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安徽省黄山市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案


黄山市 2016—2017 学年度第二学期期末质量检测 高二(理科)数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本大题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.若复数的共轭复数 z ? 2 ? i ,则复数的模长为( ) A.2 B.-1 C.5 D. 5 2.下列命题正确的是( ) A.命题“ ?x?R,使得 2-1<0”的否定是:?x? R ,均有 2-1<0. B.命题“若=3,则 2-2-3=0”的否命题是:若≠3,则 2-2-3≠0.

C.“? ? 2k? ? ? (∈)”是“ sin 2? ? 3 ”的必要而不充分条件.

3

2

D.命题“cos=cosy,则=y”的逆否命题是真命题.

3.下列说法:

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值与

方差都不变;

②设有一个回归方程 y? ? 5?3x ,变量增加一个单位时,y 平均增加

3 个单位;

③线性回归方程 y? ? bx ? a 必经过点( x , y );

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知, 有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说现有 100 人 吸烟,那么其中有 99 人患肺病. 其中错误的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知 a ? (?3, 2,5) , b ? (1, x, ?1) ,且 a b ? 4 ,则的值是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.过点 O(1,0)作函数 f()=e 的切线,则切线方程为( ) A.y=e2(-1) B.y=e(-1) C.y=e2(-1)或 y=e(-1) D.y=-1 6.随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(n,P),且 E(ξ)=300,D (ξ)=200,则 n 等于( )
p
A.3200 B.2700

C.1350 D.1200 7.直线 y=-与函数 f()=-3 围成封闭图形的面积为( ) A.1 B. 1
4
C. 1
2
D.0 8.如图,AB∩α=B,直线 AB 与平面 α 所成的角为 75°,点 A 是直线 AB 上一定点,动直线 AP 与平面 α 交于点 P,且满足∠ PAB=45°,则点 P 在平面 α 内的轨迹是( )
A.双曲线的一支 B.抛物线的一部分 C.圆 D.椭圆 9.双曲线 x2 ? y2 ? 1(mn≠0)离心率为 3 ,其中一个焦点与抛物
mn
线 y2=12 的焦点重合,则 mn 的值为( ) A. 3 2 B. 3 3

C.18

D.27

10.我市某学校组织学生前往南京研学旅行,途中 4 位男生和 3

位女生站成一排合影留念,男生甲和乙要求站在一起,3 位女生

不全站在一起,则不同的站法种数是( )

A.964

B,1080

C.1296

D.1152

11.设矩形 ABCD,以 A、B 为左右焦点,并且过 C、D 两点的

椭圆和双曲线的离心率之积为( ) A. 1
2
B.2

C.1

D.条件不够,不能确定

12 . 已 知 函 数 f ( ) = 3 + b2 + c + d 的 图 象 如 图 , 则 函 数

y

?

log2

(x2

?

2 3

bx

?

c) 3

的单调递减区间是(



A.(-∞,-2) B.(-∞,1)

C.(-2,4)

D.(1,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 小题.把答案直接填在题中的相应横线

上.)

13.已知(1-)n 展开式中 2 项的系数等于 28,则 n 的值为

________.

14.连续掷一枚质地均匀的骰子 4 次,设事件 A=“恰有 2 次正

面朝上的点数为 3 的倍数”,则 P(A)=________.

15.在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,AC=1, AA1=2,∠BAC=90°,若直线 AB1 与直线 A1C 的夹角的余弦值

是 10 ,则棱 AB 的长度是________.
5

16.设

F1,F2

分别是椭圆

x2 m

?

y2 3

? 1 的两个焦点,

P

是第一象限

内该椭圆上一点,且 sin ?PF1F2 ? sin ?PF2F1 ? 2 ,则正数 m 的值为
sin ?F1PF2
________.

三、解答题(本大题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.)

17.(Ⅰ)已知复数 z ? ? 1 ? 3 i ,其共轭复数为 z ,求| 1 | ?(z)2 ;

22

z

(Ⅱ)设集合 A={y| y ? x2 ? 2x ? 1 },B={|m+2≤1,m<1}.命题
2

p:∈A;命题 q:∈B.若 p 是 q 的必要条件,求实数 m 的取值

范围. 18.随着网络的发展,人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、 导航等,所以人们对上网流量的需求越越大.某电信运营商推出 一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否愿意选择 此款“流量包”套餐,随机抽取 50 个用户,按年龄分组进行访 谈,统计结果如表.
组号 年龄 访谈人数 愿意使用

1 [18,28) 4

4

2 [28,38) 9

9

3 [38,48) 16

15

4 [48,58) 15

12

5 [58,68) 6

2

(Ⅰ)若在第 2、3、4 组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用 分层抽样的方法抽取 12 人,则各组应分别抽取多少人? (Ⅱ)若从第 5 组的被调查者访谈人中随机选取 2 人进行追踪调 查,求 2 人中至少有 1 人愿意选择此款“流量包”套餐的概率. (Ⅲ)按以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并判断以 48 岁为 分界点,能否在犯错误不超过 1%的前提下认为,是否愿意选择

此款“流量包”套餐与人的年龄有关?

