江苏省南通中学 2013-2014 学年度暑假作业 高二数学 01 数学 I
一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填入的相应答题线上． ） 1． 设全集 U=R， 集合 A= x | x 2 ? 2 x ? 0 , B ? ?x | x ? 1? ， 则集合 A ? UB ? 2．已知 i 是虚数单位，则
?
?
．
{x | 0 ? x ? 1}
1 ? 2i 等于 2?i
． ?i
3．某中学高中一年级有 400 人，高中二年级有 320 人，高中三年级有 280 人，现从中抽取一个容 量为 200 人的样本，则高中二年级被抽取的人数为 ．64 4．右边的程序语句运行后，输出的 S 为 ．17 5．在△ ABC 中，∠ A=45o，∠ C=105o，BC= 2 ，则 AC 的长度为 6． 已知向量 a= （-2， 2） ， b= （5， k） ． 若|la+b|不超过 5， 则 k 的取值范围是 ．1 ．
[? 6 , 2 ]
7．已知 P：|x－a|＜4；q： （x－2） （3－x）>0，若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围 为 ． [?1, 6]
?x ? 0 ? 8．已知变量 x，y 满足约束条件 ? y ? 0 ，表示平面区域 M，若-4≤a≤t 时，动直线 x+y=a 所经过 ?y ? x ? 4 ?
的平面区域 M 的面积为 7．则 t=
2 2
．2
9．已知圆 Cl： ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 1 ，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－l =0 对称，则圆 C2 的方程 为 ． ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2
10．等差数列{an}的公差为-2，且 a1，a3，a4 成等比数列，则 a20=__ 11．如图，过抛物线 y2=2px（p>0）的焦点 F 的直线 L 交抛物线于点 A、B，交 其 准 线 于 点 C ， 若 |BC|=2|BF| ， 且 |AF|=3 ， 则 此 抛 物 线 的 方 程 为 ． y ? 3x
2
． ?30
12 ．设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ．若 f ( x) ? f ? ( x) 是奇函数，则
??
．
? 6
13．定义一个对应法则 f：P（rn，n）→ p? （m，2|n|） ．现有直角坐标平面内的点 A（-2，6）与点 B（6，-2） ，点 M 是线段 AB 上的动点，按定义的对应法则 f：M→M'．当点 M 在线段 AB 上 从点 A 开始运动到点 B 时，点 M 的对应点 M'经过的路线的长度为 ．8 5
14．已知关于 x 的函数 y=
(1 ? t) x ? t 2 （f∈ R）的定义域为 D，存在区间[a，b] ? D，f（x）的值域 x
．
也是[a，b]．当 t 变化时，b－a 的最大值=
2 3 3
二、解答题： （本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ） 15． （本小题满分 14 分） 已知向量 m ? (sin x, ?1) ，向量 n ? ( 3 cos x, ) ，函数 f ( x) ? (m ? n) · m。 （Ⅰ ）求 f（x）的最小正周期 T; （Ⅱ ）若不等式 f（x）－t=0 在 x ? [
1 2
? ?
, ] 上有解，求实数 t 的取值范围． 4 2
16．已知 lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求 xy 的最小值； (2)求 x＋y 的最小值． x＞0， ? ? 解 由 lg(3x)＋lg y＝l g(x＋y＋1)，得?y＞0， ? ?3xy＝x＋y＋1. (1)∵x＞0，y＞0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2 xy＋1. ∴3xy－2 xy－1≥0. 即 3( xy)2－2 xy－1≥0. ∴(3 xy＋1)( xy－1)≥0. ∴ xy≥1.∴xy≥1.
当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立． ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x＞0，y＞0，
?x＋y?2. ∴x＋y＋1＝3xy≤3· ? 2 ?
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0 . ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0. ∴x＋y≥2. 当且仅当 x＝y＝1 时取等号，[来源 ∴x＋y 的最小值为 2. 17． （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥 P－ABCD 中， PD⊥ 底面 ABCD， AD⊥ AB， CD∥ AB， AB ? 2 AD ? 2 ， CD ? 3 ， 直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60° ，点 M、N 分别是 PA，PB 的中点． （1）求证：MN∥ 平面 PCD； （2）求证：四边形 MNCD 是直角梯形； （3）求证： DN ? 平面 PCB ． 17．证明： （1）因为点 M，N 分别是 PA，PB 的中点，所以 MN∥ AB．…………………2 分 因为 CD∥ AB，所以 MN∥ CD． 又 CD ? 平面 PCD， MN ? 平面 PCD，所以 MN∥ 平面 PCD. ……4 分 （2）因为 AD⊥ AB，CD∥ AB，所以 CD⊥AD， 又因为 PD⊥ 底面 ABCD， CD ? 平面 ABCD， 所以 CD⊥PD，又 AD
PD ? D ，所以 CD⊥平面 PAD．……………6 分
因为 MD ? 平面 PAD，所以 CD⊥MD， 所以四边形 MNCD 是直角梯形．……………………………………8 分 （3）因为 PD⊥ 底面 ABCD，所以∠PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角，从而∠PAD=
60 ．
…………………………9 分
在 Rt △ PDA 中， AD ? 2 ， PD ? 6 ， PA ? 2 2 ， MD ? 2 ． 在 直 角 梯 形 MNCD 中 ，
MN ? 1
，
ND ? 3
，
CD ? 3
，
CN ? MD 2 ? (CD ? MN ) 2 ? 6 ，
从而 DN 2 ? CN 2 ? CD 2 ，所以 DN⊥CN．
…………………………11 分
在 Rt △ PDB 中，PD= DB= 6 ， N 是 PB 的中点，则 DN⊥PB．……13 分 又因为 PB
CN ? N ，所以 DN ? 平面 PCB ．
…………………14 分
18.（本小题满分 16 分） 一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就先从别 处抓 2 块糖加入盒中，然后把盒内糖果的
1 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 块糖加入盒中， 2
1 然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓 2 块 3
糖放入盒中，然后把盒内糖果的
1 分给第 n( n ? 1,2,3, n ?1
k ) 个小朋友．如果设分给第 n 个小
朋友后（未加入 2 块糖果前）盒内剩下的糖果数为 an . （1）当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; （2）请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; （3） 是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请求 出所有的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由.
