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河南省信阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年河南省信阳市高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,只有一项是符合题目要求的。 1.下列给出的赋值语句中正确的是( A.3=A B.M=﹣M C.B=A=2 )

D.x+y=0

2.设 a∈R,则 a>1 是 <1 的(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知命题 p:? x∈R,使 tanx=1,其中正确的是( A.?p:? x∈R,使 tanx≠1 C.?p:? x∈R,使 tanx≠1

)

B.?p:? x?R,使 tanx≠1 D.?p:? x?R,使 tanx≠1

4. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是( A.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 B.至少有一个黑球与都是黑球 C.至少有一个黑球与至少有 1 个红球 D.至多有一个黑球与都是黑球

)

5.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为 了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为 ①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记 这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 )

6.某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为 ( A. ) B. C. D.

7.下图是把二进制的数 11111(2)化成十进制数的﹣个程序框图,则判断框内应填入的条件是 ( )

A.i≤4 B.i≤5 C.i>4 D.i>5

8.若直线 y=x+k 与曲线 x= A.k=﹣ 或﹣1<k≤1 B.k≥

恰有一个公共点,则 k 的取值范围是( 或 k≤﹣ C.﹣ <k< D.k=±

)

9.已知函数 f(x)=x +1,当 x=x0 时,用秦九韶算法求 f(x0)的值,需要进行乘方、乘法、 加法的次数分别为( )

6

A.21,6,2 B.7,1,2 C.0,1,2 D.0,6,6

10.我们把由半椭圆
2 2 2

与半椭圆

合成的曲线称作“果

圆”(其中 a =b +c ,a>b>c>0) .如图,设点 F0,F1,F2 是相应椭圆的焦点,A1、A2 和 B1、 B2 是“果圆”与 x, y 轴的交点, 若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角, 则 a, b 的值分别为( )

A.

B.

C.5,3 D.5,4

11.函数 f(x)=x ﹣x﹣2,x∈,在定义域内任取一点 x0,使 f(x0)>0 的概率是( A. B. C. D.

2

)

12.从椭圆

上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与

x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点) ,则该椭圆的 离心率是( A. B. ) C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 对于①“很可能发生的”, ②“一定发生的”, ③“可能发生的”, ④“不可能发生的”, ⑤“不太可能发生的”这 5 种生活现象,发生的概率由大到小排列为(填序号)__________.

14.向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于 的概率为__________.

15.三个数 324,243,135 的最大公约数__________.

16. 已知△ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, ﹣4) , C (0, 4) , 则顶点 A 的轨迹方程为: __________.

三、解答题:请写出文字说明,证明过程或演算步骤,第 17 题为 10 分,其它试题为 12 分。 17. 设命题 p: ? x∈R, x ﹣2x>a; 命题 q: 为真,“p∧q”为假,求实数 a 的取值范围.
2

. 如果命题“p∨q”

18.为响应国家号召开展“社会实践活动”,某校高二(8)班学生对本县住宅楼房屋销售价 格 y 和房屋面积 x 的统计有关数据如下: 房屋面积(m) 销售价格(万元) 115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22

(可能用到的公式: )b= (Ⅰ)画出数据对应的散点图;

,a= ﹣b

(Ⅱ)设线性回归方程为 =bx+a,已计算得 b=0.196, =23.2,计算 及 a; (Ⅲ)某同学家人计划在本县购置一套面积为诶 120m 的房子,且一次付清,根据(Ⅱ)的结 果,估计房屋的销售价格.
2

19.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米及其以上空气质量 为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 6 天的数据作为 样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) ,若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天. (Ⅰ)求恰有一天空气质量超标的概率; (Ⅱ)求至多有一天空气质量超标的概率.

20.县政府组织 500 人参加卫生城市创建“义工”活动,按年龄分组所得频率分布直方图如 下图,完成下列问题:

组别 人数

[25,30) 50

[30,35) 50

[35,40) a

[40,45) 150

[45,50) b

(1)如表是年龄的频数分布表,求出表中正整数 a、b 的值; (2)现在要从年龄较小的第 1、2、3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1、2、3 组的各抽取多少人? (3)在第(2)问的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区活动,求至少有 1 人年龄在 第 3 组的概率.

21.有两个不透明的箱子,每个箱子都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1、2、3、 4. (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸出一个球,谁摸出的球上标的数字 大谁就获胜(若数字相同则为平局) ,求甲获胜的概率; (2)摸球方法与(Ⅰ)同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同 则乙获胜,这样规定公平吗?

