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抛物线及其标准方程教案2(第一课时) 人教课标版(新教案)


《抛物线及其标准方程》教案(第一课时)

一、教学目标
、知识目标
① 让学生理解抛物线的概念及与椭圆、双曲线第二定义的联系。 ② 让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。
、能力培养目标
① 培养建立适当坐标系的能力。 ② 培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。
、德育培养目标
① 培养学生的探索精神 ② 渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
二、教学重点和难点
、教学重点:

①.抛物线的标准方程。 ②.标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。
、教学难点:
①.应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题。 ②.培养学生选择适当坐标系的能力。
三、教学方法
在具体问题的分析、引导过程中,依据建构主义教学原理(学生的认知过程是一个同化与顺 应的过程),通过类比、对比、和归纳,把新的知识化归到学生原有的认知结构中去(如二 次函数与抛物线方程的对比,从移图到适当建立坐标系方法的归纳等)。

四、设计思想:

抛物线是学生非常熟悉的一种曲线,但对它是满足什么条件的动点的轨迹 ′
却很陌生.为此,可由椭圆与双曲线的第二定义引入课题,再通过“拉线教具”

(课件)的演示引入抛物线的定义,这样可以使学生一开始就看到椭圆、双曲

N

线、抛物线这三种曲线的联系与区别.接着按求曲线方程的步骤推导焦点在轴

M

正方向上的抛物线的标准方程.再改变坐标系的建立方式,给出另外三种类型 K

F

的标准方程.通过形数结合的对比,让学生把握抛物线的四类标准方程的图形、

焦点和准线的位置,识别它们之间的差异.在解有关抛物线的问题时,要求学 ′

生能迅速写出焦点坐标和准线方程,在练习中反复领会“依形判数”“就数论形”的方法, 达到熟练运用标准方程的技能技巧.
教学过程:

一、引入

在讲抛物线的概念时,由椭圆、双曲线的第二定义(统一定义)引入,提出:与一个定 点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹,当<时是椭圆,当>时是双曲线,那 么当=时,又是什么曲线呢?接着,用“拉线教具”(课件)演示.如图,在平板上把三角 板较短的直角边紧靠在固定的直尺边缘′上,取一条与另一直角边等长的细线,一端固定在 三角板的顶点上,另一端固定在平板处,然后用铅笔紧靠三角板的的边缘,把细线轻轻拉紧, 并将三角板紧靠直尺沿′移动,笔尖画出的图形便是抛物线,在此基础上可引入抛物线的定 义.

二、新授内容:

.在“拉线画抛物线”的基础上,提出抛物线的定义,然后推导抛物线的标准方程.

()在推导标准方程之前,首先让学生考虑怎样建立坐标系?由定义可知直线是曲线的对称

轴,所以把作为轴可以使方程不会出现的一次项,因线段的中点适合条件,即它在抛物线上,

所以以的中点为原点,方程中就不会出现常数项,这样建立坐标系,得出的方程比较简单.

()设焦点到准线的距离||=(>),这是抛物线方程中参数的几何意义.因为抛物线的

顶点是的中点,所以知道了,焦点( p ,),准线 x ? ? p 都可以确定了.由于抛物线的标

2

2

准方程中只有一个参数,所以只需一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.

()由于是抛物线的焦点到准线的距离,所以永远大于零.这点必须向学生强调.以防止以

后设错标准形式,而出现为负值的错误.

.如果选取坐标系y 使得抛物线的顶点在原点y,对称轴和一条坐标轴重合,那么随着焦点在轴

或轴的正半轴或负半轴的不同情况(课件演示),引导学生得到四种不同的抛物线的标准方

程:=,=-,=,=-(>).由=的焦点坐标、准线方程和图形,用类比的方法得到=

OF

x

FO x

-,=,=-的焦点坐标、准线方程和图形:

l
图形

y

y

l

l O

x
F

F

O

x

l

标准 方程

=(>)

=-(>)

=(>)

=-(>)

焦点

( p ,)

( ? p ,)