1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2 1 1 a2 ? ?a1 ? 2 ? ? ?a1 ? 2 ? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2 ? ? ?a2 ? 2 ? ? 6 .……3 分 3 4 1 （2）由题意知： an ? ?an ?1 ? 2 ? ? ?an ?1 ? 2? ? n ?an ?1 ? 2? ,……6 分 n ?1 n ?1
解： （1）当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2 ? ? 即 ?n ? 1?an ? n?an ?1 ? 2 ? ? nan ?1 ? 2n , ? bn ? ( n ? 1)an ,? bn ? bn ?1 ? 2n, ……7 分
? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?
?2 ? 2n ? n ? n?n ? 1? ,……9 分
2
又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0 .……10 分
（3）由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ，得 an ? n ?
a0 ,……12 分 n ?1
若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,
则 a1 ? a3 ? 2a2 ,……14 分
即 (1 ? a0 ) ? 3 ?
1 2
a0 ? a ? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 ,……15 分 4 3? ?
当 a0 ? 0 时， an ? n ，对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列. ……16 分 [注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力； 考查阅读理解能力、 建模能力、 应用数学解决问题能力． 本题还可以设计： 如果班上有 5 名小朋友， 每个小朋友都分到糖果，求 a0 的最小值. 19.（本小题满分 16 分） 已知椭圆 O 的中心在原点，长轴在 x 轴上，右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准线的距 离之比为
3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点． 2 2
（1）求椭圆的标准方程； （2）证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值； （3）过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C，动圆 C 过不同于 A 的定点，请求出该定点坐标. 19.解： （1）设椭圆的标准方程为
3 x2 y2 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b
? 椭圆的标准方程为
? c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
（2）证明：设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?
x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4
1 1 x ? m 带入椭圆，化简得： x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,……6 分 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ,
? x1 ? x2 ? ?2m,
?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2 2 （3）(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为（ ?
D 2
,?
E 2
）,
PQ 中点 M( ? m, 圆心（ ?
m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ……8 分 2 2
E 3 D E 3 2 ,……9 分 ,? ）满足 y ? ?2 x ? m ，所以 ? ? D? m○ 2 2 2 2 2
圆过定点(2,0)，所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○ 3 ,……10 分 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ?
? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0,
2 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,
两式相加得：
x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x1 ? x2 ? (1 ?
2 2
x1 4
2
) ? (1 ?
x2 4
2
) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分
y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?
4 .……12 分 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○
1 2
x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以 m ? ?1 ，
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ? ? m ? , ……13 分 2 2
由○ 2 ○ 3 ○ 4 解得: D ?
3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得： ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为： x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 x ? y 2 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2 所以： ? ……15 分 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2
3( m ? 1)
? x ? 0, ? x ? 2, 解得： ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0
所以圆过定点(0,1).……16 分
2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?
1 x ? m 代入的圆的方程: 2
5 2 ? E? 5 .……8 分 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○ 4 2? ?
1 2m 2( m 2 ? 1) , ……11 分 ? ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2 圆过定点(2,0)，所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , ……12 分
方程○ 1 与方程○ 5 为同解方程. 因为动直线 y ? 解得: D ?
1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以 m ? ?1 . 2
3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? ,……13 分 (以下相同) 4 2 2 2 2 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考 查运算求解能力和推理论证能力.
20． （本小题满分 16 分） 已知函数 f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中 a>0，b>0． （Ⅰ ）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点 P（2，c）处有相同的切线（P 为切点） ， 求 a，b 的值； （Ⅱ ）令 h（x）=f（x）+g（x） ，若函数 h（x）的单调递减区间为[ ? （1）函数 h（x）在区间（一∞，-1]上的最大值 M（a） ； （2）若|h（x）|≤3，在 x∈ [-2，0]上恒成立，求 a 的取值范围。
a b ,? ]，求： 2 3
数学Ⅱ
21．(1) 选修 4－2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知， 点 A 在变换 T： ? ? ? ? ?? ? ?
? x? ? y?
? x? ? ?y ?
?x ? 2 y? 作用后， 再绕原点逆时针旋转 90o， 得到点、 B． 若 ? y ? ?
点 B 的坐标为（-3，4） ，求点 A 的坐标．
(2) 选修 4－4:坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 已知在极坐标系下，圆 C：p= 2cos（ ? ?
?
2
）与直线 l： ? sin（ ? ?
?
4
）= 2 ，点 M 为圆 C
上的动点．求点 M 到直线 l 距离的最大值．
22． （本小题满分 10 分） 某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数 分钟，经统计以往 100 位顾客办理业务所需的时间（t） ，结果如下：
类别 顾客数（人） 时间 t（分钟／人）
A类 20 2
B类 30 3
C类 40 4
D类 10 6
注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率． （Ⅰ ）求银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务的概率； （Ⅱ ）用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望．
23． （本小题满分 10 分） 已知函数 f（x）=
1 2 x +1nx． 2
n n n ?
（Ⅰ ）求函数 f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值； （Ⅱ ）设 g（x）=f（x） ，求证： [ g ( x)] ? g ( x ) ? 2 ? 2(n ? N ) ．