22.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

2015-2016 学年河南省信阳市高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,只有一项是符合题目要求的。 1.下列给出的赋值语句中正确的是( A.3=A B.M=﹣M 【考点】赋值语句. 【专题】阅读型. 【分析】本题根据赋值语句的定义直接进行判断. 【解答】解:根据题意, A:左侧为数字,故不是赋值语句 B:赋值语句,把﹣M 的值赋给 M C:连等,不是赋值语句 D:不是赋值语句,是等式,左侧为两个字母的和. 【点评】本题考查赋值语句,通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可.属于基础题. C.B=A=2 )

D.x+y=0

2.设 a∈R,则 a>1 是 <1 的(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】由 a>1,一定能得到 得到结论. 【解答】解:由 a>1,一定能得到 故 a>1 是 <1 的充分不必要条件, 故选 A. <1.但当 <1 时,不能推出 a>1 (如 a=﹣1 时) , <1.但当 <1 时,不能推出 a>1 (如 a=﹣1 时) ,从而

【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命 题不正确,是一种简单有效的方法.

3.已知命题 p:? x∈R,使 tanx=1,其中正确的是( A.?p:? x∈R,使 tanx≠1 C.?p:? x∈R,使 tanx≠1 【考点】命题的否定. 【专题】常规题型.

)

B.?p:? x?R,使 tanx≠1 D.?p:? x?R,使 tanx≠1

【分析】根据命题“? x∈R,使 tanx=1”是特称命题,其否定为全称命题,将“? ”改为 “? ”,“=“改为“≤≠”即可得答案. 【解答】解:∵命题“? x∈R,使 tanx=1”是特称命题 ∴命题的否定为:? x∈R,使 tanx≠1. 故选 C. 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题.这里注意全称命题的否定为特 称命题,反过来特称命题的否定是全称命题.

4. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是( A.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 B.至少有一个黑球与都是黑球 C.至少有一个黑球与至少有 1 个红球 D.至多有一个黑球与都是黑球 【考点】互斥事件与对立事件. 【专题】证明题;转化思想;分析法;概率与统计. 【分析】依据互斥事件与对立事件的定义,以及它们的关系,判断.

)

【解答】解:从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个球,包括 3 种情况:①恰有一个 黑球,②恰有两个黑球,③没有黑球. 故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生,它们是互斥事件,再由这两件事的和不是 必然事件,故他们是互斥但不对立的事件, 故选:A. 【点评】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义,以及它们的关系,属于基础题.

5.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为 了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为 ①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记 这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 【考点】分层抽样方法;系统抽样方法. 【专题】应用题. 【分析】此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法;当总体 中的个体差异较大时,宜采用分层抽样;当总体中个体较多时,宜采用系统抽样. 【解答】解:依据题意,第①项调查中,总体中的个体差异较大,应采用分层抽样法; 第②项调查总体中个体较少,应采用简单随机抽样法. 故选 B. 【点评】本题考查随机抽样知识,属基本题型、基本概念的考查. )

6.某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为 ( A. ) B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】设“恰有一名女生当选”为事件 A,“恰有两名女生当选”为事件 B,显然 A、B 为 互斥事件,利用互斥事件的概率公式即可求解 【解答】解:设“恰有一名女生当选”为事件 A,“恰有两名女生当选”为事件 B,显然 A、B 为互斥事件. 从 10 名同学中任选 2 人共有 10×9÷2=45 种选法(即 45 个基本事件) , 而事件 A 包括 3×7 个基本事件,事件 B 包括 3×2÷2=3 个基本事件,

故 P=P(A)+P(B)= 故选:B

+

=

=

【点评】本题考查了古典概型与互斥事件相结合的问题,考查学生的计算能力,属于中档题.

7.下图是把二进制的数 11111(2)化成十进制数的﹣个程序框图,则判断框内应填入的条件是 ( )

A.i≤4 B.i≤5 C.i>4 D.i>5 【考点】循环结构. 【专题】图表型. 【分析】由题意输出的 S=1+1×2+1×2 +1×2 +1×2 ,按照程序运行,观察 S 与 i 的关系,确 定判断框内的条件即可 【解答】解:由题意输出的 S=1+1×2+1×2 +1×2 +1×2 , 按照程序运行:S=1,i=1; S=1+1×2,i=2;S=1+1×2+1×2 ,i=3; S=1+1×2+1×2 +1×2 ,i=4; S=1+1×2+1×2 +1×2 +1×2 ,i=5,此时跳出循环输出结果, 故判断框内的条件应为 i≤4. 故选 A. 【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题.
2 3 4 2 3 2 2 3 4 2 3 4

8.若直线 y=x+k 与曲线 x= A.k=﹣ 或﹣1<k≤1 B.k≥

恰有一个公共点,则 k 的取值范围是( 或 k≤﹣ C.﹣ <k< D.k=±

)

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;数形结合;综合法;直线与圆.

