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高中数学复习专题讲座(第37讲)分类讨论思想doc


题目 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞
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高中数学复习专题讲座新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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分类讨论思想 新疆
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高考要求 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以

分析解决 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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分类讨论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思

想和技巧;同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性,树立分类讨

论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全

体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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重难点归纳新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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分类讨论思想就是依据一定的标准,对问题分类、求解,要特别注意分

类必须满足互斥、无漏、最简的原则新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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分类讨论常见的依据是新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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1

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由概念内涵分类新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与

平面的夹角等定义包含了分类新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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由公式条件分类新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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如等比数列的前 n 项和公式、极限的计算、圆锥

曲线的统一定义中图形的分类等新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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由实际意义分类新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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如排列、组合、概率中较常见,但不明显、有些

应用问题也需分类讨论新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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在学习中也要注意优化策略,有时利用转化策略,如反证法、补集法、

变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
典型题例示范讲解新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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1

已知{an}是首项为

2,公比为

1 2

的等比数列,Sn 为它的前

n

项和 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)用 Sn 表示 Sn+1;

(2)是否存在自然数 c 和 k,使得 Sk?1 ? c Sk ? c

?

2

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命题意图 新疆 源头学子小屋 http://w ww.xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在

性问题的能力新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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知识依托 新疆 源头学子小屋 http://w ww.xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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解决本题依据不等式的分析法转化,放缩、解简单的分式

不等式;数列的基本性质新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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错解分析 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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第 2 问中不等式的等价转化为学生的易错点,不能确定出

3 2 Sk

? 2 ? c ? Sk

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技巧与方法 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题属于探索性题型,是高考试题的热点题型新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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在探讨



2

问的解法时,采取优化结论的策略,并灵活运用分类讨论的思想新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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对双参数

k,c

轮流分类讨论,从而获得答案新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)由

Sn=4(1–

1 2n

),得

S n?1

?

4(1?

1 2n?1

)

?

1 2

Sn

?

2 ,(n∈N*)

(2)要使

S k ?1

?c

?

2

,只要

c

?(3 2

Sk

?

2)

?

0

Sk ? c

c ? Sk

因为 Sk

?

4(1?

1 2k

)?

4

所以 Sk

?(3 2

Sk

? 2)

?

2?

1 2

Sk

?

0 ,(k∈N*)

故只要

3 2

Sk–2<c<Sk,(k∈N*)

因为 Sk+1>Sk,(k∈N*)



所以 3 2

Sk–2≥

3 2

S1–2=1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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Sk<4,故要使①成立,c

只能取

2



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c=2

时,因为

S1=2,所以当

k=1

时,c<Sk

不成立,从而①不成立新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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k≥2

时,因为

3 2

S2

?

2

?

5 2

?

c

,由

Sk<Sk+1(k∈N*)得

3 2

Sk–2<

3 2

Sk+1–2

故当 k≥2 时, 3 2

Sk–2>c,从而①不成立新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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当 c=3 时,因为 S1=2,S2=3,

所以当 k=1,k=2 时,c<Sk

因为

3 2

S3

?

2

?

13 4

?

c

,又

3 2

Sk–2<

3 2

Sk+1–2

所以当 k≥3 时, 3 2

Sk–2>c,从而①成立新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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综上所述,不存在自然数 c,k,使 Sk?1 ? c Sk ? c

?

2

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2

给出定点

A(a,0)(a>0)和直线

l 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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x=–1,B 是直线 l 上的动点,

∠BOA

的角平分线交

AB

于点

C 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的

曲线类型与

a

值的关系 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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命题意图 新疆 源头学子小屋 http://w ww.xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题考查动点的轨迹,直线与圆锥曲线的基本知识,分类

讨论的思想方法 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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综合性较强,解法较多,考查推理能力和综合运用解析

几何知识解题的能力新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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知识依托 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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求动点轨迹的基本方法步骤新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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椭圆、双曲线、抛物线标准

方程的基本特点新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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错解分析 新疆 源头学子小屋 http://w ww.xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件,构建动点坐标

应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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技巧与方法 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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精心思考,发散思维、多途径、多角度的由题设条件出

发,探寻动点应满足的关系式新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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巧妙地利用角平分线的性质新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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解法一 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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依题意,记 B(–1,b),(b∈R),则直线 OA 和 OB 的方程

