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江苏省扬州中学2013-2014学年高一3月阶段检测数学试题


江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段检测
高一数学试卷

2014 年 3 月

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上.)

1. cos165? =



2、函数 y ? cos2 x 的最小正周期为



3.设 Sn 是等差数列 ?an ?的前 n 项和,已知 a2 ? 3, a6 ? 11,则 S7 ?



4、已知数列{an} 是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的n是_____________.

5.若 ?

?

? (

,?

),

tan(?

?

?

)

?

1

,则 sin?

?



2

47

6、已知 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 1, A ? 30? ,则 AC ?



7.已知角? , ? ,? 构成公差为 ? 的等差数列,若 cos ? ? ? 2 ,则 cos? ? cos? =



3

3

8.若? ? ?? ? ,? ?? ,且 3cos 2? ? sin(? ? ? ) ,则 sin 2? =



?2 ?

4

9、在△ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? ? , 4

cos B ? cos 2B ? 0, a 2 ? c 2 ? b ? ac ? 2 ,则 b=

.

? ? 10. 已 知 数 列 an 满 足 关 系 式 an?2 ? an?1 ? an (n ? N ? ) , 且 a998 ? 3 , a1000 ? 1 , 则

a2012 ? a2013 ? a2014 =



11.在锐角△ ABC 中, sin( A ? B) ? 3 ,sin( A ? B) ? 5 ,则 tan 2B ?



5

13

12.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2BC ? CA ? 3CA ? AB ,则

tan A : tan B : tan C =



13.在等差数列?an ?中,a2

?

5, a6

?

21,记数列

? ? ?

1 an

? ? 的前 ?

n

项和为 Sn

,若 S 2n?1

?

Sn

?

m 15

对任意 n ? N ? 恒成立,则正整数 m 的最小值为

.

14.设 y ? f (x) 是定义在区间 D 上的函数,对于区间 D 的非空子集 I,若存在常数 m ? R ,满

足:对任意的 x1 ? I ,都存在 x2 ? I ,使得

f (x1 ) ? f (x2 ) ? m , 则 称 常 数 m 是 函 数 f (x) 在 I 上 的 “ 和 谐 数 ”。 若 函 数 2

f (x) ? sin x ? cos x, x ? R ,则函数 f (x) 在区间 ?0,? ?上的“和谐数”是



二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15.化简求值:(1) 2 cos10? ? sin 20? ; cos 20?

(2)已知 cos(? ? ? ) ? ? 1 ,sin(? ? ? ) ? 2 ,且 ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? ,求 cos ? ? ?

29

2

32

2

2

的值。

16、在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,函数
f (x) ? 2 cos x sin(x ? A) ? sin A(x ? R) 在 x ? 5? 处取得最大值。 12
(1)当 x ? (0, ? ) 时,求函数 f (x) 的值域; 2
(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ? 13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14

17.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a3 ? a4 ? 117 ,a2 ? a5 ? 22 .

(1)求数列{an}的通项公式 an ;

(2)若数列{bn}是等差数列,且 bn

?

Sn n?c

,求非零常数

c.

18、已知数列{an} 满足 a1

?

1 5

,且当 n

?1,n?N

* 时,有

an?1 an

?

2an?1 ? 1 , 1 ? 2an

(1)求证:数列{ 1 } 为等差数列; an

(2)试问 a1 ? a2 是否是数列{an} 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由。

19.某个公园有个池塘,其形状为直角三角形 ABC, ?C ? 90? , AB ? 200 米,BC=100 米;
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,使得 EF∥AB, EF⊥ED,在△ DEF 内喂鱼,求△ DEF 面积的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,建造△ DEF 走廊(不考 虑宽度)供游客休息,且使得△ DEF 为正三角形,求△ DEF 边长的最小值。
20.已知数列 ?an ?满足 a2 ? 3a1 , Sn 是数列?an ?的前 n 项和,且有
Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2, n ? N * )
(1)若数列?an ?为等差数列,求通项 an ;
(2)若对于任意 n ? N * , an ? an?1 恒成立,求 a1 的取值范围。

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

学号

江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段检测

高一数学试卷答题纸

2014 年 3 月

一、填空题(每小题 5 分,计 70 分)

1.

2.

3.

成绩 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.

16.

姓名__________________

班级__________________

17.

18.
19.
(请将 20 题解答写在答题纸反面)
江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段检测

高一数学试卷 答案

2014 年 3 月

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上.)

1. ? 6 ? 2 4
5. 3 5
9、2

2、 ?
6、1 或 2 10.2

3.49
7. ? 2 3
11.0

4、5
8. ? 17 18
12. 3:1:2

2 ?1

13.5

14.

2

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15.化简求值:

(1) 2 cos10? ? sin 20? ( 3 ) cos 20?

(2)已知 cos(? ? ? ) ? ? 1 ,sin(? ? ? ) ? 2 ,且 ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? ,求 cos ? ? ?

29

2

32

2

2

的值。 7 5 27

16、在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,函数
f (x) ? 2 cos x sin(x ? A) ? sin A(x ? R) 在 x ? 5? 处取得最大值。 12
(1)当 x ? (0, ? ) 时,求函数 f (x) 的值域; 2
(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ? 13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14

17.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a3 ? a4 ? 117 ,a2 ? a5 ? 22 .

