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第六章


第六章
平方根

实数

教学目标:了解数的算术平方根及平方根的概念,并会用符号表示;理解平方与开方之间是互为逆运算的 关系,会用计算器求一些正数的算术平方根 重点:了解数的算术平方根及平方根的概念,会求某些非负数的平方根,会用根号表示一个数的平方根 难点:对 a 大小的估算及如何理解 a 是非负数及被开方数 a 是非负数;正确区分算术平方根与平方根 第 1 课时 ㈠创设情景,导入新课 请同学们欣赏本节导图,并回答问题,学校要举行金秋美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为 25 dm 的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少 dm ?如果这块画布的 面积是 12dm ? 这个问题实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题(引入新课) ㈡合作交流,解读探究 讨论:1、什么样的运算是平方运算? 2、你还记得 1~20 之间整数的平方吗? 自主探索:让学生独立看书,自学教材 总结:一般地,如果一个正数 x 的平方为 a ,即 x ? a ,那么正数 x 叫做 a 的算术平方根,记为 a ,读
2 2 2

作根号 a ,其中 a 叫做被开方数 另外:0 的算术平方根是 0 探究:怎样用两个面积为 1 的正方形拼成一个面积为 2 的大正方形(面积法的思维方式)

把两个小正方形沿对角剪开,将所得的四个直角形拼在一起,就的到一个面积为 2 的大正方形。 设大正方形的边长为 x ,则 x ? 2
2

-1-

1

由算术平方根的意义, x ? 即大正方形的边长为 2 讨论: 2 有多大呢?

2

思考:你能举些象 2 这样的无限不循环小数吗? ㈢应用迁移,巩固提高 例 1 求下列各数的算术平方根 ⑴100 ⑵

49 64

⑶0.0001

⑷0

⑸2

1 4

点拨:由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题 思考:-4 有算术平方根吗? 备选例题:要使代数式 A. x ? 2

x?2 有意义,则 x 的取值范围是( 3
C. x ? 2 D. x ? 2



B. x ? 2

㈣总结反思,拓展升华小结:1、算术平方根的定义和性质 2、用计算器求一个正数的算术平方根 拓展:已知 2a ? 1 的算术平方根是 3,3a ? b ? 1的算术平方根是 4,c 是 13 的整数部分,求 a ? 2b ?c 的 算术平方根 ㈤课堂跟踪反馈 非负数 a 的算术平方根表示为___,225 的算术平方根是____,0 的算术平方根是____ 1、

81 ? ___,

16 121 ? ____, ? ? _____ 25 81

2、

16 的算术平方根是_____, ?0.64 的算术平方根____
) D.-49 )

3、 若 x 是 49 的算术平方根,则 x =( A. 7 4、 若 A. 49 B. -7 C. 49

x ? 4 ? 7 ,则 x 的算术平方根是(
B. 53 C.7 D

53 .

-2-

2

第 2 课时

㈠创设情景,导入新课 复习提问:1、什么数的平方是 49? 2、平方得 81 的数有几个?分别是什么? 3、一对互为相反数的平方有什么关系? 交流总结:由问题出发,认识到平方得一个正数的数有 2 个,并且互为相反数(引入新课) ㈡合作交流,解读探究 自主探索:独立看书,自学教材 想一想:到底什么是平方根,它和我们已经认识的算术平方根有何关系? ⑴什么叫一个数的平方根?如何用符号表示? ⑵根据平方根的定义,只有什么数才有平方根? ⑶什么叫开方? [⑴ 如 果 一 个 数 的 平 方 等 于 a , 那 么 这 个 数 叫 做 a 的 平 方 根 或 二 次 方 根 , 用 符 号 表 示 为 : 若 ;⑵只有非负数才有平方根;⑶求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方运算。 x2 ? a, 则 x ? ? a 练一练:求下列数的平方根 ⑴100 总结归纳: 1、 正数有两个平方根,它们互为相反数 2、 0 的平方根是 0 3、 负数没有平方根 讨论:平方根与算术平方根之间有什么关系? 总结:1、平方根与算术平方根之间的区别 ⑴定义不同:如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的平方根。一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 有一个
2



9 16

⑶0.25

⑷ ?16

⑸0

平方根,是 0 本身;负数没有平方根。 如果 x ? a ,并且 x ? 0 ,那么 x 叫做 a 的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个,非负数的算术
2

