、N,切曲线于点 P,设 P (t , f (t )) . (1)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 f 的函数 S(t); (2)若 t ?

1 ,S(t)取得最小值,求此时 a 的值及 S(t)的最小值. 2

17.解: (Ⅰ) y? ? ?2ax ,直线 MN 的斜率为 ?2at ,

? 直线 MN 的方程为 y ? (1 ? at 2 ) ? ?2at ( x ? t )
令 y ? 0, 得 x ?

1 ? at 2 1 ? at 2 ? 2at 2 1 ? at 2 1 ? at 2 ?t ? ? ?M ( , 0) 2at 2at 2at 2at
2 2 2 2

令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? at ? 2at ? 1 ? at ,? N (0,1 ? at ) ,

1 1 ? at 2 (1 ? at 2 ) 2 ??MON 的面积 S (t ) ? ? , (1 ? at 2 ) ? 2 2at 4at
(Ⅱ) S ?(t ) ?

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) ? , 4at 2 4at 2
2

因为 a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at ? 1 ? 0, 得t ? 当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2 2

1 , 3a

1 时, S ?(t ) ? 0 , 3a 1 1 时, S ?(t ) ? 0 ?当t ? 时, S (t )有最小值 . 3a 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ? 已知在 t ?

1 1 4 1 处, S (t )取得最小值 ,故有 ? ,? a ? , 2 3 3a 2

4 1 (1 ? ? ) 2 1 4 1 3 4 ?2 故当 a ? , t ? 时, S (t ) min ? S ( ) ? 4 1 2 3 3 2 4? ? 3 2
17. (本小题满分 14 分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门 (该图为轴对称图形) ,其中矩形 ABCD 的三边 AB、BC、CD 由长为 6 分米的材料弯折而成,BC 边的长 为 2t 分米( 1 ? t ?

3 ) ;曲线 AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线 C1 是一段余弦曲线(在如图所示 2

的平面直角坐标系中,其解析式为 y ? cos x ? 1 ) ,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h1 ?t ? ;曲线 C 2 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为

9 ,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h2 (t ) 8

(1)试分别求函数 h1 ?t ? 、 h2 (t ) 的表达式 (2)要使得点 O 到 BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时最大值是多少? 解: (1) h1 ?t ? ? 4 ? t ? cost

3? ? ?1 ? t ? ? 2? ? ? ?1 ? t ? ? 3? ? ?????6 分 2?

4 h2 ?t ? ? t 2 ? t ? 3 9

(2)由于 h1? (t ) ? ?1 ? sin t ≤ 0 恒成立, 所以函数 h1 (t ) 在 ?1, ? 上单调递减, 2 因此, h1 ?t ?max ? h1 ?1? ? 3 ? cos1 ???10 分

? 3? ? ?

而 h2 t

? ?

max

?3? 5 ? h? ? ? , ?2? 2

???12 分

? 3 ? cos1 ? 3 ? cos

?
3

?

5 所以选用 C 2 2

???14 分

17. (本小题满分 15 分) 某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖(如图) ,其中直

10m ,两底面 ABCD, A1B1C1D1 是高为 2 m ,面积为 四棱柱的高 AA 1 ?

?? ? 10m 2 的等腰梯形,且 ?ADC ? ? ? 0 ? ? ? ? 。若储水窖顶盖每平方 2? ?
米的造价为 100 元,侧面每平方米的造价为 400 元,底部每平方米的造 价为 500 元。 (1)试将储水窖的造价 y 表示为 ? 的函数; (2)该农户如何设计储水窖,才能使得储水窖的造价最低,最低造价是多少元(取 3 ? 1.73 ) 。 17 . 【解析】 ( 1 ) 过 A 作 AE ? DC , 垂 足 为 E , 则 AE ? 2 ,

DE ?

2 2 , AD ? , tan ? sin ? 4 , tan ?

令 AB ? x ,从而 CD ? x ?



1 4 ? ? ? 2?? x ? x ? ? ? 10 , 2 tan ? ? ?
解得 x ? 5 ?

2 2 , CD ? 5 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 tan ? tan ?

所以 y ? ? 20 ? 2 AD ?10? ? 400 ? ?10 AB ? ? 500 ? ?10CD? ?100

? 8000 ? 8000 ?

2 2 ? 2 ? ? ? ? 5000 ? ? 5 ? ? ? 1000 ? 5 ? ? sin ? tan ? ? tan ? ? ? ? 1 ?? ?? ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? 38000 ? 8000 ? ? ?? 0 ? ? ? ? · 2? ? sin ? tan ? ??
2 ? cos ? , sin ?

(2)因为 y ? 38000 ? 8000 ? 所以 y? ? 8000 令 y? ? 0 ,则 ? ? 当 ? ? ? 0, 当? ? ?

sin 2 ? ? ? 2 ? cos ? ? cos ? 8000 ?1 ? 2cos ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? sin 2 ? sin 2 ?


?
3

? ?

??

? 时, y? ? 0 ,此时函数 y 单调递减; 3?

?? ? ? , ? 时, y? ? 0 ,此时函数 y 单调递增。 ?3 2?

所以当 ? ?

?
3

时, ymin ? 38000 ? 8000 3 ? 51840 。
?

答:当 ?ADC ? 60 时,等价最低,最低造价为 51840 元。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分

18.如图,矩形 ABCD 是一个观光区的平面示意图,建立平面直角坐标系,使顶点 A 在坐标原点 O,B,D 分别在 x 轴,y 轴上,AD=3 百米 ,AB=a 百米(3≤a≤ 4)观光区中间叶形阴影部分 MN 是一个人 工湖, 它的左下方边缘曲线是函数 ≤2)的图象的一 段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条

穿越该观光区的直路(宽度不计) ,要求其与人工湖左下方边缘曲线段 MN ,并把该观 ? 相切(切点记为 P) 光区分为两部分,且直线左下部分建设为花圃.设点 P 到 AD 的距离为 t,f(t)表示花圃的面积. (1)求花圃面积 f(t)的表达式; (2)求 f(t)的最小值.

18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其 设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲 线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其 中 E (0, t ) ( 0 ? t ? 25 ,单位:米) ;曲线

y B C

·E
F A 第 18 题-甲 O 第 18 题-乙

BC 是 抛 物 线 y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 的 一
部分;CD ? AD , 且 CD 恰好等于圆 E 的 半径. 假定拟建体育馆的高 OB ? 50 米. (1)若要求 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a ?

D

x

1 1 ,求 AD 的最大值.(参考公式:若 f ( x) ? a ? x ,则 f ?( x) ? ? ) 25 2 a?x
????? 2 分

解: (1)因为 CD ? 50 ? t ? 30 ,解得 t ? 20 .

此时圆 E : x2 ? ( y ? 20)2 ? 302 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 , 所以 OD ? AD ? AO ? 24 5 ? 10 5 ? 14 5 ,将点 C (14 5,30) 代入 y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 中, 解得 a ?

1 . 49

???? 4 分

(2)因为圆 E 的半径为 50 ? t ,所以 CD ? 50 ? t ,在 y ? ?ax2 ? 50 中令 y ? 50 ? t ,得 OD ?

t , a

则由题意知 FD ? 50 ? t ?

t ? 75 对 t ? (0, 25] 恒成立, a

???? 8 分

所以

25 25 1 25 恒成立,而当 t ? ,即 t ? 25 时, t ? 取最小值 10, ? t? a t t t
1 1 . ? 10 ,解得 a ? 100 a
???? 10 分



(3)当 a ?

