数系的扩充
复数的概念
创设情景，探究问题
自然数
数 系 的 扩 充
整数 有理数 实数 N Z R Q
？
数系的扩充
复数的概念
知识引入
判断下列方程在实数集中的根的个数：
(1) x 2 ? 3x ? 4 ? 0
2个不相等的实根
(2) x 2 ? 4 x ? 5 ? 0
无实根
(3) x 2 ? 2x ? 1 ? 0
2个相等的实根
(4) x 2 ? 1 ? 0
无实根
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复数的概念
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程
x ? 1 ? 0 没有实数根．
2
思考？
x ? ?1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数：
i
满足
i ? ?1
2
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复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定： （1）i2??1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
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复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位。
R? C ?
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0，b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0，b ? 0 ? ?
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复数的概念
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部。
2 ? 7 , 0.618,
i , i?1 ? 3 ?,
2
2 i, 0 7
3 ? 9 2i,
5 i+8，
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复数的概念
2.指出下面复数的实部与虚部
2+i ，-3+0.5i，-2i+
0，-i，
? ，2
i, i , i , i
2
3
4
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复数的概念
讨论
观察复数的代数形式 复数的分类？
z ? a ? bi(a ? R, b ? R)
实部 虚部 其中 称为虚数单位。 0 且b=____ 0 时，则z=0 当a=___ 0 时，则z为实数 当b=___ ≠0 时，则z为虚数 当b=___ 0 且b___ ≠0 时，则z为纯虚数 当a=___
i
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复数的概念
复数的分类
?实数(b ? 0) 2、复数a+bi ? ?纯虚数(a ? 0，b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0，b ? 0) ? ?
思 考？
虚数集 复数集
3.复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关 系？
? R? C
纯虚数集
实数集
注意：非纯虚数是在虚数范围内讨论（学生易混淆）
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复数的概念
3、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则z= a 一定不是虚数
不正确 不正确 正确
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复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m ? 1 ? 0，即 （2）当 m ? 1 ? 0 ，即 （3）当 ?m ? 1 ? 0
m ? 1时，复数z 是实数． m ? 1 时，复数z 是虚数．
即 m ? ? 1时，复数z 是 纯虚数．
? ?m ? 1 ? 0
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复数的概念
典例讲解，变式拓展
例2 当m为何实数时，复数
z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2
是 （1）实数 ； （2）虚数 ； （3）纯虚数；
m2 ? m ? 2 2 z ? ? ( m ? 1)i 当实数m= 变式1:复数 m ?1
z为纯虚数；当实数m= 时z为零。
时
(1)m= ? 1 (2)m ? ?1 (3)m=-2
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复数的概念
例3 当m为何实数时，复数
z ? m ? 5m ? 6 ? (m ? 3m)i
2 2
是 （1）实数 ； （2）虚数 ； （3）纯虚数；
m ? 0且m ? 3 不能写成 m ? 0或m ? 3
(2)
这是学生常见错误
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复数的概念
复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等.
根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi
?a ? c 和 c+di 相等规定为a+bi = c+di ? ? ?b ? d
两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相 等或不相等。
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复数的概念
例4 已知 (2 x ? 1) ? i 求x与y?
? y ? (3 ? y )i ，其中x, y ? R
转化
解题思考： 复数相等 的问题
求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想：转化思想
解：根据复数相等的定义，得方程组 ?2 x ? 1 ? y 5 得 x? ,y?4 ? 2 ?1 ? ?( 3 ? y )
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复数的概念
1、若x，y为实数，且 求 x， y
?
x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2
?
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复数的概念
1、若x，y为实数，且
x ? y ? yi ? 4 ? 2i,
2 2
求x，y.
2 2 2、若(2x -3x-2)+(x -5x+6)
=0，求x的值.
i
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复数的概念
1、（2009年广东卷）下列n的取值中，使 in =1 (i是虚数单位） 的是（ C ） A、n=2 A、-１ B、n=3 B、 0 C、n=4 C、 1 D、n=5 Ｄ、i
2、（2005年湖南卷）复数Z=i+i2+i3+i4的值是（ B ）
-1 3、（2009年福建卷）复数i2(1+i)的实部是________ 。
i2
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复数的概念
练习 1、复数-5+2i的实部为____,虚部为_____. 2 2、实数m取什么值时，复数z=m i +1-mi 是（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？ 3、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求 x,y.
课堂小结
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部
复数的分类
复数相等
a ? bi ?
3、数学思想方法：转化思想
?a ? c c ? di ? ? ?b ? d
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复数的概念
作业布置
习题B组上:1、2、3
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复数的概念
课外阅读：
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以 用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这 个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对 角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整 数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕 达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出 去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还 是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生 命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导 致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
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复数的概念
数系的扩充
复数的概念
创设情景，探究问题
因计数的需要
自然数
数 系 的 扩 充
因不够减的需要，引入负数
整数
因测量、分配中的等分问题引入分数
有理数 实数
(分数集?有理数集?循环小数集)
因度量的需要
? 循环小数 实数集?小数集? ? ?不循环小数
？
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复数的概念
合情推理，类比扩充 提出问题： 根据前面数系扩充的资料你能设想一种方法，使方 程x2 + 1 =0有解吗?
提示:每一次数的扩充都是在遇到了用原有的数系 不能表示所要解决的问题时，引入新数来表示新的 问题的。