平方根一定是非负数 ⑵表示方法不同:正数 a 的平方根表示为 ? a ;正数 a 的算术平方根为 a
-33

⑶平方根等于本身的数是 0;算术平方根等于本身的数是 0 或 1(理解掌握) 2、平方根与算术平方根之间的联系 ⑴二者有着包含关系:平方根中包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负的那一个 ⑵存在条件相同,非负数才有平方根和算术平方根 ⑶0 的平方根和 0 的算术平方根都是 0 ㈢应用迁移,巩固提高 例 1 说出下列各数的平方根 ⑴0.04 ⑵

81 121

⑶ 256

⑷6

1 4

例 2 说出下列各数的平方根各是什么? ⑴64 ⑵0 ⑶ ? ?0.4 ?
2

? 2? ⑷ ? ?1 ? ? 3?

2

⑸ ?16

⑹ ? ?4 ?

3

点评:要从根本之处理解一个数的平方根的运算,从平方根的概念入手,同时要知道,只有非负数才有平 方根 例 3 计算 ⑴? 1

7 9

⑵ 2

41 64

⑶ ? 412 ? 402

⑷ x2 ? 2 x ? 1

? x ? 1?

㈣总结反思,拓展升华 小结 1、平方根的定义及符号表示 2、平方根与算术平方根的关系 拓展 已知

1 a 3a ? b ? 7 ? 2a ? b ? 3 ? 0 ,求: ? b ? a ? 的平方根(几个非负数和为零问题) 5

㈤课堂跟踪反馈 1、 判断下列说法是否正确 ⑴5 是 25 的算术平方根 ⑵ ( ( ( ) ) )

5 25 是 的一个平方根 6 36
2

⑶ ? ? 4 ? 的平方根是-4 教后反思:

-4-

4

立方根
教学目标:了解立方根的概念,会用符号表示一个数的立方根 重点:了解立方根的概念,用立方运算求某些数的立方根;

? a?
3

3

? a ,会用计算器求某些数的立方根

难点:明确平方根与立方根的区别,能熟练地求某些数的立方根 ㈠创设情景,导入新课 出示一个正方体纸盒,提出问题,如果这个正方体的体积为 216 cm ,那么它每条棱长是多少? ㈡合作交流,解读探究 观察 由以上问题,有 x ? 216 ,即要求一个数,使它的立方等于 216,通过分析,有 6 ? 216 ,那么 6
3 3 2

就是这个正方体的棱长 归纳 如果一个数的立方等于 a ,这个数叫做 a 的立方根(也叫做三次方根) ,即如果 x ? a ,那么 x 叫做
3

a 的立方根
探究 根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点? 因为 2 ? 8 ,所以 8 的立方根是( 2
3
3

) )

因为 ? 0.5 ? ? 0.125 ,所以 0.125 的立方根是( 0.5 因为 ? 0 ? ? 0 ,所以 8 的立方根是( 0
3



因为 ? ?2 ? ? ?8 ,所以 8 的立方根是(
3

?2



因为 ? ?

8 ? 2? ? ? ? ,所以 8 的立方根是( 27 ? 3?

3

?

2 3



【总结归纳】

一个正数有一个正的立方根 0 有一个立方根,是它本身 一个负数有一个负的立方根 任何数都有唯一的立方根

【类比思考】 平方根的表示我们已经很清楚了,那么立方根又该如何表示呢? 【探究说明】 一个数 a 的立方根,记作 3 a ,读作:“三次根号 a ”,其中 a 叫被开方数,3 叫根指数,不 能省略,若省略表示平方。例如: 3 27 表示 27 的立方根, 3 27 ? 3 ; 3 ?27 表示 ?27 的立方根, 3 ?27 ? ?3
-55

【探究】因为 3 ?8 ? ____, ? 3 8 ? ____, 所以 3 ?8 因为 3 ?27 ? ____, ? 3 27 ? ____ ,所以 3 ?27 =

=

?38

? 3 27

总结 利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性, 求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即 3 ?a ? ? 3 a ? a ? 0 ? 。 操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法: 用计算器求立方根和求平方根的步骤相同,只是根指数不同。 步骤:输入 3 → 被开方数 → = → 根据显示写出立方根

例:求-5 的立方根(保留三个有效数字)
3

→ 被开方数 → = → 1.709975947
3

所以

?5 ? ?1.71

㈢应用迁移,巩固提高 例 1 求下列各数的立方根 ⑴ -8 例 2 计算 ⑴ 3 64 ⑵ 3 ?125 ⑶ ?3 2 ⑵

27 64

⑶ ?125

⑷ 81 ? 9

⑸ ?10

?6

⑹3

3 8

10 27

⑷ ?3 ?