1 时,OD ? 5 t ,又圆 E 的方程为 x2 ? ( y ? t )2 ? (50 ? t )2 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?10 25 ? t , 25

所以 AO ? 10 25 ? t , 从而 AD ? f (t ) ? 10 25 ? t ? 5 t (0 ? t ? 25) , 又因为 f ?(t ) ? 5(? ???? 12 分 ???? 14 分

2 1 5( 25 ? t ? 2 t ) ,令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 5 , ? )? 25 ? t t 25 ? t ? t

当 t ? (0,5) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增; 当 t ? (5, 25) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递减, 从而当 t ? 5 时, f (t ) 取最大值为 25 5 . 答:当 t ? 5 米时, AD 的最大值为 25 5 米. (说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分) 方法二:令 t ? 25cos ? , ? ? [0,
2

????16 分

?
2

) ,则 AD ? 10 25 ? t ? 5 t ? 10 ? 5sin ? ? 5 ? 5cos ? 1 , 2

? 10 ? 5sin ? ? 5 ? 5cos ? ? 25 5 sin(? ? ? ) ,其中 ? 是锐角,且 tan ? ?
从而当 ? ? ? ?

?
2

时, AD 取得最大值为 25 5 米.

2 2 D ? ? 5( 2 x ?y ) 方法三: 令 x ? 25 ? t , y ? t , 则题意相当于: 已知 x ? y ? 25( x ? 0, y ? 0) , 求 z ?A

的最大值.根据线性规划知识,当直线 y ? ?2 x ? z 与圆弧 x ? y ? 25( x ? 0, y ? 0) 相切时, z 取得最大
2 2

值为 25 5 米.

19. 某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数)为半径的半圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形

CMDC 区域用于观赏样板地, ?OCD 区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售.已知观赏

样板地的成本是每平方米 2 元,花木的利润是每平方米 8 元,草皮的利润是每平方米 3 元.

? (1) 设 ?COD ? ? , CMD ? l ,分别用 ? , l 表示弓形 CMDC 的面积 S弓 ? f (? ), S弓 ? g (l ) ;
(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? (参考公式:扇形面积公式 S ?

1 2 1 R ? ? Rl ) 2 2

M C
观赏样板地

D

花木地

A
19.(1) S扇 ?

草皮地

O

草皮地

B

1 2 R ? , S?OCD ? 1 R2 sin? , 2 2

1 S弓 ? f (? ) ? R2 (? ? sin? ) . 2

又? S扇 ?

1 Rl , S?OCD ? 1 R2 sin l , 2 2 R

1 l S弓 ? g (l ) ? R(l ? R sin ) . 2 R

(2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2 ,观赏样板地成本为 y3

1 1 1 1 y1 ? 3( ? R2 ? lR) , y2 ? R2 sin ? ? 8 , y3 ? R(l ? R sin ? ) ? 2 , 2 2 2 2 1 1 1 1 ? y ? y1 ? y2 ? y3 ? 3( ? R2 ? R2? ) ? R2 sin? ? 8 ? R2 (? ? sin? ) ? 2 . 2 2 2 2 1 . )] ? R2 [ 3 ? ? (? 5 ? 1 0 s? in 2
设 g (? ) ? 5? ? 10sin ?

? ? ( 0? , .)

g ' (? ) ? 5 ? 10cos? , …………12 分

1 ? 上为减函数; g ' (? ) ? 0,cos? ? , g (? )在? ? (0, ) 2 3 1 ? 上为增函数. g ' (? ) ? 0,cos? ? , g(? )在? ? ( ,?) 2 3
当? ?

?
3

时, g (? ) 取到最小值,此时总利润最大.

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

?
3

时,总利润最大.

18. (本小题满分 16 分)

如图,实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成,圆 P 和圆 Q 的半径 都是 2km,点 P 在圆 Q 上,现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地. (1)如图甲,要建的活动场地为△ RST,求场地的最大面积; (2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形 ABCD,求场地的最大面积.
R M B S T P Q C D P Q A M

N

N

1 解: (1)如右图,过 S 作 SH⊥RT 于 H,S△ RST= SH ? RT . 2

(第 17 题甲)

(第 17 题乙)

由 题 意 , △ RST 在 月 牙 形 公 园 里 , RT 与 圆 Q 只 能 相 切 或 相 离 ; RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有 RT≤4,SH≤2,当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时(如下左图) ,上面两个不等式中等号同时成立.

1 此时,场地面积的最大值为 S△ RST= ? 4 ? 2 =4(km2) . 2
R M B θ S P Q C T N 甲 D N 乙 P Q A M

(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, AD 必须切圆 Q 于 P,再设∠BPA= ? ,则有

S四边形ABCD ? 1 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? sin(π ? 2? ) ? 4(sin ? ? sin ? cos? ) 0 ? ? ? π . 2 2 2
2 ? ? cos ? cos ? ?sin ? (? s i n ?) ? 2c o s ? ? co s ? ? 1 . 若 y? ? 0 , 令 y ? sin? ? sin? cos ? , 则 y ? ? c o s

?

?

cos? ? 1 ,? ? π ,又 ? ? 0,π 时, y ? ? 0 ,? ? π ,π 时, y ? ? 0 , 函数 y ? sin ? ? sin ? cos ? 在 ? ? π 处 2 3 3 3 3 2

? ?

?

?

取到极大值也是最大值, 故 ? ? π 时,场地面积取得最大值为 3 3 (km2) . 3

19. (本小题满分 16 分) 几名大学毕业生合作开设 3 D 打印店,生产并销售某种 3 D 产品.已知该店每月生产 的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为 34 元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销 售产品的生产成本,第二部分是其它固定支出 20000 元.假设该产品的月销售量 t ( x) (件)与销售价格 x

2 (元/件) ( x ? N ) 之 间 满 足 如 下 关 系 : ① 当 34 ≤ x ≤ 60 时 , t ( x) ? ? a( x ? 5) ;②当 ? 10050

?

6 0 ≤ x ≤ 7 0时, t ( x) ? ?100 x ? 7600 .设该店月利润为 M (元) ,月利润=月销售总额-月总成本.
(1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式; (2)求该打印店月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格. 19.解: (1)当 x ? 60 时, t (60) ? 1600 ,代入 t ( x) ? ?a( x ? 5)2 ? 10050 , 解得 a ? 2 . ????????????????????????2 分

2 ? ? ?(?2 x ? 20 x ? 10000)( x ? 34) ? 20000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν , ∴ M ( x) ? ? ? ? ?(?100 x ? 7600)( x ? 34) ? 20000,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

3 2 ? ? ??2 x ? 48x ? 10680 x ? 360000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν , 即 M ( x) ? ? 2 ? ? ??100 x ? 1100 x ? 278400,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

?????4 分

(注:写到上一步,不扣分. ) (2)设 g (u) ? (?2u 2 ? 20u ?10000)( u ?34) ?20000 , 34 ≤ u ? 60 , u ? R ,则
g ?(u) ? ?6(u 2 ? 16u ? 1780) .

令 g ?(u ) ? 0 ,解得 u1 ? 8 ? 2 461 (舍去) , u2 ? 8 ? 2 461 ? (50,51) .?????7 分 当 34 ? u ? 50 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递增; 当 51 ? u ? 60 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递减. ? ????????????10 分

∵ x ? Ν? , M (50) ? 44000 , M (51) ? 44226 ,∴ M ( x ) 的最大值为 44226 .???12 分 当 60 ≤ x ≤ 70 时, M ( x) ? 100(? x2 ? 110x ? 2584) ? 20000 单调递减, 故此时 M ( x ) 的最大值为 M (60) ? 216000 . ? ????????????14 分 ????????15 分

综上所述,当 x ? 51 时,月利润 M ( x ) 有最大值 44226 元.

答:该打印店店月利润最大为 44226 元,此时产品的销售价格为 51 元/件. ??16 分 19. (本小题满分 16 分)如图是一幅招贴画的示意图,其中 ABCD 是边长为 2 a 的正方形,周围是四个全 等的弓形.已知 O 为正方形的中心,G 为 AD 的中点,点 P 在直线 OG 上,弧 AD 是以 P 为圆心、PA 为半 径的圆的一部分,OG 的延长线交弧 AD 于点 H。设弧 AD 的长为 l , ?APH ? ? , ? ? ( (1)求 l 关于 ? 的函数关系式; ( 2 )定义比值

? 3?
4 , 4

)

OP 为招贴画的优美系数,当优美系数最大时,招贴画最优美。证明:当角 ? 满足: l

? ? ? tan(? ? ) 时,招贴画最优美
4

18.(本小题满分 16 分) 一位幼儿园老师给班上 k (k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就先从别处抓 2 块 糖加入盒中, 然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 块糖加入盒中, 然后把盒内糖果的 2

1 分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖 3
果的

1 分给第 n(n ? 1,2,3,?k ) 个小朋友.如果设分给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内 n ?1

剩下的糖果数为 an . (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2)请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? (n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3) 是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a 0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请求出所有的
k 和 a 0 ,如果不存在,请说明理由.

