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高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性课件_图文


第一章

三角函数

1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

学习目标:1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y= Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.(重点)3.掌握函数y=sin x,y=cos x的 奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(重点、易混点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.函数的周期性

非零常数T ,使得当 x 取定 (1)周期函数:对于函数 f(x),如果存在一个___________
f(x+T)=f(x) ,那么这个函数的周期为____ T . 义域内的每一个值时,都有______________ 正数 , (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的______

正数 就叫做 f(x)的____________ 最小正周期 . 那么这个最小______

2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 周期 最小正周期 奇偶性 y=sin x 2kπ(k∈Z 且 k≠0) y=cos x 2kπ(k∈Z 且 k≠0)

2π ____
奇函数 ________

2π ____
偶函数 ________

[ 基础自测] 1.思考辨析
?2π π? π 2π ? ? (1)若sin 3 +6 =sin6,则 3 是函数y=sin ? ?

x的一个周期.( )

)

(2)所有的周期函数都有最小正周期.( (3)函数y= sin x是奇函数.( )

[ 解析]

?2π ? (1)×.因为对任意x,sin? 3 +x?与sin ? ?

x并不一定相等.

(2)×.不是所有的函数都有最小正周期,如函数f(x)=5是周期函数,就不 存在最小正周期. (3)×.函数y=
[ 答案]

sin x 的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},不关于原点

对称,故非奇非偶.
(1)× (2)× (3)×

? π? 2.函数y=2sin?2x+2?是( ? ?

) B.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数

A.周期为π的奇函数 C.周期为2π的奇函数
? π? [y=2sin?2x+2?=2cos ? ?

B

2x,它是周期为π的偶函数.]

3.若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=________.

6 [由已知得f(x+2)=f(x), 所以f(1)=f(3)=f(5)=6.]

[合 作 探 究· 攻 重 难]
三角函数的周期问题及简单应用
求下列函数的周期:
? π? (1)y=sin?2x+4?; ? ?

(2)y=|sin x|.
[ 思路探究]

【导学号:84352085】
(1)法一:寻找非零常数 T,使 f(x+T)=f(x)恒成立.

法二:利用 y=Asin(ωx+φ)的周期公式计算. (2)作函数图象,观察出周期.

[ 解]

? π? (1)法一:(定义法)y=sin?2x+4? ? ?

? ? ? π π? =sin?2x+4+2π?=sin?2?x+π?+4?, ? ? ? ?

所以周期为 π.
? π? 法二:(公式法)y=sin?2x+4?中 ? ?

2π 2π ω=2,T= ω = 2 =π.

(2)作图如下:

观察图象可知周期为 π.

[ 规律方法]

求三角函数周期的方法:

(1)定义法:即利用周期函数的定义求解. (2)公式法: 对形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A, ω, φ 是常数, A≠0, 2π ω≠0)的函数,T=|ω|. (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.

π 提醒:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期 T=|ω|.

[ 跟踪训练] 1.利用周期函数的定义求下列函数的周期. (1)y=cos 2x,x∈R;
?1 π? (2)y=sin?3x-4?,x∈R. ? ?

[ 解]

(1)因为 cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=

cos 2x 的周期为 π. (2)因为
?1 π? sin?3?x+6π?-4? ? ?

?1 ?1 ?1 π? π? π? =sin?3x+2π-4?=sin?3x-4?,由周期函数的定义知,y=sin?3x-4?的周期 ? ? ? ? ? ?

为 6π.

三角函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性:
? 1 π? (1)f(x)=sin?-2x+2?; ? ?

(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 1+sin x-cos2x (3)f(x)= . 1+sin x

[ 思路探究]

[ 解]

1 (1)显然 x∈R,f(x)=cos2x,

? 1 ? 1 ? ? ∵f(-x)=cos -2x =cos2x=f(x), ? ?

∴f(x)是偶函数.
? ?1-sin (2)由? ? ?1+sin

x>0, x>0,

得-1<sin x<1,
? ? ?, ? ?

? ? ? π ? ? 解得定义域为 x x∈R且x≠kπ+2,k∈Z ? ? ?

∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x), ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)] -lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, π ∴x∈R 且 x≠2kπ-2,k∈Z. ∵定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数.

[ 规律方法]

1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:

一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看 f(x)与 f(-x)的关系. 2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再 判断.
提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.

