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2、导数的背景 曲线在某点处的切线、瞬时速度


引入:
一、切线问题:
(1)对于简单的曲线,如圆和圆锥曲线,它们 的切线是如何定义的?
(2)与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲 线的切线? (3)曲线的切线与直线是否只有一个交点?

二、最值问题:
求函数y=x3-2x-1,x∈[-1,1]的最大值和最小值。

第三章 导数 3.1.1曲线的切线

一.曲线的切线
如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是 曲线C上的任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y)为P邻近 一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴, β为PQ的倾斜角.
则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, ?y ? tan ? . ?x
?y 表明: 就是割线的斜率 . ?x
O P
β

y

y=f(x)

Q

Δy M x

Δx

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.
y y=f(x)

Q

割 线
T

切线

P

?
x

o

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δ x→0时, 若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y 即: k切线 ? tan ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 注:(1)切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个 极限 (2)若割线在P点有极限位置,则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; ( ,并不一定与曲线只有一个交点,可 (3 3)曲线的切线 )曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗? 以有多个,甚至可以无穷多个.

例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线的斜率、切线方程.
y
Q

y = x +1
?y

2

P
?x

M

1

j

x

-1 O

1

求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步

(1)求⊿y;
?y ( 2)求 并整理; ?x ?y (3)求 lim ; ?x ? 0 ? x
求曲线在某点处的切线方程:先利用切线的斜率, 然后利用点斜式求切线方程.

1 例2:求曲线y ? 在点P(1, 1)处 x 的切线的斜率。

1 3 8 P ( 2, ) , 求: 练习:如图,已知曲线 y ? x 上 一 点 3 3
1 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 4 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 3 ?x 3 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 2 ? lim 3 ?x ? 0 ?x 1 1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? ( ?x ) 2 ] ? x 2 . -2 -1 O 3 ?x ? 0 -1 2
3

(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 1

y

y?

1 3 x 3

P
x 1 2

? y? |x?2 ? 2 ? 4. 即点P处的切线的斜率等于4.

-2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

二、瞬时速度:
一般地,设物体的运动规律是s=s(t),则物 体在t到t+Δ t这段时间内的平均速度为 ?s ? s(t ? ?t ) ? s(t ) ?t ?t 平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.

物体在时刻t的瞬时速度,就是物体在t到t+Δ t这 段时间内,当Δ t→0时的平均速度的极限;

?s s(t ? ?t ) ? s(t ) v(t ) ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

1 2 s ? gt 例3: 物体作自由落体运动,运动方程为: 2
g=10m/s2 ,位移单位是m,时间单位是s,. 求:(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.

(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度;

解:

__

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __

v ? 2.05g ? 20.5m / s.

?s

(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式,得:
( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2,
__

v ? 2.005g ? 20.05m / s.

从而平均速度 v 的极限为: __ ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. s ?t ? 0 ?t ? 0 ? t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δ t 逐渐变小时,平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).

练习: 某质点沿直线运动,运动规律是 s=5t2+6,求t=1时刻的瞬时速度.

求瞬时速度一般可以分为三步:

(1)求⊿s;
?s (2)求 并整理; ?t ?s (3)求 lim ; ?t ? 0 ?t

小结: (1)能从极限的角度理解曲线在点P处切线 的定义; 能求曲线在点P处切线的斜率及方程; (2)能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度 能求某时刻的瞬时速度

备用:已知曲线y ? 2 x 2 ? 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.
?y 解 : K P ? lim , 而?y ? f (1 ? ?x ) ? f (1) ? 2(1 ? ?x )2 ? 2 ? 2, ?x ? 0 ? x
2(1 ? ?x )2 ? 2 ? 2 ?y 4?x ? 2( ?x )2 lim ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x[ 2(1 ? ?x )2 ? 2 ? 2] 4 ? ?x

4 ? lim ? ? 1. 2 ?x ?0 2?1? 2 ? 2 2(1 ? ?x ) ? 2 ? 2

? K P ? tan? ? 1,?? ? 45? , 即 过P点 切 线 的 倾 斜 角 等 于45? .

故过点P的切线方程为:y-2=1?(x-1),即y=x+1. 练习:求曲线
1 y ? ? 3 上一点P(1,-1)处的切线方程. x

答案:y=3x-4.


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