20. 解: (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2? ?

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2

a2 ? ?a1 ? 2? ?

1 ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? 1 ?a2 ? 2? ? 6 .??3 分 3 4

(2)由题意知: an ? ?an?1 ? 2? ?

1 ?an?1 ? 2? ? n ?an?1 ? 2? ,??6 分 n ?1 n ?1

即 ?n ? 1?an ? n?an?1 ? 2? ? nan?1 ? 2n , ? bn ? (n ? 1)an ,?bn ? bn ?1 ? 2n, ??7 分

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, ? b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n? n ? n?n ? 1? ,??9 分
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0 .??10 分

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 ,??12 分 n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a 0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列, 则 a1 ? a3 ? 2a2 ,??14 分

1 a ? a ? 即 (1 ? a0 ) ? 3 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 ,??15 分 2 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列. ??16 分 [注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查阅 读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有 5 名小朋友,每个小朋友 都分到糖果,求 a0 的最小值.

17(本题满分 16 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分) 如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道 AB 的长为 4.5km,且跑道所在的直线与海岸线 l 的夹角为 60o(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点 B 到海岸线的距离 BC=4 3km.D 为海湾一 侧海岸线 CT 上的一点,设 CD=x(km),点 D 对跑道 AB 的视角为? . (1)将 tan? 表示为 x 的函数; (2)求点 D 的位置,使? 取得最大值.
B A

θ l C x (第 17 题) D T

17、 (本题满分 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) 解: (1)过 A 分别作直线 CD,BC 的垂线,垂足分别为 E,F. 由题知,AB=4.5,BC=4 3,∠ABF=90o-60o=30o, 9 9 所以 CE=AF=4.5×sin30o= ,BF=4.5×cos30o= 3, 4 4 25 AE=CF=BC+BF= 3. 4 因为 CD=x(x>0),所以 tan∠BDC= BC 4 3 = . CD x
E 图1 D C D E 图2 F A F A

B

B

C 25 3 9 9 AE 4 25 3 当 x> 时,ED=x- ,tan∠ADC= = = (如图 1) ; 4 4 ED 9 4x-9 x- 4

9 9 AE 25 3 当 0<x< 时,ED= -x,tan∠ADC=- = (如图 2) .???????4 分 4 4 ED 4x-9 tan∠ADC-tan∠BDC 所以 tan?=tan∠ADB=tan(∠ADC-∠BDC)= 1+tan∠ADC· tan∠BDC 25 3 4 3 - x 4x-9 9 3(x+4) 9 = = ,其中 x>0 且 x≠ . 4 x (4 x - 9) + 300 25 3 4 3 1+ · x 4x-9 9 CE 9 3 当 x= 时 tan?= = ,符合上式. 4 BC 48 9 3(x+4) 所以 tan?= ( x>0)?????????????????????8 分 x(4x-9)+300

9 3(x+4) 9 3 (2) (方法一)tan?== = ,x>0.?????11 分 400 x(4x-9)+300 4(x+4)+ -41 x+4 400 因为 4(x+4)+ -41≥2 x+4 400 4(x+4)· -41=39, x+4

400 当且仅当 4(x+4)= ,即 x=6 时取等号. x+4 400 所以当 x=6 时,4(x+4)+ -41 取最小值 39. x+4 3 3 所以当 x=6 时,tan? 取最大值 . 13 ???????????????????13 分

π 由于 y=tanx 在区间(0, )上是增函数,所以当 x=6 时,? 取最大值. 2 答:在海湾一侧的海岸线 CT 上距 C 点 6km 处的 D 点处观看飞机跑道的视角最大.?14 分 9 3(x+4) 9 3(x+4) (方法二)tan? =f(x)= = . x(4x-9)+300 4x2-9x+300 9 3[(4x2-9x+300)-(x+4)(8x-9)] 36 3(x+14)(x-6) f ?(x)= =- ,x>0. 2 2 (4x -9x+300) (4x2-9x+300)2 由 f ?(x)=0 得 x=6. ??????????????????????????11 分

当 x∈(0,6)时,f ?(x)>0,函数 f(x)单调递增;当 x∈(6,+∞)时,f ?(x)<0,此时函数 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)在 x=6 时取得极大值,也是最大值 f(6)= 3 3 . 13 ???????13 分

π 由于 y=tanx 在区间(0, )上是增函数,所以当 x=6 时,? 取最大值. 2 答:在海湾一侧的海岸线 CT 上距 C 点 6km 处的 D 点处观看飞机跑道的视角最大.?14 分

17. (本小题满分14分) 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流 速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过50辆/千米时,车流速度为 30千米/小时.研究表明:当50<x≤200时,车流速度v与车流密度x满足 v( x) ? 40 ? 流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时. (1)当0<x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x· v(x)可 以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据 5 ? 2.236) 17.解:(1) 由题意:当0<x≤50时,v(x)=30; 当50≤x≤200时,由于 v( x) ? 40 ?

k .当桥上的车 250 ? x

k , 250 ? k

再由已知可知,当x=200时,v(0)=0,代入解得k=2000.

?30, 0 ? x ? 50 ? 故函数v(x)的表达式为 v( x) ? ? . 2000 40 ? ,50 ? x ? 200 ? 250 ? x ? ?30x, 0 ? x ? 50 ? (2) 依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? , 2000x 40x ? ,50 ? x ? 200 ? 250 ? x ?
当0≤x≤50时,f(x)=30x,当x=50时取最大值1500. 当50<x≤200时,

f ( x) ? 40 x ?

2000 x 250 ? x

? ?40(250 ? x) ? 40 ? 250 ? 500000 250 ? x

2000(250 ? x) ? 2000 ? 250 250 ? x 500000 250 ? x

? 12000 ? [40(250 ? x) ?

] ? 12000 ? 2 40(250 ? x) ?

? 12000 ? 4000 5 ? 12000 ? 4000 ? 2.236 ? 3056
取等号当且仅当 40 (250 ? x) ?

500000 ,即 x ? 250 ? 50 5 ? 138 时,f(x)取最大值. 250 ? x

综上,当车流密度为138 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3056辆/小时.

17. (本小题满分 14 分) 第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办, 展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形 ABCD, BC ? a , CD ? b .a,b 为常数且满足 b ? a .组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形 地块 AEF 建游客休息区 (点 E, F 分别在线段 AB, AD 上) , 且该直角三角形 AEF 的周长为 l( l ? 2b ) , F A D 如图.设 AE ? x ,△ AEF 的面积为 S . (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地 块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值. B 17.解: (1)设 AF ? y ,则 x ? y ?
S?

E

b

a
l 2 ? 2lx .???3 分 2(l ? x )

C

x 2 ? y 2 ? l ,整理,得 y ?

1 x(l 2 ? 2lx) xy ? , x ? (0, b? . 2 4(l ? x)

?????????????4 分

? l 2 x2 ? 4lx ? l 2 2l 2? 2 ? ? 2? 2 ? (2) S ' ? ? ? x ? l ? x ? l? ? ? 2 2 ? ? ? ? , x ? (0, b? 4 2 2 4? x ? l ? ? ?x ? l? ? ? ? ?

?当 b ?

bl ? 2b ? l ? 2? 2 l 时, S ' ? 0 , S 在 (0, b? 递增,故当 x ? b 时, Smax ? ; 2 4 ?b ? l ?

当b ?

