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2016年西城区高三数学查漏补缺试题带答案


北京市西城区 2016 年高三数学查缺补漏
2016.5 1. 若非零平面向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b | ,则( (A) | a |?| b | (C) a //b )

(B) a = b (D) a ? b 答案:D.

2. 如果

2?i ? x ? yi( x, y ? R ) ,其中 i 是虚数单位,那么 x ? y ? ( 1 ? 2i 1 3 (A) (B) 5 5 4 3 (C) (D) ? 5 5



答案:A 3. 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且 f (1) ? ?2 ,那么 f (?1) ? f (0) ? ( (A)-2 (C)1 (B)0 (D)2 答案:D. 4. 设点 F1 ,F2 为双曲线 C: x2 ? 是( (A)1 (C) 2 或 ?2 ) (B)2 (D)与 b 的取值有关 答案:C. 5. 设 abcd ? 0 ,则“ a, b, c, d 成等比数列”是“ ad = bc ”的( (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案:A. ) )

???? ???? y2 P C 的左、右焦点,若 为 上任意一点,则 | PF | ? | PF2 | 的值 ? 1( b ? 0) 1 b2

6. 已知函数 f ( x) ? x sin x ,记 m ? f (? ) , n ? f ( ) ,则下列关系正确的是( (A) m ? 0 ? n (C) 0 ? m ? n (B) 0 ? n ? m (D) n ? m ? 0

1 3

1 4



答案:B. 7. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 M 为线段 D1 B1 上的动点,点 N 为线段 AC 上的动点,则与线段

DB1 相交且互相平分的线段 MN 有(
(A)0 条 (C)2 条 (B)1 条 (D)3 条



D1 A1

M
B1

C1

D
N

C

A

B
答案:B.

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,设到某个整点 个数为 k,其中整点是指横、纵坐标都 ..P 的距离都是 d 的整点 .. 是整数的点,记 k 的值域为 {0, k1, k2 , k3 ,L } ,其中 0 < k1 < k2 < k3 < L ,则 k3 = ( (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 )

答案:D. 9. 如图,在 ? ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 BD=2DC, 若 AD ? ? AB ? ? AC ,则

????

??? ?

??? ?

? ? ____. ?

A

B

D

C 答案:

1 . 2

10. (理)在极坐标系中,曲线 C1 : ? ? 2cos? ,则曲线 C1 的普通方程为_____;若曲线 C2 : 2? cos ? ? 1 与 曲线 C1 相交于 A,B 两点,则 | AB |? _____. 答案: x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 , 3 . 11. 在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , ?A ? 60? ,则 BC ? _____;如果 AD ? BC 于点 D,那么 AD ? _____.

答案: 7 ,

3 21 . 7

? x 2 ? x, x ≥ 0, 12. 已知函数 f ( x ) ? ? 则 f (?3) ? _____;函数 f ( x) 在区间 [?10,10] 上的零点个数为 _____个. f ( x ? 2), x ? 0, ?

答案:0,12. 13. 如图,直线 l 经过原点 O,且与曲线 y = ex- 1 相交于不同的两点 A, B ,分别过 A, B 作 y 轴的平行线,与曲 线 y = ln x 相交于点 C , D ,则直线 CD 的斜率为______. y B A D O C x l

答案:1. 14. (文)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; (3)如果超过 500 元,其 500 元内的部分按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠. 某人两次去购物,分别付款 170 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品, 则应付款是元. 答案:548. 15. 已知函数 f ( x ) ?

cos 2 x sin( x ?

?
4

)

.

(Ⅰ)如果 f (? ) ?

4 ,试求 sin 2? 的值; 3

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 答案: (Ⅰ)

1 3 7 π 3 ; (Ⅱ)增区间 (2kπ+ π, 2kπ ? π) ,减区间 (2kπ ? , 2kπ ? π) . 4 4 4 4 9

16. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 4an ? 3Sn ? 2 ,其中 n ? N? . (Ⅰ)求证:数列 {an } 为等比数列; (Ⅱ)设 bn ? an ? 4n ,求 bn 的最小值.
1 2

答案: (Ⅰ)略; (Ⅱ)最小值为 b2 ? ?4 .

