2.1.2(一)
2.1.2 椭圆的几何性质(一)
【学习要求】
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1．理解椭圆的简单几何性质． 2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题． 【学法指导】 通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合 的数学思想.通过几何性质的代数研究,养成辩证统一的世界观．
填一填·知识要点、记下疑难点
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1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置
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焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准 方程 范围
y2 x2 x2 y2 ＋ ＝1 (a>b>0) 2＋ 2＝1 (a>b>0) a2 b2 a b －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
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顶点 轴长
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A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
2b 2a 短轴长＝____，长轴长＝____
(± a2－b2，0) (0，± a2－b2)
焦点 焦距 对称性 离心率
2 a2－b2 |F1F2|＝________
x 轴、y 轴 原点 对称轴：________ 对称中心：____
c (0,1) a e＝____∈______
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2. 离心率的作用
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接近1 当椭圆的离心率越________，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 接近0 ________，则椭圆越接近于圆．
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探究点一 椭圆的简单几何性质 x2 y2 问题 1 如图，观察椭圆 2＋ 2＝1 (a>b>0)的 a b 形状，你能从图中看出它的范围吗？它具 有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊?
答案 (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)．
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问题 2
如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的
几何性质？
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y2 x2 答案 ①范围：由方程变形得 2＝1－ 2≥0， b a x2 ∴ 2≤1，即－a≤x≤a. a 同理得，－b≤y≤b.
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结论(ⅰ)：椭圆位于直线 x＝± 和 y＝± 所围成的矩形框里． a b ②对称性：
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1° .把椭圆标准方程中的 x 换成－x，方程并未发生改变，说 明当点 P(x，y)在椭圆上时，它关于 y 轴的对称点 P1(－x，y) 也在椭圆上，所以椭圆关于 y 轴对称． 2° 同理把椭圆标准方程中的 y 换成－y，可以说明椭圆关于 x 轴对称；把椭圆标准方程中的 x 换成－x，y 换成－y，可以 说明椭圆关于原点对称．
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结论(ⅱ)：椭圆关于 x 轴、y 轴对称，同时关于原点对称． x2 y2 ③顶点：在方程 2＋ 2＝1 里，令 x＝0，得 y＝± b，令 y＝0， a b 得 x＝± a. 结论(ⅲ)：椭圆与对称轴有四个交点(± a,0)，(0，± b)．这四个 交点叫做椭圆的顶点．
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问题 3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻 画椭圆的扁平程度呢？
x2 y2 答案 在椭圆 2＋ 2＝1 (a>b>0)中， 若保持 a b
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a 不变，改变 c，可以发现 c 越接近于 a， 椭圆越扁平，可以用 a，c 两个量来刻画椭 圆的扁平程度．
动画演示
c 结论：我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心 a c 率，用 e 表示，即 e＝ . a e 越接近于 1，椭圆越扁；e 越接近于 0，椭圆越接近于圆．
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b c 问题 4 (1) 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ a b c (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝ 越大，椭圆 a c 越扁？e＝ 越小，椭圆越圆吗？ a a2－c2 b 2 答案 (1)都能．由 ＝ 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知，当 e a a b 越趋近于 1 时， 越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， a b 越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0， a 两焦点重合，图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.