? 2? 2 ? ?2? 2 ? 2? 2 l 时,在 x ? ? 0, S' ? 0 ,S 递 上, S ' ? 0 , S 递增,在 x ? ? l? ? ? ? 2 l, b ? ? 上, 2 2 ? ? ? ?

减,故当 x ?

2? 2 3?2 2 2 l 时, S max ? l . 2 4

17. (本小题满分 15 分)如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。在点 A 处有一个可转动的 探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45
0

(其中点 P , Q 分别在边 BC , CD 上),设 ?PAB ? ? , tan? ? t .

(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)? 解(1) BP ? t , CP ? 1 ? t ,0 ? t ? 1.
D Q C

?DAQ ? 45 0 ? ? , DQ ? tan( 45 0 ? ? ) ? CQ ? 1 ? 1? t 2t ? . 1? t 1? t

1? t , 1? t
450

P

A

?

第 19 题图

B

2t 2 1 ? t 2 ? PQ ? CP 2 ? CQ 2 ? (1 ? t ) 2 ? ( ) ? 1? t 1? t
? l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ?

2t 1 ? t 2 ? ? 1? t ?1? t ? 2 1? t 1? t
1 1 1? t t 1 1? t ?1? t ? ?1? ?1? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t

(2) S ? S正方形 ABCD ? S ?ABP ? S ?ADQ ? 1 ? 1 ?

?1?

t 1 2 ? (t ? 1) t 1 2 1 t 1 ? ? ?1? ? ? ( ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t 2 2 t ?1

? 2?(

t ?1 1 ? ) 2 t ?1

?1 ? t ? 0 ? S ? 2 ? (
(当且仅当

t ?1 1 t ?1 1 ? ) ? 2?2 ? ? 2? 2 2 t ?1 2 t ?1

t ?1 1 ? ,即 t ? 2 ? 1 等号成立) 2 t ?1

答:探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 ? 2 平方百米.

17. 某生产旅游纪念品的工厂,拟在 2010 年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年销 售量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3 ? x 与 t ? 1 成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有 1 万件. 已知工厂 2010 年生产纪念品的固定投资为 3 万元, 每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元. 当 工厂把每件纪念品的售价定为: “年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时, 则 当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用) (1)求出 x 与 t 所满足的关系式; (2)请把该工厂 2010 年的年利润 y 万元表示成促销费 t 万元的函数; (3)试问:当 2010 年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?

17. 解: (1)设比例系数为 k (k ? 0) .由题知,有 3 ? x ? 又 t ? 0 时, x ? 1 ,所以 3 ? 1 ? 所以 x 与 t 的关系是 x ? 3 ?

k . t ?1

k ,k ? 2. 0 ?1

2 (t ? 0) .…………4 分 t ?1

(2)依据题意,可知工厂生产 x 万件纪念品的生产成本为 (3 ? 32x) 万元,促销费用为 t 万元,则每件纪

t ? t ? ? 3 ? 32 x ? 3 ? 32 x ? 150% ? ? 150% ? 念品的定价为: ? ? 元/件.于是, y ? x ? ? ? ? ? 3 ? 32 x ? ? t , 2x ? 2x ? ? x ? x
进一步化简,得 y ?

99 32 t ? ? (t ? 0) . 2 t ?1 2

因此,工厂 2010 年的年利润 y ? (3)由(2)知, y ?

99 32 t ? ? (t ? 0) 万元.…8 分 2 t ?1 2

99 32 t ? ? (t ? 0) 2 t ?1 2
32 t ? 1 ? 32 t ? 1 ? ? 50 ? ? ? ? ? 42 , ? ? 50 ? 2 2 ? t ?1 2 ? t ?1

当且仅当

t ? 1 32 ,即 t ? 7 时,取等号, ? 2 t ?1

所以,当 2010 年的促销费用投入 7 万元时,工厂的年利润最大,最大利润为 42 万元.

18.(本小题满分 16 分) 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示. 其上部 分是以 AB 为直径的半圆, 点 O 为圆心, 下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,DE , DF 是两根支杆, 其中 AB ? 2 米, ?EOA ? ?FOB ? 2 x(0 ? x ?

?
4

) . 现在弧 EF 、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧

AE 、 弧 BF 、 线段 AD 与线段 BD 上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,
且彩灯的比例系数为 2 k ,节能灯的比例系数为 k (k ? 0) ,假定该霓虹灯整体的“心悦效果” y 是所有灯“心 悦效果”的和. (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳? E
2x

F

A

O

B

D
第 18 题

18.解: (1)因为 ?EOA ? ?FOB ? 2 x ,所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 ? ? 4 x, 2 x, 2 x 连接 OD,则由 OD=OE=OF=1, ?FOD ? ?EOD ? 2 x ?

?
2

,所以

D E ? D F? 1 ?1 ?2 c o s ( x 2? 2

?

? )

? 2

2 sx in? 2

2x( s ?i n…………6 x cos 分 )

所以 y ? 2k (2 2(sin x ? cos x) ? ? ? 4 x) ? k(2 2 ?4 x)

? 2k (2 2(sin x ? cos x) ? 2x ? 2 ? ? ) …………………………………9 分
(2)因为由 y? ? 4k ( 2(cos x ? sin x) ?1) ? 0 …………11 分 解得 cos( x ? 又当 x ? (0, 当 x?(

?
4

)?

? 1 ,即 x ? ………………13 分 12 2

?
12

) 时, y? ? 0 ,所以此时 y 在 (0,

?
12

) 上单调递增;

, ) 时, y? ? 0 ,所以此时 y 在 ( , ) 上单调递减. 12 4 12 4

? ?
?
12

? ?

故当 x ?

时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16 分

17. (本小题满分 14 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克) a 满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售 x-3 出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2) 若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大. a 17. 解: (1)由题设知 x=5 时 y=11,则 11= +10(5-6)2,解得 a=2. 5-3 2 (2)由(1)知该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为 x-3 2 f(x)=(x-3) [ +10(x-6)2]=2+10(x-3) (x-6)2,3<x<6. ………………6 分 x-3 对函数 f(x)求导,得 f ′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 令 f ′(x)=0 及 3<x<6,解得 x=4. ………………10 分

当 3<x<4 时,f ′(x)>0,当 4<x<6 时,f ′(x)<0,于是有函 数 f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减, 所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. ………………13 分

答:当销售价格 x=4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42.

15.(本小题满分 14 分) 如图,摩天轮的半径为 50 m,点 O 距地面的高度为 60 m,摩天轮做匀速转动,每 3 min 转一圈,摩 天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 m?

15. (1)解:设点 P 离地 面的距离为 y,则可令 y=Asin(ωt+φ)+b. 由题设可知 A=50,b=60. 2π 2π 2π 又 T= =3,所以 ω= ,从而 y=50sin( t+φ)+60. ω 3 3 ………………2 分 ………………4 分

2π π 再由题设知 t=0 时 y=10,代入 y=50sin( t+φ)+60,得 sinφ=-1,从而 φ=- . 3 2 2π 因此,y=60-50cos t 3 (t≥0). ………………8 分

2π 2π 1 (2)要使点 P 距离地面超过 85 m,则有 y=60-50cos t>85,即 cos t<- . 3 3 2 2π 2π 4π 于是由三角函数基本性质推得 < t< ,即 1<t<2. 3 3 3 ………………12 分

所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 m 的时间有 1 分钟.

18. (本小题满分 15 分) 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道 ABC 是一段抛物线,某轮滑 运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E 处, 飞行的轨迹是一段抛物线 CDE(抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内) ,D 为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所 在平面上建立如图所示的直角坐标系, x 轴在地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1),点 B(2, 0),单位:米. (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程; (Ⅱ) 若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同 线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在 4 到 6 米之间 (包括 4 米和 6 米) , 试求运动员飞行过程中距离平台 最大高度的取值范围? (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值. ) 18. (本小题满分 15 分)
O C B
2

y
4 A

D


E x

切 米

解: (1)设助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? a0 x2 ? b0 x ? c0 ,

?c0 ? 4, ? 依题意: ?4a0 ? 2b0 ? c0 ? 0, ?9a ? 3b ? c ? 1, 0 0 ? 0
解得, a0 ? 1 , b0 ? ?4 , c0 ? 4 , ∴助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 . (2)设飞行轨迹所在抛物线为 g ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) , 依题意: ?