分别为

y=0



y=–bx新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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设点 C(x,y),则有 0≤x<a,由 OC 平分∠AOB,知点 C 到 OA、OB 距

离相等 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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根据点到直线的距离公式得|y|= | y ? bx |



1? b2

依题设,点 C 在直线 AB 上,故有

y ? ? b (x ? a) 1? a

由 x–a≠0,得 b ? ? (1? a) y



x?a

将②式代入①式,得 y2[(1–a)x2–2ax+(1+a)y2]=0

若 y≠0,则 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)

若 y=0 则 b=0,∠AOB=π

,点

C

的坐标为(0,0)满足上式新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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综上,得点 C 的轨迹方程为

(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a )

(i)当 a=1 时,轨迹方程化为 y2=x(0≤x<1 )



此时方程③表示抛物线弧段;

(ii)当 a≠1,轨迹方程化为

(x ? a )2 1?a ?
( a )2

y2 a2

? 1(0 ? x ? a)



1? a

1? a2

所以当 0<a<1 时,方程④表示椭圆弧段;



a>1

时,方程④表示双曲线一支的弧段新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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解法二 如图, 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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D



l



x

轴的交点,过点

C



CE⊥x

轴,E

是垂足新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(i)当|BD|≠0 时,

设点 C(x,y),则 0<x<a,y≠0

由 CE∥BD,得| BD |? | CE | ? | DA | | EA |

?

| a

y| ?x

(1 ?

a)

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∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π –∠COA–∠BOD

∴2∠COA=π –∠BOD



tan(2?COA)

?

1

2 ?

tan COA tan2 COA

y

tan(? ? ?BOD) ? ? tan BOD

B

∵ tanCOA ? | y |

C

x

tan BOD ? | BD | ? | y | (1? a) | OD | a ? x

Do E

2?| y| ∴ x ??

| y|

(1? a) 整理,得

1?

y x2

a?x

(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)

(ii)当|BD|=0 时,∠BOA=π

,则点

C

的坐标为(0,0),满足上式新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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综合(i)、(ii),得点 C 的轨迹方程为

(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)

以下同解法一新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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解法三 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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设 C(x,y)、B(–1,b),

则 BO 的方程为 y=–bx,直线 AB 的方程为 y ? ? b (x ? a) 1? a
∵当 b≠0 时,OC 平分∠AOB,设∠AOC=θ ,

∴直线 OC 的斜率为 k=tanθ ,OC 的方程为 y=kx 于是

tan 2?

?

1

2 ?

tan? tan2 ?

?

1

2k ?k

2

又 tan2θ =–b

∴–b=

1

2k ?k

2



∵C 点在 AB 上

∴ kx ? ? b (x ? a)



1? a

由①、②消去

b,得

(1?

a)kx

?

2k 1? k

2

(x

?

a)



Ax

又 k ? y ,代入③,有 x

(1 ?

a) ?

y x

?

2? y

x 1?

x y2
x2

(x

? a)

整理,得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0





b=0

时,即

B

点在

x

轴上时,C(0,0)满足上式新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(x ? a )2 a≠1 时,④式变为 1? a ?
( a )2

y2 a2

?1

1? a

1? a2

当 0<a<1 时,④表示椭圆弧段;

当 a>1 时,④表示双曲线一支的弧段;



a=1

时,④表示抛物线弧段新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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例 3 若函数 f (x) ? 1 (a ?1)x3 ? 1 ax2 ? 1 x ? 1 在其定义域内有极值

3

2 45

点,则 a 的取值为

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即 f(x)=(a–1)x2+ax– 1 4

=0

有解 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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a–1=0

时,满足新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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当 a–1≠0 时,只需Δ

=a2–(a–1)>0新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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答案 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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? 2 ? 5 ? a ? ? 2 ? 5 或 a=1

2

2



4

设函数

f(x)=x2+|x–a|+1,x∈R新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)判断函数 f(x)的奇偶性;

(2)求函数

f(x)的最小值新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)当 a=0 时,函数 f(–x)=(–x)2+|–x|+1=f(x),

此时

f(x)为偶函数新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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a≠0

时,f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2|a|+1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

此时函数

f(x)既不是奇函数,也不是偶函数新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2–x+a+1=(x– 1 )2+a+ 3 24

若 a≤ 1 2

,则函数

f(x)在(–∞,a]上单调递减新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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从而函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f(a)=a2+1

