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河北省定州中学2017届高三下学期开学考试数学试题


河北定州中学 2016-2017 学年第二学期高三数学开学考试
一、选择题 1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b 2 ? c 2 <3 C.若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ≥3 B.若 a+b+c=3,则 a 2 ? b 2 ? c 2 <3 D.若 a 2 ? b 2 ? c 2 ≥3,则 a+b+c=3 )

2.已知集合 A ? ?0,1, a? , B ? 2, a 2 ,若 A ? B ? ?0,1, 2,3,9? ,则 a 的值为( A. 0 B. C. 2 D. 3

?

?



3.已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,则 sin( (A) ?

?

4 5

(B) ?

3 5

2 4 (C) 5

? ? ) 的值为( )
(D)

3 5

x 4.已知函数① y ? x ? sin x, ② y ? x ? cos x ,③ y ? x ? cos x ,④ y ? x ? 2 的部分图象如下,但顺序被打

乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是( )

A. ①④②③

B. ①④③② C. ④①②③

D. ③④②①


5..在 ?ABC 中,若 a ? c ? 2 , B ? 120? ,则边 b ? ( A. 3 3 B. 2 3 C. 2 2

D. 3 ? 1

6.设函数 f : N ? ? N ? 满足:对于任意大于 3 的正整数 n , f ? n ? ? n ? 3 ,且当 n ? 3 时, 2 ? f ? n ? ? 3 , 则不同的函数 f ? x ? 的个数为( A.1 B.3 ) C.6 D.8 ( )

7.若直线错误!未找到引用源。过圆错误!未找到引用源。的圆心,则 a 的值为 A.错误!未找到引用源。1 3 B.1 C. 3

D. 错误!未找到引用源。

8.把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴,顶点 A ? 0,1? ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周,记走过

的弧长 ? AM ? x ,直线 AM 与 x 轴交于点 N ? t , 0 ? ,则函数 t ? f ? x ? 的大致图像为(



A.

B. )

C.

D.

9.函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1 ) 是( A.是奇函数又是减函数 C.是减函数但不是奇函数

B.是奇函数但不是减函数 D.不是奇函数也不是减函数

10.已知等边 ?ABC 的两个顶点 A ? 0, 0 ? , B ? 4, 0 ? ,且第三个顶点在第四象限,则 BC 边所在的直线方程 是( ) B. y ? ? 3 ? x ? 4 ? D. y ?

A. y ? ? 3 x C. y ? 3 ? x ? 4 ? 11.若不等式组

3 ? x ? 4?
分成面积相等的两

所表示的平面区域被直线

部分,则 k 的值为( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1



12.已知随机变量 ? 服从正态分布N (3, ? ), 且P (? ? 2) ? 0.3, 则P (2 ? ? ? 4) 的值
2

等于( ) A.0.5 B.0.2 C.0.3 D.0.4

二、填空题 13..函数 y ? 1 ? sin 2 ( x ?

?
3

) 的最小正周期是__________

14.数列 lg 1000, lg(1000 ? cos 60 0 ), lg(1000 ? cos 2 60 0 ),... lg(1000 ? cos n ?1 60 0 ), ?的前_____项和为最大? 15.曲线 C 上的点到 F1 (0, ?1), F2 (0,1) 的距离之和为 4,则曲线 C 的方程是 16 . 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8 个 顶 点 都 在 球 O 的 表 面 上 , E 为 AB 的 中 点 , CE ? 3 ,

cos ?ACE ?
三、解答题

5 3 ,且四边形 ABB1 A1 为正方形,则球 O 的直径为 9

.

17.为考察高中生的性别与是否喜欢体育课程之间的关系, 在我市某普通中学高中生中随机抽取 200 名学 生, 得到如下 2 ? 2 列联表: 喜欢体育课程 男 女 合计 不喜欢体育课程 合计

30

60

90

20
50

90
150

110
200

(1)根据独立性检验的基本思想, 约有多大的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系” ? (2)若采用分层抽样的方法从不喜欢体育课的学生中随机抽取 5 人, 则男生和女生抽取的人数分别是多 少? (3)从(2)随机抽取的 5 人中,再随机抽取 3 人, 该 3 人中女生的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 18.为把中国武汉大学办成开放式大学,今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募 8 名 和 12 名志愿者从事兼职导游工作,将这 20 志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:厘米)若身高在 175cm 及其以上定义为“高个子” ,否则定义为“非高个子”且只有文学院的“高个子”才能担任兼职导游。 (1)根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数 (2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少 有一人是“高个子”的概率是多少 (3)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者。用 ? 表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望

艺术学院

文学院

9 9 6 5 0 7 2 1

15 16 17 18 19

8 1 3 0

9 2 5 8 9 4 6 1

19.如图,已知 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上且位于第一象限的一点, F 是椭圆的右焦点, O 是椭 a2 b2 a2 ( c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点,若 c

圆的中心, B 是椭圆的上顶点, H 是直线 x ? ?

PF ? OF , HB // OP ,试求椭圆的离心率的平方的值.

20.已知数列 ?an ? 中, a1 ? a, a2 ? t (常数 t ? 0 ) , S n 是其前 n 项和,且 S n ?

n ? an ? a1 ? . 2

(1)试确定数列 ?an ? 是否为等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由; (2)令 bn ?