…………………3 分

…………………7 分

? f (3) ? g (3), ?9a ? 3b ? c ? 1, ?b ? 2 ? 6a, 得? 解得 ? …………………9 分 ? f '(3) ? g '(3), ?6a ? b ? 2, ?c ? 9a ? 5,
2

∴ g ( x) ? ax ? (2 ? 6a ) x ? 9a ? 5 ? a ( x ? 令 g ( x) ? 1 得, ( x ? 当x ?

3a ? 1 2 1 ) ?1? , a a

3a ? 1 2 1 3a ? 1 1 2 ) ? 2 ,∵ a ? 0 ,∴ x ? ? ? 3 ? ,…11 分 a a a a a

3a ? 1 1 时, g ( x) 有最大值为 1 ? , a a 2 2 ?3? ? , a a 1 1 ?1 ? ? , a a
………………13 分

则运动员的飞行距离 d ? 3 ?

飞行过程中距离平台最大高度 h ? 1 ? 依题意, 4 ? ?

2 1 ? 6 ,得 2 ? ? ? 3 , a a

即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间.………………15 分

17.(本小题满分 14 分) 某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高 产品的附加值.改造需要投入,假设附加值 y (万元)与技术改造投入 x (万元)之间的关系满足:① y 与 (a ? x) 和 x 的乘积成正比;②当 x ?
2

a x 3 ? t , 其中常数 t ? (0, 2] . 时, y ? a ;③ 0 ? 2 2(a ? x)

(1)设 y ? f ( x) ,求函数 f ( x ) 的解析式与定义域; (2)求出附加值 y 的最大值,并求此时的技术改造投入 x . 解析: (1) y = k (a ? x) x ,由 x =
2

a ka3 3 3 时, y = a 得 = a , k =8, 2 8

∴ y = 8(a ? x) x ,又 0≤
2

2at x ≤ t ,∴0≤ x ≤ 2t ? 1 2(a ? x)

f ( x) = 8ax 2 ? 8 x3 其定义域为[0,
2

2at ]. 2t ? 1 2a 3

(2) f ?( x ) = 16ax ? 24 x = ?8x(3x ? 2a) ,令 f ?( x ) =0,则 x =0 或 x = 当 x ∈(0,

2a 2a )时, f ?( x ) >0,当 x ∈( ,+∞)时, f ?( x ) <0, 3 3 2a 2a )上单调增,在( ,+∞)上单调减, 3 3

f ( x) 在(0,
① 当

2 a 2at 2at 2at ≥ ,即 0< t ≤1 时, f ( x ) 在(0, )上单调增,故当 x = 时, 3 2t ? 1 2t ? 1 2t ? 1

f ( x) 取极大值 f ( x)max =
②当

32a 3t 2 (2t ? 1)3

2a 2at 2a 2a 2at < 即 1< t ≤2 时, f ( x ) 在(0, )上单调增,在( , )上单调减 3 2t ? 1 3 3 2t ? 1
2a 32 a 3 时, f ( x ) 取极大值 f ( x)max = 3 27

故当 x =

由于 f ( x ) 在给定区间上只有一个极大点,故此极大值即为所求的最大值.

17.(本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上, 且均与水平面垂直, 它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在 线 段 BC 上 取 一 点 P ( 点 P 与 点 B , C 不 重 合 ) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为
?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A

B

?
P

?
第 17 题图

C

17.⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE ???????2 分 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + ? x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 9 6 1? ? x x
答: BC 的长度为 18m .????????????????????????6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 .?????????8 分 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t ? , ,令 f ?(t ) ? 0 ,因为 0 ? t ? 18 ,得 t ? 15 6 ? 27 , f ( t ) ? (t 2 ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135
时, f ?(t ) ? 0 ,

当 t ? (0,15 6 ? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数;当 t ? (15 6 ? 27,18)

f (t ) 是增函数,
所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,???12 分 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ???????????14 分

? 2

? 2

17.(本小题满分 14 分) 图 1 是某斜拉式大桥图片,为了了解桥的一些结构情况,学校数学兴趣小组将 大 桥 的 结 构 进 行 了 简 化 , 取 其 部 分 可 抽 象 成 图 2 所 示 的 模 型 , 其中桥塔 AB 、 CD 与桥面 AC 垂直,通过测量得 知 AB =50m , AC =50m ,当 P 为 AC 中点时, ?BPD=45 . (1)求 CD 的长; (2)试问 P 在线段 AC 的何处时, ? BPD 达到最大.


D

B

A
图1

P
图2

C

17.(1)设 ?BPA ? ? , ?DPC ? ? , CD ? h ,则 tan ? ? 2 , tan ? ?

h , 25

h 25 ? ?1,解得 CD ? h ? 75 .……………………………………6 分 由题意得, tan(? ? ? ) ? h 1? 2 ? 25 2?
(2)设 AP ? x (0 ? x ? 50) ,则 tan ? ?

50 75 , tan ? ? , x 50 ? x

50 75 ? 25( x ? 100) ,…………………………8 分 ? tan ?BPD ? ? tan(? ? ? ) ? ? x 50 ? x ? 2 50 75 x ? 50 x ? 50 ? 75 1? ? x 50 ? x

? x2 ? 50 x ? 50 ? 75 ? 0 ,? tan ?BPD ? 0 ,即 ?BPD 为锐角,
令 t ? x ? 100 ? (100,150) ,则 x ? t ? 100 ,

? tan ?BPD ? ? tan ?BPD ?

25t 25t ? 2 , (t ? 100) ? 50(t ? 100) ? 50 ? 75 t ? 250t ? 50 ? 375
2

25 25 1 ? ? ,………………………12 分 50 ? 375 50 ? 375 2 30 ? 10 t? ? 250 2 t ? ? 250 t t

当且仅当 t ?

50 ? 375 即 t ? 25 30 ? (100,150) , t

? AP ? 25 30 ?100 时, ?BPD 最大. …………………………………………………………14 分
17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用于风景区改造为 y 亿元。 该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随 每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③每年用于 风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的 15%,但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a ? 2 ,b ? 2.5 ,请你分析能否采用函数模型 y= (2)若 a 、 b 取正整数,并用函数模型 y=

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案; 100

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案,请你求出 a 、 100

b 的取值.
17.解: (1)∵ y ' ?

1 (3x 2 ? 4) ? 0 , 100

∴函数 y=

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 是增函数,满足条件①。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 100

设 g ( x) ? 则 g '( x) ?

y 1 16 ? ( x2 ? 4 ? ) , x 100 x

1 16 ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) (2 x ? 2 ) ? , 100 x 50 x 2

令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, 2) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ??) 上是增函数, 又 a ? 2 , b ? 2.5 ,即 x ? [2, 2.5] , g ( x) 在 [2, 2.5] 上是增函数, ∴当 x ? 2 时, g ( x) 有最小值 0.16=16%>15%, 当 x ? 2.5 时, g ( x) 有最大值 0.1665=16.65%<22%, ∴能采用函数模型 y= (2)由(1)知 g ( x) ?

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 100

y 1 16 ? ( x2 ? 4 ? ) , x 100 x

依题意,当 x ? [a, b] , a 、 b ? N * 时, 15% ? g ( x) ? 22% 恒成立; 下面求 15 ? x ? 4 ?
2

16 ? 22 的正整数解。 x

令 h( x ) ? x ? 4 ?
2

16 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 x

由(1)知 x ? N , h( x) 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数,
*

又由(1)知,在 x ? 0 时, g ( x)min ? g (2) ,且 g (2) =16%∈[15%,22%],

? x ? 2 合条件,经枚举 g (1) , g (3) ∈[15%,22%],
而 g (4) ?[15%,22%],可得 x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 , 由 g ( x) 单调性知 a ? 1, b ? 2 或 a ? 1, b ? 3 或 a ? 2, b ? 3 均合题意。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·15 分

17. 如图一块长方形区域 ABCD , AD ? 2 , AB ? 1 ,在边 AD 的中点 O 处有一个可转动的探照灯,其 照射角 ?EOF 始终为 (1)当 0 ? ? ? (2)当 0 ? ? ?