(1)求数列{an}的通项公式 an ;

(2)若数列{bn}是等差数列,且 bn

?

Sn n?c

,求非零常数

c.

17. (1){an}为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22 ,又 a3 ? a4 ? 117 ,

∴ a3 , a4 是方程 x2 ? 22x ?117 ? 0 的两个根

又公差 d ? 0 ,∴ a3 ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13



???aa11

? 2d ? 3d

?9 ? 13



???da1

? ?

1 4

∴ an ? 4n ? 3 ,

(2)由(1)知,

Sn

?

n

?1?

n(n ?1) 2

?

4

?

2n2

?

n

,

∴ bn

?

Sn n?c

?

2n2 ? n n?c

∴ b1

?

1 1? c

, b2

?

2

6 ?

c

, b3

?

15 3?c

,

∵{bn}是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c2 ? c ? 0 ,

∴ c ? ? 1 ( c ? 0 舍去) ,再验证成立 2

18、已知数列{an} 满足 a1

?

1 5

,且当 n

?1,n?N

* 时,有

an?1 an

?

2an?1 ? 1 , 1 ? 2an

(1)求证:数列{ 1 } 为等差数列; an

(2)试问 a1 ? a2 是否是数列{an} 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由。

18.(1)证明:? 当

n

?1 ,

n?N

* 时,

an?1 an

?

2an?1 ? 1 1 ? 2an

,?

an?1

?

2an an?1

?

2an an?1

?

an

,又

? an

?

0 ,?

1 an

?

1 an?1

? 4 ,?数列{ 1 } 为等差数列; an

(2)?

a1

?

1 5

,??

a2

?

1 ,?
9

1 an

? 5 ? 4(n ?1) ? 4n ? 1,? an

?

1, 4n ?1

又? a1a2

?

1 ,若 1 45 45

?

1 4n ?

1

,得

n=11,所以

a1a2

是数列

{an

}



第 11 项。

19.某个公园有个池塘,其形状为直角三角形 ABC, ?C ? 90? , AB ? 200 米,BC=100 米;

(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,使得 EF∥AB, EF⊥ED,在△ DEF 内喂鱼,求△ DEF 面积的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,建造△ DEF 走廊(不考 虑宽度)供游客休息,且使得△ DEF 为正三角形,求△ DEF 边长的最小值。
19.(1)解:在直角三角形 ABC, ?C ? 90? , AB ? 200 米,BC=100 米;? A ? 30? ,? EF∥AB,

EF⊥ED, ?∠CFE=30°,设 EF=x,0<x<200,?CE= x ,?BE=100- x ,? EF⊥ED, ? EF

2

2

⊥ AB,

? DE=

3 (100 ? 2

x) 2

, ? S ?ABC

?

1 EF 2

? ED

?

3 x(200 ? x) , 当 8

x=100

时,

SMAX ? 1250 3 ;

(2)设边长为 a, ∠BFE=? ,? ? (0, ? ) ,?BE=asin? ,EC=100- asin? ,∠DEC= ? ? ? ,

2

6

∠EDC= ? 2

??

,在三角形 DEC 中, a sin ? 3

?

100 ? a sin sin(? ? ?

? )

2

,? a ?

50 cos? ?

3 3 sin? 2

?a 的最小值为 100 3 。
7
20.已知数列 ?an ?满足 a2 ? 3a1 , Sn 是数列?an ?的前 n 项和,且有
Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2, n ? N * )
(1)若数列?an ?为等差数列,求通项 an ;

(2)若任意 n ? N * , an ? an?1 恒成立,求 a1 的取值范围。
解 :( 1 ) ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2, n ? N * ) , ? S3 ? S2 ? S1 ? 14 , 即 a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14 ,又? a2 ? 3a1 ,? a3 ? 14 ? 9a1
?数列?an ?为等差数列,? 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 a1 =1,? d ? a2 ? a1 ? 2 ,? an ? 2n ?1
(2)? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2, n ? N * ) ,
? Sn?2 ? Sn?1 ? Sn ? 3(n ? 1)2 ? 2(n ? 2, n ? N * )
两式作差得 an?2 ? an?1 ? an ? 6n ? 3(n ? 2, n ? N * ) 所以 an?3 ? an ? 6(n ? 2, n ? N * )

?a1, n ? 1

可求得 an

?

??2n ? 3a1 ? ?2n ? 9a1

? 4, n ? 8, n

? 3k ?1, k ? N ? ? 3k, k ? N ?

??2n ? 6a1 ? 7, n ? 3k ? 1, k ? N ?

若任意 n ? N * , an ? an?1 恒成立,所以 a1 ? a2 且 a3k?1 < a3k < a3k?1 < a3k?2

?a1 ? 3a1

?

????3?a91a?1

6? ?8

?9a1 ? 8 ,解得 13

? 6a1 ? 5

15

?

a1

?

7 6

??6a1 ? 5 ? 3a1

所以

a1

的取值范围为

13 15

?

a1

?

7 6


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