27 64

⑸ 3 ?0.064

例 3 张叔叔有棱长为 40.25cm 的两个正方体纸箱中装满了大米,他将这两箱大米都倒入了另一个新的正 方体木箱中,结果正好装满,那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少?(结果精确到 0.01cm )审题 分析 从一个实际问题中抽象出数学关系, 即一个正方体的体积等于另一个正方体体积的 2 倍, 列式并 计算。 例 4 解方程 ⑴ x ? 0.125
3

⑵ 3 ? x ? 4 ? ? 1536 ? 0
3

分析 我们已经学习了立方根,也能由立方根的定义求解 x ? a ( a 为常数)这一类型简单的三次方程。
3

第⑵小题,我们要把 ? x ? 4 ? 看成一个整体,依然转化成为 x ? a 的形式,再由立方根定义去求解。
3

备选例题 y ?

3

x ?1 ?

1 的自变量 x 的取值范围是( ) 2x ? 4
B. x ? 2 C. x ? 1 且 x ? 2
-6-

A. x ? 1 且 x ? 2

D.全体实数
6

㈣总结反思,拓展升华 小结 1、立方根的概念和性质 2、立方根与平方根的异同比较 ㈤课堂跟踪反馈 1、 当 x ≥0 时, 4 x 有意义;当 x
2

为一切实数 时, 3 4 x 有意义

2、 ? 64 的立方根是 -2 , 3 ? ?8? 的平方根是 ± 2 , 3 ?512 的立方根是 -2 3、 -8 的立方根与 81 的一个平方根的和等于 1 或-5 4、 一个自然数的算术平方根是 a ,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ? a 2 ? 1 ,立方 根是
3

a2 ? 1

5、 解下列方程 ⑴ x ? 512
3

⑵ 64 x ? 125 ? 0
3

⑶ ? x ? 1? ? ?216
3

6、已知 3 x ? 4 ,且 y ? x 教后反思:

?

?

2

? z ? 3 ? 0 ,求 x ? y ? z3 的值





第 1 课时
教学目标:了解无理数和实数的概念,知道实数和数轴上的点一一对应,能估算无理数的大小;了解实数 的运算法则及运算律,会进行实数的运算,会用计算器进行实数的运算 重点:实数的意义和实数的分类;实数的运算法则及运算律 难点:体会数轴上的点与实数是一一对应的;准确地进行实数范围内的运算 第 1 课时 ㈠创设情景,导入新课 略 ㈡合作交流,解读探究 探究 使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? 3 , ?

3 47 9 11 5 , , , , 5 8 11 9 9
-77

我们发现,上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即

3 ? 3 . 0, ?

3 47 9 11 5 ? ?0.6 , ? 5.875 , ? 0.81 , ? 1.2 , ? 0.5 5 8 11 9 9

归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来,任何有限小数或无限循环小 数也都是有理数 观察 通过前面的探讨和学习,我们知道,很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小 数又叫无理数, ? ? 3.14159265 也是无理数

结论 有理数和无理数统称为实数 试一试 把实数分类

? ?整数 ? ? 有限小数或无限循环小数 ?有理数 ? 实数 ? 分数 ? ? ? ?无理数 ? 无限不循环小数
像有理数一样,无理数也有正负之分。例如 2 , 3 3 , ? 是正无理数, ? 2 , ? 3 3 , ?? 是负无理数。 由于非 0 有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类:

? ?正有理数 ?正实数 ? ?正无理数 ? ? 实数 ?0 ? 负有理数 ?负实数 ? ? ? ?负无理数 ?
我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢? 探究 如图所示,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点 O′,点 O′的坐标是多少?

