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高二数学《圆锥曲线》单元测试题及答案


高二数学《圆锥曲线》单元测试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 6 1.下列曲线中离心率为 的是( ) 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A B C D ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 2 4 4 2 4 6 4 10 x2 y2 ? ? 1 的长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 的值为( 2.椭圆 10 ? m m ? 2
A.4 B.5 C.7 D.8 )

)

3. 设焦点在 x 轴上的双曲线的虚轴长为 2, 焦距为 2 3 , 则该双曲线的渐近线方程是 ( A

y ? ? 2x

B

y ? ?2 x

C

y??

2 x 2

D

y??

1 x 2

1 y 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( ) 4 17 15 7 A. B. C. 0 D. 16 8 16 2 2 x y ? ? 1 的左、 5. 已知 F1 、F2 分别为椭圆 右焦点, 椭圆的弦 DE 过焦点 F1 , 若直线 DE 16 9 的倾斜角为 ? (a ? 0) ,则 ?DEF2 的周长为( )
2 4.抛物线 x ?

A.64 6.若双曲线 值等于( A. 4

B.20

C.16

D.随 ? 变化而变化

x2 y 2 ? 2 ? 1(b>0)的一条准线恰好为圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 的一条切线,则 b 的 16 b
) C. 2 3 D. 4 3

B. 8

7.已知 P 是椭圆

PF1 ? PF2 1 x2 y2 ? , ? ? 1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 | PF1 | ? | PF2 | 2 25 9

则△F1PF2 的面积为( A.3 3

) B.2 3 C. 3 D. 3 3

8. 如图, 直线 MN 与双曲线 C:

x2 y2 = 1 的左右两支分别交于 M、 N 两点, 2 - a b2 (λ ∈R),

与双曲线 C 的右准线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又= λ 则实数λ 的取值为( ) 1 1 A. B. 1 C.2 D. 2 3 9.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准 a 2 b2
) D. [ 2 ? 1, ??) B. (1, 2 ? 1] C. [ 2, ??)

线的距离相等,则双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, 2]

1

y2 10.如图,圆 F: ( x ? 1) ? y ? 1和抛物线 x ? 4
2 2

,过 F 的直线与抛

物线和圆依次交于 A、B、C、D 四点,求 A 1 B
2

AB ? CD 的值是

( )

2
2

C

3

D

无法确定

11. 椭圆 是(

x y ? ? 1 的准线平行于向量 n ? (m,0) ,则 m 的取值范围 2 m (m ? 1)2
B. m ?



A. m ?

1 2

1 2

C. m ?

1 且m ? 0 2

D. m ?

1 且m ? 0 2

12.下列命题: (1) 动点 M 到二定点 A、B 的距离之比为常数 ? (? ? 0且? ? 1), 则动点 M 的轨迹是圆;

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则 b ? c ; 2 2 a b x2 y2 (3) 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离是 b ; a b (4) .已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )且OA ? OB (O 是坐标原点),
(2) 椭圆 则 y1 y2 ? ? p 2 . 以上命题正确的是( ) A.(2)、(3)、(4) B. (1)、(4)

C. (1)、(3)

D. (1)、(2)、(3)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴长在 y 轴上,离心率为

3 ,且 G 上一点到 G 2

的两个焦点的距离之和是 12,则椭圆的方程是—————————————————— 14. 动圆 M 与圆 C1:

?x ? 2?2 ? y 2 ? 1 和圆 C :?x ? 2?2 ? y 2 ? 1 都外切,则动圆 M
2

圆心的轨迹方程是———————————————— 15. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点是 F(1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A、 B 两点,若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程是————————————————————— 16.已知双曲线 x ?
2

y2 2 ? 1 ,点 A( ? 5 ,0 ) ,B 是圆 x ? y ? 5 4

?

?

2

? 1上一点,点 M

在双曲线右支上,则 MA ? MB 的最小值是—————————————— 三、解答题

y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 的弦 AB, 17.经过双曲线 x ? 6 3 求(1)线段 AB 的长; (2)设 F2 为右焦点,求 ?F2 AB 的周长。
2

2

2 18.已知点 C为 y 的准线与 x 轴的交点,点 F为焦点,点 A, B 为抛物线上两 ? 2 px ( p ? 0 )

个点,若 FA 。 ? FB ? 2 FC ? 0 (1)求证: AB ? x轴 ; (2)求向量 FA 与 FB 的夹角。

19.已知 A(1,0)和直线 m: x ? 1 ? 0 ,P 为 m 上任一点,线段 PA 的中垂线为 l,过 P 作 直线 m 的垂线与直线 l 交于 Q。 (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,证明你的结论。

20.设椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 过 M 2, 2 、N a2 b2

?

? ? 6,1?两点,O 为坐标原点,

(1)求椭圆 E 的方程;
2 2 (2)若直线 y ? kx ? 4?k ? 0? 与圆 x ? y ?