【分析】曲线 x=

表示一个半圆(单位圆位于 x 轴及 x 轴右侧的部分) .当直线 y=x+k

经过点 A、B 时,分别求得 k 的值,再求出当直线 y=x+k 和半圆相切时 k 的值,数形结合求得 k 的范围. 【解答】解:曲线 x= 右侧的部分) . 如图,A(0,1) 、B(1, 0) 、C(0,﹣1) , 当直线 y=x+k 经过点 A 时,1=0+k,求得 k=1; 当直线 y=x+k 经过点 B、点 C 时,0=1+k,求得 k=﹣1; 当直线 y=x+k 和半圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径, ,即 x +y =1 (x≥0) ,表示一个半圆(单位圆位于 x 轴及 x 轴
2 2

可得 1=

,求得 k=﹣

,或 k=

(舍去) ,

故要求的实数 k 的范围为 k=﹣ 故选:A.

或﹣1<k≤1

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的 应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

9.已知函数 f(x)=x +1,当 x=x0 时,用秦九韶算法求 f(x0)的值,需要进行乘方、乘法、 加法的次数分别为( )

6

A.21,6,2 B.7,1,2 C.0,1,2 D.0,6,6 【考点】秦九韶算法. 【专题】阅读型;规律型;算法和程序框图.

【分析】观察所给的多项式的最高次项的次数,求多项式的乘法运算的次数与最高次项的指 数相同,若多项式中含有常数项,则所进行的加法的次数与乘法的次数相同,得到结果. 【解答】解:∵f(x)=6x +5, 多项式的最高次项的次数是 6, ∴要进行乘法运算的次数是 6, ∵多项式中含有常数项, ∴加法的次数与乘法的次数相同为 6, 运算过程中不需要乘方运算, 故选:D 【点评】本题考查利用秦九韶算法求多项式的值时,所进行的乘法和加法的次数,是一个基 础题,是一个算法案例中的典型题目.
6

10.我们把由半椭圆
2 2 2

与半椭圆

合成的曲线称作“果

圆”(其中 a =b +c ,a>b>c>0) .如图,设点 F0,F1,F2 是相应椭圆的焦点,A1、A2 和 B1、 B2 是“果圆”与 x, y 轴的交点, 若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角, 则 a, b 的值分别为( )

A.

B.

C.5,3 D.5,4

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由题意可知 【解答】解: ∴ 故选 A 【点评】本题主要考查椭圆的性质.属基础题. ,得 求得 c,再由 , ,即 ,b=1. 求得 b,最后由 a =b +c 求得 a. ,∴b=1,
2 2 2

11.函数 f(x)=x ﹣x﹣2,x∈,在定义域内任取一点 x0,使 f(x0)>0 的概率是( A. B. C. D.

2

)

【考点】几何概型. 【专题】计算题;转化思想;不等式的解法及应用;概率与统计. 【分析】令 f(x)=x ﹣x﹣2>0,解得:x∈,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 【解答】解:令 f(x)=x ﹣x﹣2>0, 解得:x∈,
2 2

故在定义域内任取一点 x0,使 f(x0)>0 的概率 P= 故选:C 【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题.

=



12.从椭圆

上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与

x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点) ,则该椭圆的 离心率是( A. B. ) C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】依题意,可求得点 P 的坐标 P(﹣c, 【解答】解:依题意,设 P(﹣c,y0) (y0>0) ,

) ,由 AB∥OP? kAB=kOP? b=c,从而可得答案.



+

=1,

∴y0=



∴P(﹣c,

) ,

又 A(a,0) ,B(0,b) ,AB∥OP,

∴kAB=kOP,即 ∴b=c.

=

=



设该椭圆的离心率为 e,则 e = ∴椭圆的离心率 e= 故选 C. .

2

=

=

= ,

【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得点 P 的坐标(﹣c, 力,属于中档题.