若 a> 1 ,则函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f( 1 )= 3 +a,

2

24

且 f( 1 2

)≤f(a)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x–a+1=(x+ 1 )2–a+ 3

2

4

若 a≤– 1 ,则函数 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(– 1 )= 3 –a,

2

24

且 f(– 1 )≤f(a); 2

若 a>– 1 2

,则函数

f(x)在[a,+∞)单调递增新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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从而函数

f(x)在[a,+∞]上的最小值为

f(a)=a2+1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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综上,当 a≤– 1 时,函数 f(x)的最小值为 3 –a;

2

4

当– 1 <a≤ 1 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1;

2

2

当 a> 1

时,函数 f(x)的最小值是 a+ 3

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2

4

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已知

lim
n??

2n 2n

? ?

an an

? 1其中 a∈R,则 a 的取值范围是(

)

A 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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a<0

B

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a<2 或 a≠–2

C 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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–2<a<2

D

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a<–2 或 a>2

2

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四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,

不同的取法共有( )

A 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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B 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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147 种

C 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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D 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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141 种

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已知线段 AB 在平面α 外,A、B 两点到平面α 的距离分别为 1 和 3,

则线段 AB 的中点到平面α 的距离为

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已知集合 A={x|x2–3x+2=0},B={x|x2–ax+(a–1)=0},C={x|x2–

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mx+2=0},且 A∪B=A,A∩C=C,则 a 的值为 ,m 的取值范围为

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已知集合 A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},A,B 同时满足新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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①A∩B≠

?

,②A∩B={–2}新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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p、q

的值 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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已知直角坐标平面上点

Q(2,0)和圆

C 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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x2+y2=1,动点 M 到圆 C

的切线长与|MQ|的比等于常数λ



>0)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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求动点 M 的轨迹方程,并说

明它表示什么曲线新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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已知函数

y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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当 n≤y≤

n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为 bn 的线段(其中正常数 b≠1),设数列

{xn}由

f(xn)=n(n=1,2,…)定义新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)求 x1、x2 和 xn 的表达式;

(2)计算 lim xn; n??

(3)求

f(x)的表达式,并写出其定义域新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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已知 a>0 时,函数 f(x)=ax–bx2

(1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤2b;

(2)当

b>1

时,证明新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是

b–1≤a≤2 b ;

(3)当

0<b≤1

时,讨论新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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对任意

x∈[0,1],|f(x)|≤1

的充要条件新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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C



a=2、|a|>2

和|a|<2

三种情况分别验证新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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任取

4

个点共

C

4 10

=210

种取法新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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四点共面的有三类新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(1)每个面上有

6

个点,则有

4×C

4 6

=60

种取共面的取法;(2)相比

较的

4

个中点共

3

种;(3)一条棱上的

3

点与对棱的中点共

6

种 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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C

3

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分线段

AB

两端点在平面同侧和异侧两种情况解决新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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1或2

4

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A={1,2},B={x|(x–1)(x–1+a)=0},

由 A∪B=A 可得 1–a=1 或 1–a=2;



A∩C=C,可知

C={1}或 ?

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2或3

3 或(–2 2 ,2 2 )

5

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解 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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x0∈A,x0 是

x02+px0+q=0

的根 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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x0=0,则

A={–2,0},从而

p=2,q=0,B={–

1 2

} 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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此时

A∩B= ? 与已知矛盾,故

x0≠0新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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将方程 x02+px0+q=0 两边除以 x02,得

q( 1 )2 x0

?

p( 1 x0

) ?1 ?

0

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即1 x0

满足 B 中的方程,故 1 x0

∈B 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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∵A∩ B

={–2},则–2∈A,且–2∈ B

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A={–2,x0},则

B={

?

1 2

,

1 x0

},且

x0≠2(否则

A∩B= ?

) 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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x0=–

1 2

,则

1 x0

–2∈B,与–2?B

矛盾 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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又由

A∩B≠

?

,∴x0=

1 x0

,即

x0=±1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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A={–2,1}或

A={–2,–1}新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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故方程 x2+px+q=0 有两个不相等的实数根–2,1 或–2,–1



?p ??q

? ?(?2 ?1) ? (?2)?1 ?

??21或???qp

? ?

?(?2 (?2) ?