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(2)如图，在 Rt△BF2O 中， c c cos∠BF2O＝ ， 越大，∠BF2O 越小，椭 a a c 圆越扁； 越小，∠BF2O 越大，椭圆越圆． a
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问题 5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更 扁？为什么？ x2 y2 (1)4x2＋9y2＝36 与 ＋ ＝1； 25 20 x2 y2 (2)9x2＋4y2＝36 与 ＋ ＝1. 12 16 x2 y2 答案 (1)将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程 ＋ ＝ 9 4
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1，则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离 5 x2 y2 心率 e＝ ；椭圆 ＋ ＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝ 3 25 20 5 2 2 5，c＝ a －b ＝ 5，故离心率 e＝ . 5 由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后 一个椭圆更圆．
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y2 x2 (2)将椭圆 9x2＋4y2＝36 化为标准方程 ＋ ＝1，则 a2＝9， 9 4 5 2 2 2 b ＝4，所以 a＝3，c＝ a －b ＝ 5，则离心率 e＝ ； 3 x2 y2 椭圆 ＋ ＝1 中，a2＝16，b2＝12，则 a＝4，c＝ a2－b2＝ 12 16 1 2，故离心率 e＝ . 2 由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一 个椭圆更圆．
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例 1 求椭圆 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、 焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为 x2 y2 1 ＋ 1 ＝1. m2 4m2 1 1 2 2 ∵m <4m ，∴ 2> 2，∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半 m 4m 1 1 3 轴长 a＝ ，短半轴长 b＝ ，半焦距长 c＝ . m 2m 2m
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研一研·问题探究、课堂更高效 2 1 ∴椭圆的长轴长 2a＝ ，短轴长 2b＝ ， m m ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 焦点坐标为?－ ，0?，? ，0?， ? ? 2m ? ?2m ?
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?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 顶点坐标为? ，0?，?－ ，0?，?0，－ ?，?0， ?. 2m? ? 2m? ?m ? ? m ? ?
3 c 2m 3 离心率 e＝ ＝ ＝ . a 1 2 m 小结 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准
形式，不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，才能正确地写出焦 点坐标、顶点坐标等．
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跟踪训练 1 已知椭圆方程为 4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、 短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解
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x2 y2 把椭圆的方程化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1.
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3， 短半轴长 b＝2； 又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点的坐标分 别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)， c 5 (0，－2)，(0,2)；离心率 e＝ ＝ 3 . a
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探究点二
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由椭圆的几何性质求方程 6 例 2 椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ ，求椭圆的标准方程． 3 解
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∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点． ①当椭圆的焦点在 x 轴上时，(3,0)为右顶点，则 a＝3， c 6 6 6 ∵e＝ ＝ 3 ，∴c＝ 3 a＝ 3 ×3＝ 6， a ∴b2＝a2－c2＝32－( 6)2＝9－6＝3， x2 y2 ∴椭圆的方程为 ＋ ＝1. 9 3
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②当椭圆的焦点在 y 轴上时，(3,0)为右顶点，则 b＝3， c 6 6 ∵e＝ ＝ ，∴c＝ a， a 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴b ＝a －c ＝a － a ＝ a ， 3 3 y2 x2 ∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的方程为 ＋ ＝1. 27 9 x2 y2 y2 x2 综上可知，椭圆的标准方程是 9 ＋ 3 ＝1 或27＋ 9 ＝1. 小结 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐
标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则 应进行讨论，然后列方程确定 a，b.
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跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
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2 (1)长轴在 x 轴上，长轴的长等于 12，离心率等于 ； 3 (2)长轴长是短轴长的 2 倍，且椭圆过点(－2，－4)． c 2 解 (1)由已知 2a＝12，e＝ ＝3， a 得 a＝6，c＝4，从而 b2＝a2－c2＝20， 又长轴在 x 轴上， x2 y2 故所求椭圆的标准方程为36＋20＝1.
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(2)∵2a＝2×2b，∴a＝2b，
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x2 y2 当焦点在 x 轴上时，设方程为 2＋ 2＝1， 4b b 4 16 ∵点(－2，－4)在椭圆上，∴ 2＋ 2 ＝1，∴b2＝17. 4b b x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 68 17 x2 y2 当焦点在 y 轴上时，设方程为 2＋ 2＝1， b 4b 4 16 ∵点(－2，－4)在椭圆上，∴ 2＋ 2＝1， b 4b x2 y2 ∴b2＝8，∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 8 32 x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 68 17 8 32
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探究点三 求椭圆的离心率
2.1.2(一)
例 3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点， 且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
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解
x2 y2 设椭圆的方程为 2＋ 2＝1 (a>b>0)． a b
如题图所示，则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线 PF1 的方程为 x＝－c， ? x2 y2 b2 b2? 代入方程 2＋ 2＝1，得 y＝± ，∴P?－c， ?. a b a a? ?