)是关键,考查分析与运算能

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 对于①“很可能发生的”, ②“一定发生的”, ③“可能发生的”, ④“不可能发生的”, ⑤“不太可能发生的”这 5 种生活现象,发生的概率由大到小排列为(填序号)①②③⑤④. 【考点】概率的意义. 【专题】计算题;整体思想;分析法;概率与统计. 【分析】事件的发生的可能性主要看事件的类型,事件的类型决定了可能性及可能性的大小. 【解答】解:根据可能性大小的判断,将这些现象按发生的可能性由小到大排列: ①一定发生,②很可能发生,③可能发生,⑤不太可能发生,④不可能发生 故答案为:①②③⑤④. 【点评】本题考查可能性大小,必然事件的可能性大小为 1,不可能事件发生的可能性大小为 0,随机事件发生的可能性大小在 0 至 1 之间.

14.向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于 的概率为 . 【考点】几何概型. 【专题】计算题.

【分析】 首先分析题目求在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P, 则△PBC 的面积小于



概率,即可考虑画图求解的方法,然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是 什么.再根据几何关系求解出它们的比例即可. 【解答】解:记事件 A={△PBC 的面积小于 基本事件空间是三角形 ABC 的面积, (如图) 事件 A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE 是三角形的中位线) , 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的 , },

所以 P(A)=

= .

故答案为: .

【点评】本题主要考查了几何概型.由这个题目可以看出,解决有关几何概型的问题的关键 是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积,同学们需要注意.

15.三个数 324,243,135 的最大公约数 27. 【考点】用辗转相除计算最大公约数. 【专题】计算题;算法和程序框图. 【分析】利用辗转相除法,求出三个数的最大公约数即可. 【解答】解:∵324=243×1+81,243=81×3+0, ∴324 与 243 的最大公约数为 81, 又 135=81×1+54,81=54×1+27,54=27×2+0, ∴81 与 135 的最大公约数为 27, ∴三个数 324,243,135 的最大公约数为 27, 故答案为:27 【点评】此题考查了用辗转相除计算最大公约数,熟练掌握辗转相除法是解本题的关键.

16. 已知△ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, ﹣4) , C (0, 4) , 则顶点 A 的轨迹方程为: (x≠0) . 【考点】轨迹方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

+

=1

【分析】根据三角形的周长和定点,得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点 A 的 轨迹是椭圆,椭圆的焦点在 y 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 【解答】解:∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) , ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4 ∴b =20,
2

∴椭圆的方程是

+

=1(x≠0) .

故答案为:

+

=1(x≠0) .

【点评】本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭 圆,本题是一个易错题,容易忽略掉不合题意的点.

三、解答题:请写出文字说明,证明过程或演算步骤,第 17 题为 10 分,其它试题为 12 分。 17. 设命题 p: ? x∈R, x ﹣2x>a; 命题 q: 为真,“p∧q”为假,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】分类讨论;综合法;简易逻辑. 【分析】分别求出关于 p,q 成立的 a 的范围,通过讨论 p,q 的真假,得到关于 a 的不等式 组,解出即可. 【解答】解:关于命题 p:? x∈R,x ﹣2x>a,
2 2

. 如果命题“p∨q”

∴a<(x﹣1) ﹣1, ∴a<﹣1, 故命题 p 为真时,a<﹣1; 关于命题 q: ∴△=4a ﹣4×(2﹣a)≥0, ∴a +a﹣2≥0, ∴a≥1 或 a≤﹣2, 如果命题“p∨q”为真,“p∧q”为假, 则 p,q 一真一假,
2 2

2



p 真 q 假时:

,解得:﹣2<a<﹣1,

p 假 q 真时: 综上:a∈(﹣2,﹣1)∪

,解得:a≥1,

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【专题】计算题;整体思想;分析法;概率与统计. 【分析】 (1)根据频率分布直方图,求出第 3、5 组的人数, (2)再计算用分层抽样方法在各组应抽取的人数, (3)利用列举法求出从从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区活动,至少有 1 人年龄在第 3 组, 求出对应的概率即可. 【解答】解: (1)由图可知,年龄在 故 P(乙胜)= ∴不公平 答: (1)甲获胜的概率 ; (2)不公平 【点评】本题考查概率的意义和用列举法来列举出所有的事件数,本题解题的关键是不重不 漏的列举出所有的事件数. .

22.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 【考点】轨迹方程;三角形中的几何计算;点到直线的距离公式. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率,再利用直线 AP 与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式,化简后即为动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)对于存在性问题可先假设存在,由面积公式得: .根据角相等消去三角函数得比例式,最 后得到关于点 P 的纵坐标的方程,解之即得. 【解答】解: (Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1) . 设点 P 的坐标为(x,y)

化简得 x +3y =4(x≠±1) . 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1) (Ⅱ)解:若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 .
2 2

2

2

所以
2

=
2

即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 因为 x0 +3y0 =4,所以 故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题. .
2 2


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