阶 段 一 阶 段 三 3.1 3.1.1 阶 段 二 导数的概念 平均变化率 学 业 分 层 测 评 1.理解并会求具体函数的平均变化率.(重点) 2.会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义.(难点) [基础· 初探] 教材整理 平均变化率 阅读教材 P67～P68 例 1 以上部分，完成下列问题. 平均变化率 1.定义： f?x2?－f?x1? x2－x1 . 一般地，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为 2.实质： 函数值 3.意义： 的改变量与 自变量 的改变量之比. 刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的 快慢 . 1.判断正误： (1)f(x)＝x2，f(x)在[－1,1]上的平均变化率为 0.( ) (2)f(x)＝x2 在[－1,0]上的平均变化率小于其在[0,1]上的平均变化率，所以 f(x) 在[－1,0]上不如在[0,1]上变化的快.( ) ) (3)平均变化率不能反映函数值变化的快慢.( f?1?－f?－1? 1－1 【解析】 (1)√.f(x)在[－1,1]上的平均变化率为 ＝ 2 ＝0. 1－?－1? (2)×.f(x)＝x2 在[－1,0]和[0,1]上的变化快慢是相同的. (3)×.平均变化率能反映函数值变化的快慢. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 1 2.f(x)＝x在[1,2]上的平均变化率为________. 1 2－1 1 【解析】 函数 f(x)在[1,2]上的平均变化率为 ＝－2. 2－1 1 【答案】 －2 [质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ [小组合作型] 变化率的概念及意义的应用 2012 年冬至 2013 年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某 市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图 311 所示，据图回答： 图 311 (1)2012 年 11 月到 2012 年 12 月期间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？ (3)从 2012.11 到 2013.2 与从 2013.1 到 2013.2 间，小麦受旱面积平均变化率哪 个大？ 【精彩点拨】 (1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分 析. 【自主解答】 (1)由图形可知，在 2012 年 11 月～2012 年 12 月期间，小麦受 旱面积变化不大. (2)由图形可知，在 2013.1～2013.2 间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增 加最快. y B －y A (3)从 2012.11～2013.2， 小麦受旱面积平均变化率为 4 ， 从 2013.1～2013.2， yB－yC yB－yA 小麦受旱面积平均变化率为 1 ＝yB－yC， 显然 yB－yC＞ 4 ， 所以， 从 2013.1～ 2013.2 期间小麦受旱面积平均变化率大. 1.若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢. 2.利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分 析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义. [再练一题] 1.物体从某一时刻开始运动，设 s 表示此物体经过时间 t 走过的路程，显然 s 是时间 t 的函数，表示为 s＝s(t). 在运动的过程中测得了一些数据，如下表. t/s 0 2 5 10 13 15 ? s/m 0 6 9 20 32 44 ? 物体在 0～2 s 和 10～13 s 这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物 体运动的快慢？ 【解】 应该用物体运动的平均速度刻画物体运动的快慢. 6－0 在 0～2 s 这段时间内，物体的平均速度为： ＝3(m/s)； 2－0 32－20 在 10～13 s 这段时间内，物体的平均速度为： ＝4(m/s). 13－10 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. 求函数的平均变化率 1 已知函数 f(x)＝x2， (1)求 f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率.(x0≠0)； (2)求 f(x)在 2 到 2.1 之间的平均变化率. 【导学号：24830062】 【精彩点拨】 (1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“x0≠0”的 条件.在一些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论.因此，本例 只需直接套用公式就可以了； (2)利用(1)的结论计算. f?x0＋Δx?－f?x0? 【自主解答】 (1)f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 ＝ ?x0＋Δx?－x 1 1 －Δx?2x0＋Δx? － 2 2 ?x0＋Δx?2 x0 ?x0＋Δx?2x0 2x0＋Δx ＝ ＝－ . Δx Δx ?x0＋Δx?2x2 0 2×2＋0.1 (2)把 x0＝2，Δx＝2.1－2＝0.1 代入(1)中得到的结论可得：－ 2 2＝－ ?2＋