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上海市各区县2015届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 不等式 理


上海市各区县 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 不等式
一、填空题 1、(虹口区 2015 届高三上期末)若正实数 a,b 满足 ab = 32,则 2a ? b 的最小值为 2、(嘉定区 2015 届高三上期末)设正数 a 、 b 满足 2a ? 3b ? ab ,则 a ? b 的最小值是__________

1 ? 1 的解是 ▲ x 7 4、(静安区 2015 届高三上期末)不等式 1 ? ? 0 的解集是 2x ? 1
3、(金山区 2015 届高三上期末)不等式: 5、(静安区 2015 届高三上期末)已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? 1 ,则 6、(浦东区 2015 届高三上期末)不等式 2 ? 1 的解为
x

y?2 的取值范围是 x

7、(青浦区 2015 届高三上期末)已知正实数 x, y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为 8、(徐汇区 2015 届高三上期末)若实数 x, y 满足 xy ? 4 ,则 x 2 ? 4 y 2 的最小值为

二、选择题 1 、 ( 崇 明 县 2015 届 高 三 上 期 末 ) 若 a ? 0 , b ? 0 , 则 p ? 为???????????( ) A. p ? q B. p ≤ q C. p ? q 2、(浦东区 2015 届高三上期末)下列四个命题中,为真命题的是

b2 a 2 与 q ? a ?b 的大小关系 ? a b
D. p ≥ q ( )

( A) 若 a ? b ,则 ac ? bc
2

2

(C ) 若 a ? b ,则 a 2 ? b 2

(B) 若 a ? b , c ? d 则 a ? c ? b ? d 1 1 ( D) 若 a ? b ,则 ? a b


3、 (普陀区 2015 届高三上期末) 设 a 、b ? R, 且 ab ? 0 , 则?????????????? (

( A) | a ? b |?| a ? b | (C ) | a ? b |?| a | ? | b |
三、解答题

( B ) | a ? b |?| a ? b | ( D) | a ? b |?| a | ? | b |

?| x ? 1|? 3 ? 1、(宝山区 2015 届高三上期末)解不等式组 ? 2 ?1 ? ?x ?3

1

2、(宝山区 2015 届高三上期末)有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框 架的高的比为 1∶2,问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积 最大(中间木档的面积可忽略不计).

3、(闸北区 2015 届高三上期末)请仔细阅读以下材料: 已知 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数. 求证:命题“设 a, b ? R ? ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题. 证明 因为 a, b ? R ? ,由 ab ? 1 得 a ?

1 a

1 b

又因为 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数,

1 ? 0. b

1 b 1 同理有 f (b) ? f ( ) . a
于是有 f (a ) ? f ( ) .

① ②

由① + ②得 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) . 故,命题“设 a, b ? R ? ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题. 请针对以上阅读材料中的 f ( x) ,解答以下问题:
? (1)试用命题的等价性证明:“设 a, b ? R ,若 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ,则: ab ? 1 ”

1 a

1 b

1 a

1 b

1 a

1 b

是真命题; (2)解关于 x 的不等式 f (a x?1 ) ? f (2x ) ? f (a1? x ) ? f (2? x ) (其中 a ? 0 ).

2

参考答案 一、填空题 1、16 2、 5 ? 2 6 8、16 3、0<x<1 4、 ( , 4 )

1 2

5、 [?2,2]

6、 x ? 0

7、 2 6 ? 3 二、选择题 1、B 2、C 三、解答题 1、由题意得:

3、A

由(1)解得 ?2 ? x ? 4 由(2)解得 3 ? x ? 5

?????????????????????3 分 ??????????????????????6 分 ???????????????8 分

所以,不等式解集为(3,4) 2、解:如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x

6 ? 7x . ???????????2 分 x 3 6 ? 7x 6 2 即窗框的面积 y = 3x · =?7x + 6x ( 0 < x < ) ??5 分 2x 3 7 3 9 配方:y = ? 7( x ? ) 2 ? ( 0 < x < 2 ) ????????7 分 7 7 3 3 6 ∴当 x = 米时,即上框架高为 米、下框架为 米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积最 7 7 7
∴窗框的高为 3x,宽为 大. ????????????????????????????8 分 3、解:(1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题. 原命题的逆否命题:设 a, b ? R ? ,若 ab ? 1 ,则: f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ??4 分 下面证明原命题的逆否命题为真命题: 因为 a, b ? R ? ,由 ab ? 1 得: 0 ? a ?

1 a

1 b

又 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数 所以 f (a ) ? f ( ) ????(1)

1 , b

??????????1 分

1 b

??????????1 分 ??????????1 分 ??????????1 分 ??????????1 分
x

1 ) ????(2) a 1 1 由(1)+(2)得: f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) a b
同理有: f (b) ? f ( 所以原命题的逆否命题为真命题 所以原命题为真命题. (2)由(1)的结论有: a ①当 2a ? 1 时,即 a ?
x ?1

? 2 ? 1 ,即: (2a) ? a
x

?????????3 分 ?????2 分

1 时,不等式的解集为: (log 2a a, ? ?) 2

3

②当 0 ? 2a ? 1 时,即 0 ? a ? ③当 2a ? 1 时,即 a ?

1 时,不等式的解集为: ( ? ? , log 2a a) 2

???2 分 ?????2 分

1 时,不等式的解集为: R 2

4


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