[ 跟踪训练] 2.判断下列函数的奇偶性:
?3 ? (1)f(x)=cos?2π+2x?+x2sin ? ?

x;

(2)f(x)= 1-2cos x+ 2cos x-1. 【导学号:84352086】

[ 解]

(1)f(x)=sin 2x+x2sin x,

又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x) =-sin 2x-x2sin x=-f(x), ∴f(x)是奇函数.
? ?1-2cos x≥0, (2)由? ? ?2cos x-1≥0,

1 得 cos x=2,

π ∴f(x)=0,x=2kπ± 3,k∈Z, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[ 探究问题] 1.试举例说明哪些三角函数具有奇偶性? 提示:奇函数有 y=2sin x,y=sin 2x,y=5sin 2x,y=sin xcos x 等.偶函数 有 y=cos 2x+1,y=3cos 5x,y=sin x· sin 2x 等. 2.若函数 y=f(x)是周期 T=2 的周期函数,也是奇函数,则 f(2 018)的值是 多少?
提示:f(2 018)=f(0+1 009×2)=f(0)=0.

(1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是(

)

【导学号:84352087】 A.y=cos|2x|
?π ? C.y=sin?2+2x? ? ?

B.y=|sin 2x|
?3π ? D.y=cos? 2 -2x? ? ?

(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期 为 π,且当
? π? x∈?0,2?时,f(x)=sin ? ?

x,则

?5π? f? 3 ?等于( ? ?

)

1 A.-2 3 C.- 2

1 B.2 3 D. 2

[ 思路探究]

(1)先作出选项 A,B 中函数的图象,化简选项 C、D 中函数的

解析式,再判断奇偶性、周期性. (2)先依据 f(x+π)=f(x)化简 sin x 求值.
?5π? f? 3 ?;再依据 ? ?

f(x)是偶函数和

? π? x∈?0,2?,f(x)= ? ?

(1)D (2)D [(1)y=cos|2x|是偶函数,y=|sin cos 2x T=π.
?5π? ?5π ? ?2π? (2)f? 3 ?=f? 3 -π?=f? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?2π ? ? π? ?π? =f? 3 -π?=f?-3?=f?3? ? ? ? ? ? ? ?3π ? 是偶函数,y=cos? 2 -2x?=-sin ? ?

?π ? 2x|是偶函数,y=sin?2+2x?= ? ?

2x 是奇函数,根据公式得其最小正周期

π 3 =sin3= 2 .]

11π 母题探究: 1.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”, “π”改为“ 12 ”, 其他条件不变,结果如何?

[ 解]

?5π? ?5π 11π ? ? π? ?π? π 1 ? ? ? ? ? ? ? ? f 3 =f 3 - 12 ×2 =f -6 =-f 6 =-sin6=-2. ? ? ? ? ? ? ? ?

? 17 ? π 2.若本例(2)中的“π”改为“2”,其他条件不变,求f?- 6 π?. ? ? π [ 解] ∵f(x)的周期为2,且为偶函数,
? 17 ? ? π? ? π π? ?π? ∴f?- 6 π?=f?-3π+6?=f?-6×2+6?=f?6?. ? ? ? ? ? ? ? ? ?π? ?π π? ? π? ?π? π ? ? ? ? ? ? ? ? 又∵f 6 =f 2-3 =f -3 =f 3 =sin3= ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 ? ∴?- 6 π?= ? ?

3 2,

3 2.

[ 规律方法]

1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略

探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解. 2.与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z); π (2)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+2(k∈Z); π (3)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+2(k∈Z); (4)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象 的是( )

D [ 观察图象易知,只有D选项中的图象不是周期函数的图象.]

2.函数f(x)= 2sin 2x的奇偶性为( A.奇函数 C.既奇又偶函数

) B.偶函数 D.非奇非偶函数

A [f(x)= 2sin 2x的定义域为R,f(-x)= 2sin 2(-x)=- 2sin 2x= -f(x),所以f(x)是奇函数.]

3.函数 f(x)=

?πx π? 3sin? 2 -4?,x∈R ? ?

的最小正周期为________.

2π 4 [由已知得 f(x)的最小正周期 T= π =4.] 2 4.若函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数且 f(1)=3,则 f(5)=
________. 【导学号:84352088】

-3 [ 由已知得 f(x+3)=f(x), f(-x)=-f(x), 所以 f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1) =-3.]

5.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=-2cos 3x; (2)f(x)=xsin(x+π). 【导学号:84352089】

[ 解]

(1)f(-x)=-2cos 3(-x)

=-2cos 3x=f(x), 所以f(x)=-2cos 3x为偶函数. (2)f(x)=xsin(x+π)=-xsin x, 所以f(-x)=xsin(-x)=-xsin x=f(x), 故函数f(x)为偶函数.

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