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3.1数系的扩充与复数的概念(ppt)


数系的扩充

复数的概念

创设情景,探究问题

自然数

数 系 的 扩 充

整数 有理数 实数 N Z R Q



数系的扩充

复数的概念

知识引入

判断下列方程在实数集中的根的个数:
(1) x 2 ? 3x ? 4 ? 0
2个不相等的实根

(2) x 2 ? 4 x ? 5 ? 0
无实根

(3) x 2 ? 2x ? 1 ? 0
2个相等的实根

(4) x 2 ? 1 ? 0
无实根

数系的扩充

复数的概念

知识引入

我们已经知道:

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

数系的扩充

复数的概念

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .

数系的扩充

复数的概念

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
R? C ?

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

数系的扩充

复数的概念

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与 虚部。

2 ? 7 , 0.618,

i , i?1 ? 3 ?,
2

2 i, 0 7

3 ? 9 2i,

5 i+8,

数系的扩充

复数的概念

2.指出下面复数的实部与虚部
2+i ,-3+0.5i,-2i+
0,-i,

? ,2

i, i , i , i

2

3

4

数系的扩充

复数的概念

讨论

观察复数的代数形式 复数的分类?

z ? a ? bi(a ? R, b ? R)
实部 虚部 其中 称为虚数单位。 0 且b=____ 0 时,则z=0 当a=___ 0 时,则z为实数 当b=___ ≠0 时,则z为虚数 当b=___ 0 且b___ ≠0 时,则z为纯虚数 当a=___

i

数系的扩充

复数的概念

复数的分类

?实数(b ? 0) 2、复数a+bi ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?
思 考?
虚数集 复数集

3.复数集,虚数集,实数 集,纯虚数集之间的关 系?

? R? C

纯虚数集

实数集

注意:非纯虚数是在虚数范围内讨论(学生易混淆)

数系的扩充

复数的概念

3、判断下列命题是否正确:

(1)若a、b为实数,则z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则z=bi必为纯虚数 (3)若a为实数,则z= a 一定不是虚数

不正确 不正确 正确

数系的扩充

复数的概念

例1: 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.

? ?m ? 1 ? 0

数系的扩充

复数的概念

典例讲解,变式拓展

例2 当m为何实数时,复数

z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

是 (1)实数 ; (2)虚数 ; (3)纯虚数;

m2 ? m ? 2 2 z ? ? ( m ? 1)i 当实数m= 变式1:复数 m ?1
z为纯虚数;当实数m= 时z为零。



(1)m= ? 1 (2)m ? ?1 (3)m=-2

数系的扩充

复数的概念

例3 当m为何实数时,复数

z ? m ? 5m ? 6 ? (m ? 3m)i
2 2

是 (1)实数 ; (2)虚数 ; (3)纯虚数;

m ? 0且m ? 3 不能写成 m ? 0或m ? 3
(2)
这是学生常见错误

数系的扩充

复数的概念

复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等.
根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi
?a ? c 和 c+di 相等规定为a+bi = c+di ? ? ?b ? d

两个虚数不能比较大小,只能由定义判断它们相 等或不相等。

数系的扩充

复数的概念

例4 已知 (2 x ? 1) ? i 求x与y?

? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R
转化

解题思考: 复数相等 的问题

求方程组的解 的问题

一种重要的数学思想:转化思想

解:根据复数相等的定义,得方程组 ?2 x ? 1 ? y 5 得 x? ,y?4 ? 2 ?1 ? ?( 3 ? y )

数系的扩充

复数的概念

1、若x,y为实数,且 求 x, y

?

x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2

?

数系的扩充

复数的概念

1、若x,y为实数,且

x ? y ? yi ? 4 ? 2i,
2 2

求x,y.
2 2 2、若(2x -3x-2)+(x -5x+6)

=0,求x的值.

i

数系的扩充

复数的概念

1、(2009年广东卷)下列n的取值中,使 in =1 (i是虚数单位) 的是( C ) A、n=2 A、-1 B、n=3 B、 0 C、n=4 C、 1 D、n=5 D、i

2、(2005年湖南卷)复数Z=i+i2+i3+i4的值是( B )

-1 3、(2009年福建卷)复数i2(1+i)的实部是________ 。

i2

数系的扩充

复数的概念

练习 1、复数-5+2i的实部为____,虚部为_____. 2 2、实数m取什么值时,复数z=m i +1-mi 是(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数? 3、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求 x,y.

课堂小结

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部

复数的分类
复数相等

a ? bi ?

3、数学思想方法:转化思想

?a ? c c ? di ? ? ?b ? d

数系的扩充

复数的概念

作业布置

习题B组上:1、2、3

数系的扩充

复数的概念

课外阅读:
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以 用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这 个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对 角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整 数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕 达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出 去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还 是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生 命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导 致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.

数系的扩充

复数的概念

数系的扩充

复数的概念

创设情景,探究问题
因计数的需要

自然数

数 系 的 扩 充

因不够减的需要,引入负数

整数
因测量、分配中的等分问题引入分数

有理数 实数

(分数集?有理数集?循环小数集)

因度量的需要

? 循环小数 实数集?小数集? ? ?不循环小数



数系的扩充

复数的概念

合情推理,类比扩充 提出问题: 根据前面数系扩充的资料你能设想一种方法,使方 程x2 + 1 =0有解吗?

提示:每一次数的扩充都是在遇到了用原有的数系 不能表示所要解决的问题时,引入新数来表示新的 问题的。


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