S n ? 2 Sn ?1 ? , 证明: 2n ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 2n ? 3 ? n ? N * ? . S n ?1 S n ? 2
参考答案

ADAAB DBAAC 11.D 12.D 13. ? 14.10

y 2 x2 15. ? ?1 4 3
16.4 或 51 17. (1)约有 97.5 0 0 以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”. (2)男生抽取人数 2 人, 女生抽取人数 3 人. (3) ? 的数学期望 1.8 .

200 ? 30 ? 90 ? 60 ? 20 ? (1)? K ? ? 6.061 ? 5.024 ,? 约有 97.5 0 0 以上的把握认为“性别与喜欢体育 90 ?110 ? 50 ?150
2 2

课之间有关系”. (2)男生抽取人数有:

60 90 ? 5 ? 2 人, 女生抽取人数有: ? 5 ? 3 人. 60 ? 90 60 ? 90

(3)由(2)可知, 男生抽取人数为 2 人,女生抽取人数为 3 人, 所以 ? 的取值为 1, 2,3 .

P ?? ? 1? ?

1 2 1 3 C3 C2 C32C2 C3 3 6 1 ? , P ? ? 2 ? ? , P ? ? 3 ? ? ? ? ? 3? , 3 3 C5 10 C5 10 C5 10

所以 ? 的数学期望 E? ? 1? 18. (1) ???.? (2) (3)

3 6 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 1.8 . 10 10 10

7 10

?
P

0

1

2

3

10 56

30 56

15 56

1 56

E? =

9 8

解 :( 1 ) 根 据 志 愿 者 的 身 高 编 茎 叶 图 知 文 学 院 志 愿 者 身 高 的 中 位 数 为 :

168 ? 169 ? 168.5 2

???2 分

(2)由茎叶图可知, “高个子”有 8 人, “非高个子”有 12 人,

? 按照分层抽样抽取的 5 人中“高个子”为 5 ?

8 12 “非高个子”为 5 ? ? 2 人, ? 3 人; 20 20

则至少有 1 人为高个子的概率 P =1-

C32 7 ? ??6 分 C52 10

(3)由题可知:文学院的高个子只有 3 人,则 ? 的可能取值为 0,1,2,3;
3 1 1 2 3 C5 C52C3 C5 C3 15 C3 10 30 1 故 P (? ? 0) ? 3 ? , P (? ? 1) ? , P (? ? 2) ? , ? ? , P(? ? 3) ? 3 ? 3 3 C8 56 C8 56 C8 56 C8 56

即 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

10 30 56 56 10 30 15 1 9 E? =0 ? +1 ? +2 ? +3 ? = 。 56 56 56 56 8
19.

15 56

1 56

5 ?1 . 2
依题意知 H ? ?



? a2 ? , 0 ? ,F(c,0),B(0,b). ? c ?

设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程, 得 yP=

? b2 ? b2 .∴P ? c, ? . a ? a?

b2 b?0 ? a ∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 2 a c 0? c
∴ab=c . ∴e=
2

a2 ? c2 c b 2 -2 = ,∴e = =e -1. 2 c a c
2

∴e +e -1=0.∵0<e<1,∴ e 2 ?
4

5 ?1 . 2

20. (1)数列 ?an ? 是等差数列, an ? ? n ? 1? t ; (2)见解析. (1)令 n=1 可得 a1 ? S1 ? 0 ,即 a=0,∴ S n ?

nan , 2

1分

an ? S n ? S n ?1 ?

nan ? n ? 1an ?1 ? ? ? n ? 2 ? ,可得 ? n ? 2 ? an ? ? n ? 1? an?1 ,当 n=2 成立, 2 分 2 2

当 n≥3 时, ? n ? 2 ? an ? ? n ? 1? an ?1 , ? n ? 3? an ?1 ? ? n ? 2 ? an ? 2 , ? n ? 4 ? an ? 2 ? ? n ? 3? an ?3 , ,

a3 ? 2a2 ,这些式子相乘可得:

an ? n ? 1 ,∴ an ? ? n ? 1? t , a2

5分

an ? an ?1 ? ? n ? 1? t ? ? n ? 2 ? t ? t
显然当 n=1,2 时满足上式,∴数列 ?an ? 是等差数列, an ? ? n ? 1? t ; (2)由(1)可知, S n ? 6分

n ? n ? 1? n?2 n 1 ? ?1 t ,从而可得 bn ? ? ? 2 ? 2? ? ?. 2 n n?2 ?n n?2?

7分

1 1 1 1 ? 2 2 ? 1 1 1 1 1 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? n ?1 n ?1 n n ? 2 ? n ?1 n ? 2 ? 3 2 4 3 5


2 2 均大于 0,∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 3 . 10 分 , n ?1 n ? 2 2 2 2 2 4 ∵ f ?n? ? 3 ? 是关于 n 的增函数,∴f(n)的最小值为 f ?1? ? 3 ? ? ? ? 0 , ? n ?1 n ? 2 2 3 3
∵ ∴ 2n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 故 2n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 3 n ? N * .

?

?

12 分


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