17. (文)以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况.乙队记录中有一个数字模 糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 m 表示. (Ⅰ)若甲、乙两队 3 次比赛得分的平均值相同,求 m 的值; (Ⅱ)求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率; (Ⅲ)若在 3 次比赛中,甲队得分的方差比乙队 得分的方差小,写出 m 的可能取值. (结论不要求证明) 甲队 8 3 2 8 9 0 2 m 乙队

1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数) n 4 答案: (Ⅰ) m ? 1 ; (Ⅱ) P( A) ? (Ⅲ)6,7,8,9. 5

18. (理)以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况.乙队记录中有一个数字模 糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 m 表示. (Ⅰ)在 3 次比赛中,求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率; (Ⅱ)当 m ? 5 时,分别从甲、乙两队的 3 次比赛中各随机选取 1 次, 记这 2 个比赛得分之差的绝对 值为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. (Ⅲ)若在 3 次比赛中,甲队得分的方差比乙队得分 的方差小,写出 m 的可能取值. (结论不要求证明) 3 甲队 8 2 8 9 0 2 m 乙队

1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数) n 8 4 答案: (Ⅰ) P( A) ? ; (Ⅱ)分布列略, E ( X ) ? ; (Ⅲ)6,7,8,9. 3 5

19. 如图, ?BCD 与 ?MCD 都是正三角形,平面 MCD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 ABM ; (Ⅱ)若 ?ACB ? 60? ,求三棱锥 A ? BCD 与三棱锥 M ? ACD 的体积比.

(Ⅲ) (理)若 AB ? 2 3 , CD ? 2 ,求直线 DM 与平面 ACM 所成角的正弦值. A

M B D

C 答案: (Ⅰ)略; (Ⅱ)2; (Ⅲ) 20. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x ( a ? R ). (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果方程 f ( x) ? 0 总有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围. 答案: 3x ? y ? 2 ? 0 , (2e,+?) .

15 . 5

21. 设函数 f ( x) ?

x ,其中 a ? R . x ?a
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 上有且仅有三条斜率为 k 的切线,求 a 与 k 所满足的关系. (Ⅲ)当 a ? 0 时,写出曲线 y ? f ( x) 上斜率为 k 的切线条数的所有可能值. (只需写出结论)
1 1 答案: (Ⅰ) f ( x) 有极小值 f (?1) ? ? ;极大值 f (1) ? . 2 2

(Ⅱ) a ? 0 ,且 ak ? ?1 .

(Ⅲ)0,2,3,4.

22. 设 F 为椭圆 W: ?

x2 8

y2 过 F 的直线 l 与 W 相交于 M , N 两点, 线段 MF 与 y 轴相交于 C 点, ? 1 的右焦点, 4

B 为椭圆的上顶点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若 C 为线段 OB 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)记 ?OCM , ?OFC, ?ONF 的面积分别为 S1 , S2 , S3 ,直线 l 的斜率为 k ,若 S1 ? S3 ≥ S2 ,求 k 2 的

范围. 答案: (Ⅰ) y ? ?

1 x ? 1 (Ⅱ) (0, 5 ? 1] .. 2 4

23. 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 为 2. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

x2 且双曲线的离心率 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一个顶点重合, a2

(Ⅱ)设 P(1, m)(m ? 0), Q 为抛物线 C 的上两个不关于 x 轴对称的点,判断在 x 轴上是否存在点 R ,使 得 ?PQR 是以 R 为直角顶点的等腰直角三角形? 若存在,求出点 R 的坐标;若不存在,说明理由。 答案: (1) y 2 ? 4 x ; (2)存在, R(7,0) .


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