? ,设 ?AOE ? ? ,探照灯照射在长方形 ABCD 内部区域的面积为 S 4 F C

B

?
2

时,求 S 关于 ? 的函数关系式;
E

?
4

时,求 S 的最大值;
D O

?
A

(3)若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回” ( OE 自 OA 转到 OC ,再回到 OA ,称“一个来回” ,忽略 OE 在

OA 及 OC 处所用的时间) ,且转动的角速度大小一定。设 AB 边上有一点 G ,且 ?AOG ?

?
6

,求点 G 在

“一个来回”中被照到的时间。 17. (1)当 0 ? ? ?

?
4

时, E 在 AB 上, F 在 BC 上, S ? 1 ?

1 1 ?? ? tan? ? tan? ? ? ? 2 2 ?4 ?



?
4

?? ?

?
2

时, E 、 F 都在 BC 上, S ?

1 1 [ ? 2 tan?

1 ] ??5 分 ? 3? ? tan? ?? ? ? 4 ?

(2)当 0 ? ? ? 当 tan? ?

?
4

时, S ? 1 ?

1 1 ?? 1? 2 ? ? tan? ? tan? ? ? ? ? 2 ? ?1 ? tan? ? ? , tan? ? ?0,1? 2 2 ?4 2? 1 ? tan? ? ?

2 ? 1 时, S max ? 2 ? 2 ??????????10 分
3? 3? ? ? ? ,其中点 G 被照到时, OE 共转动了 2 ? ? 4 2 6 3

(3)在“一个来回”中, OE 共转动了 2 ? 点 G 被照到的时间为 t ? 9 ? (

?
3

?

3? ) ? 2 分钟????????14 分 2

17. (本小题满分 14 分) 在一个半径为 1 的半球材料中截取三个高度均为 h 的圆柱,其轴截面如图所示,设三个圆柱体积之和为

V ? f (h) .
(1)求 f ( h) 的表达式,并写出 h 的取值范围是 ; (2)求三个圆柱体积之和 V 的最大值;

17.(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为:

r1 ? 1 ? h2,r2 ? 1 ? (2h)2,r3 ? 1 ? (3h)2 .
???????????3 分 它们的高均为 h ,所以体积和

?

3 2 2 2 V ? f (h) ? ?r12 h ? ?r22 h ? ?r32 h ? ? ? ?(1 ? h ) ? (1 ? 4h ) ? (1 ? 9h ) ? ? h ? ?(3h ? 14h ) 6 分

因为 0 ? 3h ? 1 ,所以 h 的取值范围是 (0, ) ;

1 3

???????????????7 分 ??????9 分

⑵ 由 f (h) ? ?(3h ? 14h3 ) 得 f ?(h) ? ?(3 ? 42h2 ) ? 3?(1 ? 14h2 ) , 又 h ? (0, ) ,所以 h ? (0, 所以 f (h) 在 (0, 所以 h ?

1 3

14 14 1 ) 时, f ?(h) ? 0 ; h ? ( , ) 时, f ?(h) ? 0 .11 分 14 14 3

14 14 1 ) 上为增函数,在 ( , ) 上为减函数, 14 14 3

14 14 14 ? )? 时, f (h) 取最大值, f (h) 的最大值为 f ( . ???13 分 14 14 7

答:三个圆柱体积和 V 的最大值为

14 ? . ????????????????14 分 7

17. (本小题满分 14 分) 根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过 20 件,每日产品废品率 p 与日产量

? 2 ,   1≤ x ≤ 9, x ? N* , ? 日废品量 ?15 ? x (日产品废品率 ? ×100%). 已知 x (件)之间近似地满足关系式 p ? ? 2 日产量 * ? x ? 60 ,  10 ≤ x ≤ 20, x ? N ? ? 540
每生产一件正品可赢利 2 千元, 而生产一件废品则亏损 1 千元. (该车间的日利润 y ? 日正品赢利额 ? 日废 品亏损额) (1)将该车间日利润 y (千元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元? 17. (1)由题意可知,

? 24 x ? 2 x 2 ,1   ≤ x ≤ 9, x ? N* , ? ? 15 ? x y ? 2 x(1 ? p) ? px ? ? 3 ? 5 x ? x ,  10 ≤ x ≤ 20, x ? N* . ? 180 ?3 ? 24 x ? 2 x 2 ,1   ≤ x ≤ 9, ? ? 15 ? x (2)考虑函数 f ( x) ? ? 3 ? 5 x ? x ,  10 ≤ x ≤ 20, ? 180 ?3
  ≤ x ≤ 9 时, f '( x) ? 2 ? 当1

??????????4 分

90 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 15 ? 3 5 . (15 ? x) 2

当 1≤ x ? 15 ? 3 5 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 [1,15 ? 3 5) 上单调增; 当 15 ? 3 5 ? x ≤ 9 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (15 ? 3 5,9] 上单调减. 所以当 x ? 15 ? 3 5 时, f ( x) 取得极大值,也是最大值, 又 x 是整数, f (8) ?

64 64 , f (9) ? 9 ,所以当 x ? 8 时, f ( x) 有最大值 .??10 分 7 7
5 x 2 100 ? x 2 ? ? ≤ 0 ,所以函数 f ( x) 在 [10, 20] 上单调减, 3 60 60

当 10 ≤ x ≤ 20 时, f '( x) ?

所以当 x ? 10 时, f ( x) 取得极大值 由于

100 ,也是最大值. 9

100 64 ? ,所以当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大. 9 7

答:当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大,最大日利润是

100 千元.??14 分 9

17.已知一块半径为 r 的残缺的半圆形材料 ABC ,O 为半圆的圆心, OC ?

1 r ,残缺部分位 2

于过点 C 的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图

AB 上.要使截出 甲,以 BC 为斜边;如图乙,直角顶点 E 在线段 OC 上,且另一个顶点 D 在 ?
的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积 的最大值.

17.如图甲,设 ?DBC ? ? , 则 BD ?

3r 3r cos? , DC ? sin ? , 2 2
9 2 9 r sin 2? ≤ r 2 , 16 16

??????????????????2 分

所以 S△BDC ? 当且仅当 ? ?

π 时取等号, 4 3 4

??????6 分

此时点 D 到 BC 的距离为 r , 可以保证点 D 在半圆形材料 ABC 内部, 因此按照图甲方案得到直角三角形 的最大面积为

9 2 r . 16
D

???????????????????7 分 D A A

B

O

C

B

O

E C

(第 17 题甲图)

(第 17 题乙图)

如图乙,设 ?EOD ? ? ,则 OE ? r cos ? , DE ? r sin ? , 所以 S△BDE ? r 2 (1 ? cos? )sin? , ? ?[ , ] .

1 2

π π 3 2 1 2

?????????????10 分

设 f (? ) ? r 2 (1 ? cos? )sin ? ,则 f ?(? ) ? r 2 (1 ? cos? )(2cos? ? 1) , 当 ? ?[ , ] 时, f ?(? ) ≤ 0 ,所以 ? ?

1 2

π π 3 2

π 时,即点 E 与点 C 重合时, 3

△ BDE 的面积最大值为

3 3 2 r . ?????????????????????13 分 8

因为

3 3 2 9 2 r ? r , 8 16 3 3 2 r .????14 分 8

所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为

17.如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A、B 两个报名 点,满足 A、B、C 中任意两点间的距离为 10 千米。公司拟按以下思路运作:先将 A、B 两处游客分别乘 车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A、B 两点) ,然后乘同一 艘游轮前往 C 岛。据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆, 每辆汽车每千米耗费 2 元, 游轮每千米耗费 12 元。 设∠ CDA ? ? , 每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元。 (1)写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小? 17.解: (1)由题在 ?ACD 中, ?CAD ? 由正弦定理知

?
3

, ?ADC ?