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又 PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB. |PF1| |AO| b2 b ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴b＝2c. |F1F2| |OB| 2ac a c2 1 2 2 2 2 2 ∴b ＝4c ，∴a －c ＝4c ，∴ 2＝ . a 5 1 5 5 2 ∴e ＝ ，即 e＝ ，所以椭圆的离心率为 . 5 5 5 小结 求椭圆离心率的方法： c (1)直接求出 a 和 c，再求 e＝ ，也可利用 e＝ a
2.1.2(一)
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b2 1－ 2求解． a
(2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的 c 齐次等式关系，然后整理成 的形式，并将其视为整体，就变成 a 了关于离心率 e 的方程，进而求解．
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x2 y2 跟踪训练 3 如图，A、B、C 分别为椭圆 2＋ 2＝1 a b (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90° ，则该椭 圆的离心率为 －1＋ 5 A. 2 2＋1 C. 2 ( A ) B. 5－1 D. 2＋1
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解析 ∵∠ABC＝90° ，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，
∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2，又 b2＝a2－c2， 5－1 2 ∴e ＋e－1＝0，又∵0<e<1，∴e＝ 2 .
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1.椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( B )
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A．5、3、0.8 C．5、3、0.6
B．10、6、0.8
D．10、6、0.6 x2 y2 解析 把椭圆的方程写成标准方程为 ＋ ＝1， 9 25
知 a＝5，b＝3，c＝4. c ∴2a＝10,2b＝6， ＝0.8. a
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2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 1 12，离心率为 ，则椭圆的方程是 ( D ) 3 x2 y2 x2 y2 A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 144 128 36 20 本 x2 y2 x2 y2 专 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 32 36 36 32 题
栏 目 开 关
c 1 解析 由 2a＝12， ＝3，解得 a＝6，c＝2， a ∴b2＝62－22＝32.
x2 y2 ∵焦点在 x 轴上，∴椭圆的方程为36＋32＝1.
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3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率是 ( B ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 解析 由题意有 2a＋2c＝2(2b)，即 a＋c＝2b，
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又 c2＝a2－b2，消去 b 整理得 5c2＝3a2－2ac， 3 2 即 5e ＋2e－3＝0，∴e＝5或 e＝－1(舍去)．
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4．已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段
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→＝2 F D，则 C 的离心率为 → BF 的延长线交 C 于点 D，且BF
________．
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解析
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方法一
设椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图，B(0，b)，
→＝(c，－b)， F(c,0)，D(xD，yD)，则BF → ＝(xD－c，yD)， FD →，∴?c＝2?xD－c?， →＝2FD ? ? ∵BF
?－b＝2yD， ?
3c ? xD＝ ， ? 2 ∴? ?yD＝－ b. 2 ?
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又∵点 D 在椭圆 C 上， ?3c ? 2 ? b? 2 ? ? ?－ ? 1 3 ?2? ? 2? 2 ∴ 2 ＋ 2 ＝1，即 e ＝ .∴e＝ . a b 3 3
答案 3 3
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方法二
2.1.2(一)
设椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如上图所示，B(0，b)，
? ? ? ? ? ? ? ?
F(c,0)，D(xD，yD)，则?BF ?＝ b2＋c2＝a. ? ? OF ? ?BF? 2 → ＝2FD ，得 ???＝??? ???＝ ， → 作 DD1⊥y 轴于点 D1，则由BF DD1 ? ?BD? 3 ? ? ? 3? ? 3 3c ? ? ?DD ?＝ ?OF ?＝ c，即 x ＝ ∴? 1 ? ? ? . D 2 2 2 ?a2 3c? 3c2 ? ? 由椭圆的第二定义得?FD ?＝e? － ?＝a－ . ? ? 2? 2a ?c 3c2 c2 1 ? ? ? ? 又由?BF ?＝2?FD?，得 a＝2a－ ，整理得 2＝ ， ? ? ? ? a a 3 1 3 2 即 e ＝ ，∴e＝ . 3 3
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2.1.2(一)
本 专 题 栏 目 开 关
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标 准形式，再确定焦点的位置，找准 a、b. 2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． 3．求离心率 e 时，注意方程思想的运用.