坐标

2

2

(, p ) 2

(, ? p ) 2

准线

=? p

=p

=? p

=p

方程

2

2

2

2

()教学中要通过例题阐明:=的焦点坐标( p ),准线方程 x ? ? p 中, p 是的 1 (其它

2

224

三种标准形式也是这样),如:=中,=, p ? 6 ? 3 .所以焦点坐标是( 3 ,),准线方

2 42

2

程是 x ? ? 3 . 2

()标准方程有四种形式,要防止如下错误:求过点(-,)的抛物线的标准方程时,设抛

物线标准方程为=,把=-,=代入得=-,所以,抛物线的标准方程为=-,结果错了,

原因是标准方程的设定不全面,正确的思路是根据条件画出示意图,从而确定所求抛物线方
程分别为=(>)或=-(>).将(-,)分别代入 ? x 2 ? 4 y 或=-.在设所求方程时, 3
最好用标准方程,此时注意>.

.画图时,注意不要把抛物线画成是双曲线的一支,双曲线有渐近线,而抛物线没有渐近线, 当抛物线上点趋向于无穷远时,曲线接近于和轴平行. .平面内到定点和定直线的距离之比等于常数,当<<时,轨迹为椭圆;当=时,轨迹为抛 物线;当>时,轨迹为双曲线.这就是圆锥曲线的统一定义.

三、范例:

例.已知抛物线的标准方程是()=,()=,求它的焦点坐标和准线方程.

分析:这是关于抛物线标准方程的基本例题,关键是()根据示意图确定属于哪类标准形式, ()求出参数的值.
()已知抛物线的焦点坐标是(,),求它的标准方程。

例.求经过点(,-)的抛物线的标准方程:

分析:抛物线的标准方程中只有一个参数,因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再 求出值就可以写出其方程,但要注意两解的情况=.
解:经过点(,-)的抛物线可能有两种标准形式: =或=-.(如图)
点(,-)坐标代入,即=,得= 9 2
点(,-)坐标代入=-,即=,得= 4 3

∴所求抛物线的标准方程是= 9 或=- 4

2

3

例.是抛物线(>)上一点,若点的横坐标为,则点到焦点的距离是

例(选)点与点(,)的距离比它到直线:+=的距离小,求点的轨迹方程.

分析:画出示意图可知原条件 ? 点到(,)和到=-距离相等,由抛物线的定义,点的轨迹
是以(,)为焦点,=-为准线的抛物线.所求方程是=.

四、练习与讲评

y

.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
()= ()= () += () y ? ? 1 x2
6 .根据下列条件写出抛物线的标准方程

M (x , y)

-5 -4

F(4,0) x

()焦点是(,)

()准线方程是 x ? ? 1

2-14

4

()焦点到准线的距离是

()经过点(,-).抛物线=上的点到焦点的距离是,求点坐标.

讲评:练习时注意y ()由焦点位置或准线方y 程正确判断抛物线标准方程的类型;()表示焦 点到准线的距离故>;()根据图形判断解有几种可能.

OF

x

五、小结:

l

图形

FO x

y

y

l

l O

x
F

F

O

x

l

标准 =(>)

=-(>)

=(>)

方程 焦点 坐标 准线 方程

( p ,) 2
=? p 2

( ? p ,) 2
=p 2

(, p ) 2
=? p 2

六、课后习题:

.已知抛物线方程为=(>),则其准线方程为(



=-(>)
(, ? p ) 2
=p 2

() x ? ? a 2

() x ? a 4

() y ? ? 1 2a

.抛物线 y ? 1 x2 (≠)的焦点坐标是(



m

() (, m )或(, ? m )

4

4

() (, m ) 4

() (, 1 )或(, ? 1 )

4m

4m

() (, 1 ) 4m

.焦点在直线--=上的抛物线标准方程是(



() y ? ? 1 4a

() =或=

() =或=

() =-或=

() =或=-

.根据下列条件写出抛物线的标准方程.

()过点(-,)

()过焦点且与轴垂直的弦长是

.点到点(,)的距离比它到直线=-的距离大,求点的轨迹方程.

.抛物线=上的一到轴的距离为,焦点为,求||的值.

虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功的。 快 乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起 你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者千虑,必有一得, 学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不畏困难强敌;热情, 就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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