?
3

, AC ? 10, ?ACD ?

2? ?? . 3

CD sin

?
3

?

AD 10 ? ,得 ? 2? ? sin ? sin ? ?? ? ? 3 ?

? 2? ? 10sin ? ?? ? 5 3 ? 3 ? CD ? , AD ? sin ? sin ? 2? ? 60 3 ? 40sin ? ?? ? ? 3 ? ? 80 ? S ? 4 AD ? 8BD ? 12CD ? 12CD ? 4 AD ? 80 ? sin ?



? 20 3
'

3 ? cos ? 2? ? ?? ? 60 ? ? x ? ? sin ? 3 ? ?3
1 ? 3cos ? 1 ' ,令 S ? 0 ,得 cos ? ? 2 sin ? 3

(2) S ? 20 3 当 cos ? ?

1 1 1 ' s ? 时 , S ' ? 0 , ? 当 cos ? ? 时 S 取 得 最 小 值 此 时 时 , S ?0 ; 当 c o? 3 3 3

sin ??

2 2 5 3 c? o? s AD , ? 3 s i? n

5 ?s i n ? ?5

4



5 6

? 中转站距 A 处

20 ? 5 6 千米时,运输成本 S 最小 4

17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 C 城 周 边 已 有 两 条 公 路 l1 ,l2 在 点 O 处 交 汇 . 已 知 OC ? (
?AOB ? 75? , ?AOC ? 45? .现规划在公路 l1 ,l2 上

2+

6 ) k, m

分别选择 A ,B 两处为交汇点(异于点 O )直接修建 一条公路通过 C 城,设 OA ? xkm , OB ? ykm . (1)求 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域; (2)试确定点 A ,B 的位置,使 ?OAB 的面积最小.

B
C

l1
O l 2

A
第 17 题图

17.⑴因为 △ AOC 的面积与 △ BOC 的面积之和等于 △ AOB 的面积,

1 1 1 所以 x( 2 ? 6)sin 45? ? y( 2 ? 6)sin 30? ? xy sin 75? ,???????????4 分 2 2 2

2 1 x( 2 ? 6) ? y ( 2 ? 6) ? 2 2 6? 2 xy , 4

所以 y ?

2 2x ( x ? 2) .???????????????????????????6 分 x?2
1 6? 2 3 ? 1 x2 xy sin 75? ? xy = ? ?????????8 分 2 8 2 x?2 3 ?1 4 3 ?1 (x ? 2 ? ? 4) ≥ ? 8 ? 4( 3 ? 1) . = ?????12 分 2 x?2 2

⑵ △ AOB 的面积 S ?

当且仅当 x ? 4 时取等号,此时 y ? 4 2 . 故当 OA ? 4 km , OB ? 4 2km 时, ?AOB 的面积最小. ???????????14 分

18.(本小题满分 16 分) 如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km,AD 为 4 km.,地块的一角是湿地(图中阴影部分),其 边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴, 以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直 线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不计).设点 P 到边 AD 的 距离为 t(单位:km),△ BEF 的面积为 S(单位: km ). (1)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km ?并说明理由.
2 2

18.(1)如图,以 A 为坐标原点 O , AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐标为 (2, 4) . 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 , 把 (2, 4) 代入,解得 a = 1 , 所以抛物线的方程为 y = x2 .??????????????????????3 分 因为 y ?= 2 x ,?????????????????????????????4 分 所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 .???????????????5 分 令 y = 0 ,得 E ( ,0) ;令 x = 2 ,得 F (2,4t - t 2 ) ,?????????????7 分 所以 S ? 所以 S ? (2) S ? ?

t 2

1 t (2 ? )(4t ? t 2 ) ,??????????????????????8 分 2 2 1 3 (t ? 8t 2 ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] .???????????????9 分 4

1 2 3 4 (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) ,?????????????????12 分 4 4 3 4 , 3 4 3

由 S ?(t ) ? 0 ,得 0 ? t ?

所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( , 2] 上是减函数,??????????14 分 所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ? 又因为

4 3

4 3

64 . 27

64 17 ? 3? ? 3, 27 27

所以不存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km2 .??????????16 分 y C D F

P

O(A)

E
(第 18 题)

B x

18.(本小题满分 16 分) 在长为 20 m,宽为 16 m 米的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点 C) ,展厅入口位 于长方形的长边的中间.在展厅一角 B 点处安装监控摄像头,使点 B 与圆 C 在同一水平面上,且展台 与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示).

(1)若圆盘半径为 2 5 m,求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值; (2)若监控摄像头最大水平摄像视角为 60°,求圆盘半径的最大值. (注:水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角. ) 【解】 (1)解法一:如图,过 B 作圆 C 的切线 BE, 切点为 E,设圆 C 所在平面上入口中点为 A, 连结 CA,CE,CB,则 CE ? BE , CA ? AB , 则摄像水平视角为∠ABE 时, 水平摄像视角最小.在 Rt △ ABC 中,
AB ? 10 , AC ? 8 , tan ?ABC ?

20 m

E
g

16 m C

A 4 g ,???????????????? 2分 B 5 入口

(第 18 题) 在 Rt △ BCE 中, CE ? 2 5 , BE ? CB2 ? CE 2 ? 12 , tan ?CBE ? 5 ,?4 分 6

4? 5 5 6 ?1? 3 5 , 所以 tan ?ABE ? tan(?ABC ? ?CBE ) ? 10 1? 4 ? 5 5 6

所以最小摄像视角的正切值为 1 ? 3 5 . ??????????????8 分 10 解法二:过 B 作圆 C 的切线 BE,切点为 E, 设圆 C 所在平面上入口中点为 A, 连结 CA,CE,CB,则 CE ? BE , CA ? AB , 则摄像视角为∠ABE 时,摄像视角最小. 在平面 ABC 内,以 B 为原点,BA 为 x 轴
( 10,) 8 , 建立直角坐标系,则 C

20 m

设直线 BE 的方程为 y ? kx , 由圆 C 与直线 BE 相切得,
2 5= |10k ? 8 | k2 ?1

E

g

16 m

C
g B

, ?????????4 分

入口

(第 18 题) 解得, k ? 1 ? 3 5 (其中 k ? 1 ? 3 5 不合题意,舍去) . 10 10

答:所以最小摄像视角的正切值为 1 ? 3 5 . ????????????8 分 10 (2)解法一:当 ?ABE = 60 ? 时,若直线 BE 与圆 C 相切,则圆 C 的半径最大.. 在平面 ABC 内,以 B 为坐标原点,BA 为 x 轴建立平面直角坐标系, 所以直线 BE 方程为: y ? 3x ,????????????????? 12 分 所以 CE ?
10 3 ? 8
2 ( 3) +1

? 5 3 - 4 ,则圆 C 的最大半径为 5 3 - 4 m.???16 分

解法二:设圆盘的最大半径为 r,当 ?ABE = 60 ? 时,若直线 BE 与圆 C 相切,则 圆 C 的半径最大. 在 Rt △ ABC 中, AB ? 10 , AC ? 8 , tan ?ABC ?
4 , 5

在 Rt △ BCE 中, CE ? r , BE ? CB2 ? CE 2 ? 164 ? r 2 ,

tan ?CBE ?

r , ????????????????????? 10 分 164 ? r 2

4? r 5 164 ? r 2 ? 3 ,????? 12 分 由 tan ?ABE ? tan(?ABC ? ?CBE ) 得, r 1? 4 ? 5 164 ? r 2
即 4 164 ? r 2 ? 5r ? 3(5 164 ? r 2 ? 4r) , 所以 (5 3 ? 4) 164 ? r 2 ? (5 ? 4 3)r ,即 r 2 ? 91 ? 40 3 ? (5 3 ? 4)2 所以, r ? 5 3 ? 4 . ???????????????????????15 分 答:圆 C 的最大半径为 5 3 - 4 m. ????????????????16 分

17. (本小题满分 14 分) 某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛 O 附近.现派出四艘搜救船 A, B , C , D ,为方便联 络,船 A, B 始终在以小岛 O 为圆心,100 海里为半径的圆周上,船 A, B , C , D 构成正方形编队展开搜索, 小岛 O 在正方形编队外(如图) .设小岛 O 到 AB 的距离为 x , ?OAB ? ? , D 船到小岛 O 的距离为 d . (1)请分别求 d 关于 ? 的函数关系式 d ? f (? ) ,并写出定义域; (2)当 A, B 两艘船之间的距离是多少时?搜救范围最大(即 d 最大) .