?1) ? 3 (?1) ? 2

6

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解 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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如图,设 MN 切圆 C 于 N,则动点 M 组成的集合是 P={M||

MN|=λ

|MQ|,λ

>0}新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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∵ON⊥MN,|ON|=1,

∴|MN|2=|MO|2–|ON|2=|MO|2–1 设动点 M 的坐标为(x,y),

y

M

N

则 x2 ? y2 ?1 ? ? (x ? 2)2 ? y2

即(x2–1)(x2+y2)–4λ

2x+(4λ

2+1)=0新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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o

Qx

经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,

故方程为所求的轨迹方程新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)当λ =1 时,方程为 x= 5 ,它是垂直于 x 轴且与 x 轴相交于点( 5 ,

4

4

0)的直线;

(2)当λ

≠1

时,方程化为 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(x ? 2?2 )2 ? y 2 ? 1? 3?2

?2 ?1

(?2 ?1)2

它是以

(

2?2 ?2 ?

1

,0)

为圆心,

1? 3?2 | ?2 ?1|

为半径的圆 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)依题意 f(0)=0,又由 f(x1)=1,当 0≤y≤1,函数 y=f(x)的

图象是斜率为 b0=1 的线段,

故由 f (x1) ? f (0) ? 1 x1 ? 0
∴x1=1 又由 f(x2)=2,当 1≤y≤2 时,函数 y=f(x)的图象是斜率为 b 的线段,
故由 f (x2 ) ? f (x1) ? b x2 ? x1



x2–x1=

1 b

∴x2=1+

1 b

记 x0=0,由函数 y=f(x)图象中第 n 段线段的斜率为 bn–1,

故得 f (xn ) ? f (xn?1 ) ? bn?1 xn ? xn?1

又由 f(xn)=n,f(xn–1)=n–1

∴xn–xn–1=(

1 b

)n–1,n=1,2,……

由此知数列{xn–xn–1}为等比数列,其首项为 1,公比为 1

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b

n

? 因 b≠1,得 xn ?

(xk–xk–1)

k ?1

1
=1+
b

+…+

1 b n?1

?

b ? (1 )n?1 b
b ?1

b ? (1)n?1

即 xn=

b b ?1

(2)由(1)知,当

b>1

时,

lim
n ??

xn

?

b ? (1)n?1 lim b n?? b ?1

?

b b ?1



0<b<1,n→∞,

xn

也趋于无穷大新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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l i mxn
n??

不存在新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(3)由(1)知,当 0≤y≤1 时,y=x,即当 0≤x≤1 时,f(x)=x;

当 n≤y≤n+1,即 xn≤x≤xn+1 由(1)可知 f(x)=n+bn(x–xn)(n=1,2,…),由(2)知

当 b>1 时,y=f(x)的定义域为[0, b ); b ?1



0<b<1

时,y=f(x)的定义域为[0,+∞)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)证明新疆 源头学子小屋 http://www .xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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依设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1

∵ f (x) ? ?b(x ? a )2 ? a2 2b 4b

∴ f ( a ) ? a2 ≤1 2b 4b
∵a>0,b>0

∴a≤2

b

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(2)证明新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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必要性 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 ?–1≤f(x),据此可以推出–1≤f(1)

即 a–b≥–1,∴a≥b–1

对任意

x∈[0,1],|f(x)|≤1 ?f(x)≤1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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因为 b>1,可以推出 f( 1 )≤1 即 a· 1 –1≤1,

b

b

∴a≤2 b ,∴b–1≤a≤2 b

充分性 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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因为

b>1,a≥b–1,对任意

x∈[0,1]新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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可以推出 ax–bx2≥b(x–x2)–x≥–x≥–1

即 ax–bx2≥–1

因为 b>1,a≤2 b ,对任意 x∈[0,1],可以推出 ax–bx2≤2 b x–bx2
≤1 即 ax–bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1 综上,当 b>1 时,

对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b–1≤a≤2

b

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∵a>0,0<b≤1

∴x∈[0,1],f(x)=ax–bx2≥–b≥–1

即 f(x)≥–1

f(x)≤1 ?f(1)≤1 ?a–b≤1

即 a≤b+1

a≤b+1 ?f(x)≤(b+1)x–bx2≤1

即 f(x)≤1

所以当 a>0,0<b≤1 时,

对任意

x∈[0,1],|f(x)|≤1

的充要条件是

a≤b+1 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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课前后备注新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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