滚轮法

总结 1、事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,这就是说,数轴上的点有些表示有理 数,有些表示无理数 当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点 来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数 2、 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大

-8-

8

讨论 当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗? 总结 数 a 的相反数是 ?a ,这里 a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身;一个负实数的绝对值 是它的相反数;0 的绝对值是 0 ㈢应用迁移,巩固提高 例 1 把下列各数分别填入相应的集合里:
3

? 22 7 3 8 , 3? , 3 . 1 4 1, , ? ,? 3 7 8
} }

,

2, 0.101001000 ?1
负有理数{ 负无理数{ ) D. 9

,0 12 . 4 1, 4? , 70 . 0 2 0 2
} }

正有理数{ 正无理数{

备选例题 下列实数中是无理数的为( A. 0 B. ?3.5 C. 2

㈣总结反思,拓展升华 小结 1、什么叫做无理数? 2、什么叫做有理数? 3、 有理数和数轴上的点一一对应吗? 4、 无理数和数轴上的点一一对应吗? 5、 实数和数轴上的点一一对应吗? ㈤课堂跟踪反馈 1、下列各数中,是无理数的是( A. ?1.732 B. 1.414 ) C. )

3

D. 3.14

2、已知四个命题,正确的有(

⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数 ⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 ) C. a ? 0 ) D. a ? 0

3、若实数 a 满足 A. a ? 0

a ? ?1 ,则( a

B. a ? 0

4、下列说法正确的有( ⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数

-9-

9

⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数 ⑸非负实数中最小的数是 0 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.5 个

5、⑴ 3 ? 2 的相反数是 2 ? 3 ,绝对值是 2 ? 3

第 2 课时
㈠创设情景,导入新课 复习导入:1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3、有理数的混合运算顺序 ㈡合作交流,解读探究 自主探索 独立阅读,自习教材 总结 当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0) 、乘方运算, 而且正数及 0 可以进行开方运算,任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时,有理数的运算法 则及运算性质等同样适用。 讨论 下列各式错在哪里? 1、 ?3 ? 3 ? 9 ?
2

1 ? 9?3 ? 3 ? 9 3

2、

?1 ? 2 ?

2

? 1 ? 2 (判断正负)

3、

5? 6 ? 5? 6

x2 ? 2 ?0 4、当 x ? ? 2 时, x?2

【练一练】计算下列各式的值: ⑴

?
?

3? 2 ? 2

?

⑵3 3 ? 2 3

解:⑴
? 3?

?

3? 2 ? 2
2 ? 2(加法结合律)

?

⑵3 3 ?2 3
? ? 3 ? 2 ? (分配律) 3 ?5 3

?

? 3?0 ? 3

总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的
- 10 10

试一试 计算:

?1?

5 ? ? (精确到 0.01 ? 2 ? 3 · 2 (结果保留 3 个有效数字)

总结 在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近 似有限小数去代替无理数,再进行计算 ㈢应用迁移,巩固提高 例 1 a 为何值时,下列各式有意义?

?1?

a2

? 2?

?a

? 3?

a?2

? 4 ? 3 a ? 1 ? 5?

a ? ?a

? 6? 3

2a ? 1 a

例 2 计算 ⑴求 5 的算术平方根于的平方根之和(保留 3 位有效数字) ⑵

2 ? 5 ? 5 ? 2 (精确到 0.01) 2 ?a
( 2 ? a ?? ) (精确到 0.01)

⑶ a ?? ?

例 3 已知实数 a、b、c 在数轴上的位置如下,化简 a ? b ? a ? b ?

?c ? a ?

2

? 2 c2

c
2

b

O
0

a

?2 ? 2? ? 3? ?2? 例 4 计算 ? ? ? ? 2 ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ?3?

㈣总结反思,拓展升华 总结 1、实数的运算法则及运算律。 2、实数的相反数和绝对值的意义 ㈤课堂跟踪反馈 1、 a、 b 是实数,下列命题正确的是(
2 2 A. a ? b ,则 a ? b



2 2 B. 若 a ? b ,则 a ? b

C. 若 a ? b ,则 a ? b

D. 若 a ? b ,则 a ? b
2

2

2、如果 a ? a2 ? 6a ? 9 ? 3 成立,那么实数 a 的取值范围是( A. a ? 0 B. a ? 3 C. a ? ? 3 D. a ? 3



3、 3 ? 2 的相反数是

2 ? 3 , ? 3 9 的相反数是 3 9
- 11 11

4、当 a ? 17 时,

17 ? a ?

a ? 17 ,
2

?

17 ? a

?

2

?

a ? 17
2

5、已知 a 、 b 、 c 在数轴上如图,化简 a ? a ? b ?

?c ? a?

? b?c

b

a

O

c

6、 10 在两个连续整数 a 和 b 之间,即 a ? 10 ? b ,那么 a 、 b 的值是 3 、4

教后反思:含字母类的去绝对值与 备课扎记

a 2 的公式的理解与应用。

- 12 -

12


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