(第 17 题图)

18. (本小题满分 15 分) 如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30° 方向的两条街道.某公园 P 位于商业中心北偏东 ? 角( 0 ? ? ?

?
2

, tan ? ? 3 3 ) ,且与商业中心 O 的距离为 21 公里处.现要经过公园 P 修一条直路分

别与两条街道交汇于 A、B 两处. ⑴当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A、B 两处的距离和; ⑵若要使商业中心 O 到 A、B 两处的距离和最短,请确定 A、B 的最佳位置.

B 北 P
18 ⑴以 O 为原点, OA 所在直线为 x 轴建立坐标 系.设 P(m, n) ,

O

y B

A

P O A x

∵0 ?? ?

?
2

, tan ? ? 3 3 ∴ cos ? ?

7 3 21 , sin ? ? , 14 14
??4 分

则 m ? OP ? sin ? ?

9 3 , n ? OP ? cos ? ? , 2 2
2

依题意,AB⊥OA,则 OA= 9 ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km. ⑵方法 1:当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB: y ? 3 ? k ( x ? 9 ) ,① 2 2 令 y ? 0 ,得 xA ? ? 3 ? 9 ;由题意,直线 OB 的方程为 y ? 3x ,② 2k 2 解①②联立的方程组,得 xB ?

9k ? 3 2( k ? 3)

,∴ OB ?

2 2 xB ? yB ? 2 xB ?

9k ? 3 k? 3



∴ y ? OA ? OB ? ?

3 9 9k ? 3 ,由 xA ? 0 , xB ? 0 ,得 k ? 3 ,或 k ? 0 . ? ? 2k 2 k ? 3

y' ?

?8 3 (k ? 3)
2

?

2k

2

3 ? ?

3k (3 ? k 2 k (?
2

3k)? (5 3)
2

,令 y ' ? 0 ,得 k ? ?

3)

3 , 3

3 当 k ? ? 3 时, y ' ? 0 , y 是减函数;当 ? ? k ? 0 时, y ' ? 0 , y 是增函数, 3 3
∴当 k ? ? 3 时, y 有极小值为 9km;当 k ?
3

3 时, y ' ? 0 , y 是减函数,结合⑴知 y ? 13.5 km.

综上所述,商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km,OB=3km, 方法 2:如图,过 P 作 PM//OA 交 OB 于 M,PN//OB 交 OA 于 N,设∠BAO= ? , △OPN 中

PN ON OP ,得 PN=1,ON=4=PM, ? ? ? ? sin(90 ? ? ) sin(? ? 30 ) sin120?
PN NA sin(120? ? ? ) 得 NA ? ? sin ? sin ? sin(120? ? ? )

△PNA 中∠NPA=120°- ? ∴ 同理在△PMB 中,

BM PM 4sin ? ,得 MB ? , ? ? sin ? sin(120 ? ? ) sin(120 ? ? ?)

s i n ( 1 ?2? 0? ) 4 ?s i n y ? OA ? OB ? ? ? 1 ? 4? 2 4 ? ? 5 , 9 ? sin ? s i n ( 1 2? 0? )
当且仅当

3 sin(120? ? ? ) 4sin ? ? 即 sin(120 ? ? ) ? 2sin ? 即 tan ? ? 时取等号. ? ? 3 sin ? sin(120 ? ? )

B 北 M O N P A

9 4 ? 4, 0) , 2 ,得 A( 方法 3:若设点 B(m, 3m) ,则 AB: ? 2m ? 1 3 m? 9 3m ? 2 2 y? x?

3 2

∴ OA ? OB ? 2m ? 当且仅当 2m ? 1 ?

4 4 ? 4 ? 2m ? 1 ? 1 ? ?4?9, 2m ? 1 2m ? 1

4 3 即 m ? 时取等号. 2m ? 1 2

2 1 ? , 方法 4:设 A(n, 0) ,AB: y ? 0 ? x ? n ,得 xB ? n?4 2 9 3 ?n ?0 2 2
OA ? OB ? n ? 2 xB ? n ? 4 ? 4 ?
当且仅当 n ? 4 ?

4 4 ? 1 ? (n ? 4) ? ?5 ? 9, n?4 n?4

4 即 n ? 6 时取等号. n?4

答:A 选地址离商业中心 6km,B 离商业中心 3km 为最佳位置.

17.某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P ? 中 0 ? x ? a , a 为正常数).已知生产该批产品还需投入成本 6( P ? 价格定为 ( 4 ?

x?2 (其 4

1 ) 万元(不含促销费用),产品的销售 P

20 ) 元/件. P

(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知, y ? (4 ? 将P ?

20 1 ) p ? x ? 6( p ? ) p p

?????????? 3 分

x?2 代入化简得: 4
24 3 ? x ( 0 ? x ? a ). x?2 2
?????????????? 5 分

y ? 19 ?

(2) y ? 22 ?

3 16 16 ( ? x ? 2) ? 22 ? 3 ? ( x ? 2) ? 10 , 2 x?2 x?2
??????? 8 分

当且仅当

16 ? x ? 2 ,即 x ? 2 时,上式取等号. x?2

当 a ? 2 时, 促销费用投入 2 万元时,厂家的利润最大; ??????? 9 分

y ? 19 ?

24 3 24 3 ? x , y? ? ? ), 2 x?2 2 2 ( x ? 2)

当 x ? 2 时, y ? ? 0 ,此时函数 y 在 ?0,2? 上单调递增, 所以当 a ? 2 时,函数 y 在 ? 0, a ? 上单调递增, 所以 x ? a 时,函数有最大值. 即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大 . ??????????? 12 分 综上,当 a ? 2 时, 促销费用投入 2 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 2 时促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大. ????? 14 分 ??????????? 11 分

17. (本小题满分 14 分) 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积 为 900m2 的矩形温室, 在温室内划出三块全等的矩形区域, 分别种植三种植物, 相邻矩形区域之间间隔 1m, 三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为 x (m) ,三块种植植物的矩形区域的总面积 为 S (m2) . ... (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值.

1
3

1

1
1

3

x
(?第17题?)

17.解: (1)由题设,得
7200 ? 900 ? S ? ? x ? 8? ? ? 2 ? ? ?2 x ? ? 916 , x ? ?8, 450? . x ? x ?

?????????6 分

(2)因为 8 ? x ? 450 ,所以 2 x ? 当且仅当 x ? 60 时等号成立. 从而 S ≤ 676 .

7200 7200 ≥ 2 2x ? ? 240 , x x

????????8 分

?????????10 分 ?????????12 分

答 : 当 矩 形 温 室 的 室 内 长 为 60 m 时 , 三 块 种 植 植 物 的 矩 形 区 域 的 总 面 积 最 大 , 最 大 为
676 m2 .

?????????14 分

17.如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于 坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有 20

关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。 20

(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。

17. 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面 直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?
12 49

y

x ;
O A

2

P

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船 所在位置的横坐标为 7t. (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向(求 ?OAP 的正切值) ; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? x

[解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由|AP|=
949 2

7 2

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x2
……2 分 ……4 分

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
7

由 tan∠OAP= 3 ?212 ?

7 30

……6 分

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 2 ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 .……10 分 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. ……14 分


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