8 相切,并且与椭圆 E 相交于两点 A、B,求 3

证: OA ? OB

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的两条渐近线分别为 l1 , l 2 ,经过右焦点 F 垂 a2 b2 5 直与 l1 的直线分别交 l1 , l 2 于 A、B 两点与双曲线交于 C ,D 两点,双曲线的离心率 。 2
21. 如图,双曲线 (1)求证: OA , AB , OB 依次成等差数列; (2)若 F( 5 , 0) ,求三角形 OCD 的面积。 y L1 B D x C L2 A

O

F

3

圆锥曲线单元测试题答案
一、选择题
题号 1 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 10 A 11 C 12 D 答案 B 二、填空题 13

y2 x2 ? ?1 36 9

14

x?0
?
6

15 y ? x

16

10 ? 1

三 、解答题 17.解: (1) 、 F1 ?? 2,0? 则直线 AB : y ?

k ? tan

?

3 3

设 A?x1 y1 ? B?x2 y 2 ?

3 ?x ? 2? 代入 3x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 整理得 8x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 3
? ?3 8
6分

由距离公式 AB ? 1 ? k 2 (2) 、

F2 A ? 2 x1 ? 1, F2 B ? 1 ? 2 x2

? F2 A ? F2 B ? 2?x1 ? x2 ? ? 2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

? 2?

3 3 ?3 3 2
6分

? ?F2 AB的周长L ? 3 ? 3 3
18.解: (1) A x1, x2

?

?

p ? p ? B?x2 y 2 ? , F ( ,0), C ? ? ,0 ? , 2 ? 2 ?

p P ? ? ? ? FA ? ? x1 ? , y1 ?, FB ? ? x2 ? , y 2 ? FC ? ?? p.0? 由题意得: 2 2 ? ? ? ?

x1 ? x2 ? 3 p. y1 ? y2 ? 0



y1 ? ? y 2 ,即x1 ? x 2 ?

3p 2

y1 ? 3 p, y2 ? ? 3 p
6分

3 ?3 ? A( p, 3 p), B? p,? 3 p ? 关于 x 轴对称,? AB ? x轴 2 ?2 ?
(2)? tan AFG ?

3p 3 p p? 2 2

? 3

即 ?AFG ?

?
3

由对称得 ?AFB ?

2? 2? ,即向量 FA 与 FB 的夹角为 3 3

6分

19.解: (1)设 Q(x,y),由题意知 PQ ? QA ,Q 在以 A 为焦点的抛物线 上,

p ? 1, p ? 2 2
4

Q 点轨迹方程 C 为: y 2 ? 4 x (2)设 P(-1,y0) ,当 y 0 ? 0时 , k PA ? ?

4分

y0 ? y ? ,PA 中点坐标是 ? 0, 0 ? ,PA 中垂线方程: 2 ? 2?

y?

y 2 2 x ? 0 ,联立抛物线方程 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 2 y0 y ? y0 ? 0 ,有 ? ? 0 y0 2

说明直线 l 与曲线 C 始终相切。 当 y 0 ? 0时 时,Q(0,0) ,l 是 y 轴,与曲线 C 相切。 8分

20.解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)设 A?x1 y1 ? B?x2 y 2 ? ,由题意得: d ?

4分

4 1? k 2

?

2 6 ,k ? 5 3

2分

? y ? 5x ? 4 16 24 ? 5 , x1 x 2 ? 联立 ? x 2 化简得 11x 2 ? 16 5x ? 24 ? 0 ,有 x1 ? x 2 ? ? y2 11 11 ? ?1 ? 4 ?8

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?
? 320 144 ? ? 16 ? 0 11 11

? 5x ? 4??
1

5x2 ? 4 ? 6x1 x2 ? 4 5( x1 ? x2 ) ? 16 =
2分

?

? OA ? OB

21. () 1 ? 满足

c2 5 1 ? ,? a ? 2b, 设?AOF ? ?BOF ? ? , 则 tan ? ? , 故 tan ?AOB ? tan 2? 2 a 4 2 (m ? 0), 则 AB ? 4m, OB ? 5m

AB 4 2tan? 4 ? , 即 ? , 令 OA ? 3m 1 ? tan 2 ? 3 OA 3

OA ? OB ? 2 AB ,? OA , AB , OB 依次成等差数列

5

(2)已知c2 =5, ? a 2 ? 4, b 2 =1,双曲线方程为

x2 ? y2 ? 1 4 设直线AB的斜率为k,则k=tan?BFO=tan?AFO=cot? =2 x2 ? y 2 ? 1得15 x 2 ? 32 5 x ? 84 ? 0 4 ? ? 5 15
6分

? l AB : y ? 2( x ? 5), 代入

? 弦CD的长度 CD ? 1 ? k 2

(32 5) 2 ? 4 ?15 ? 84 4 ? 15 3 2 5 1 1 4 4 设O到CD距离为d,则d= ? 2,? S ?OCD ? CD ? d ? ? ? 2 ? 2 2 3 3 5

6


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