年龄不低于 48 岁的人年龄低于 48 岁的人

合计





愿意使用的人数

不愿意使用的人 数

合计

参考公式: k 2 ?

n(ad ? bc)2

,其中:n=a+b+c+d.

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(d ? b)

P(2≥0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进 行统计分析,两班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分为 及格. (Ⅰ)设甲、乙两个班所抽取的 10 名同学成绩方差分别为 S甲2 、S乙2 , 比较 S甲2 、 S乙2 的大小(直接写出结果,不写过程); (Ⅱ)从甲班 10 人任取 2 人,设这 2 人中及格的人数为,求的 分布列和期望; (Ⅲ)从两班这 20 名同学中各抽取一人,在已知有人及格的条 件下,求抽到乙班同学不及格的概率.

20.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 是棱 PD 的中点,点 F 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)若底面 ABCD 为正方形,PB ? 2AB ,求二面角 C—AF—D 大小.

21.设点

O

为坐标原点,椭圆

E: x2
a2

?

y2 b2

? 1(a≥b>0)的右顶点

为 A,上顶点为 B,过点 O 且斜率为 1 的直线与直线 AB 相交 M,
6
且 MA ? 1 BM .
3

(Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e;

(Ⅱ)PQ 是圆 C:(-2)2+(y-1)2=5 的一条直径,若椭圆

E 经过 P,Q 两点,求椭圆 E 的方程.

22.已知函数 f (x) ? a ln(x ? a) ? 1 x2 ? x (a<0).
2
(Ⅰ)当 a=-3 时,求 f()的单调递减区间;
(Ⅱ)若函数 f()有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围;

黄山市 2016—2017 学年度第二学期期末质量检测 高二(理科)数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D B D A A B C D C D C A
二、填空题(本大题共 4 小题.) 13.8 14. 8
27
15.2 16.4 或 9
4
三、解答题(本大题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.)

17.解:(Ⅰ)因为 z ? ? 1 ? 3 i ,所以| 1 |?| ? 1 ? 3 i |? (? 1)2 ? (? 3)2 ?1

22

z 22

2

2

(z)2 ? (? 1 ? 3 i)2 ? ? 1 ? 3 i

22

22

所以原式 ? 1? 1 ? 3 i ? 1 ? 3 i
22 22

(Ⅱ)由题可知 A ? {y | y ≥ ? 1}, B ? {x | ? 1? m ≤ x ≤ 1? m}
2
由于 p 是 q 的必要条件,所以 B ? A ,

所以 ? 1? m ≥ ? 1 ,解得 m≥ 3 .

2

4

综上所述: 3 ≤ m ? 1.
4

18.解:(Ⅰ)因为 12 ?9 ? 3, 12 ?15 ? 5 , 12 ?12 ? 4 ,所以第 2、3、

36

36

36

4 组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取

12 人,各组分别为 3 人,5 人,4 人.

(Ⅱ)第 5 组的 6 人中,不愿意选择此款“流量包”套餐的 4 人分

别记作:A、B、C、D,愿意选择此款“流量包”套餐 2 人分别记

作、y.

由题可知 P

?

1

?

C24 C62

?1? 6 15

?9 15

?

3.
5

(Ⅲ)2×2 列联表:

年龄不低于 48 岁的 年龄低于 48 岁的

合计

人数

人数

愿意使用的人数

14

28

42

不愿意使用的人 7


1

8

合计

21

29

50

∴ k 2 ? 50(14?1? 28? 7)2 ? 8.09 ? 6.635 .
21? 29? 42?8
∴在犯错误不超过 1%的前提下可以认为,是否愿意选择此款“流 量包”套餐与人的年龄有关. 19.解:(Ⅰ)由茎叶图可得 S甲2 ? S乙2 . ( Ⅱ ) 由 题 可 知 取 值 为 0 , 1 , 2 . P(X ? 0) ? C62C04 ? 15 ? 1 ,
C120 45 3

P( X

? 1) ?

C16C14 C120

?

24 45

?8 15

, P(X

?

2) ?

C06C24 C120

?

6 45

?2 15



所以的分布列为:

0 12

P()

1 82 3 15 15

所以 E(X ) ? 0? 1 ?1? 8 ? 2? 2 ? 12 ? 4 .
3 15 15 15 5
(Ⅲ)由茎叶图可得,甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格.设事

件 A=“从两班这 20 名同学中各抽取一人,已知有人及格”,事

件 B=“从两班这 20 名同学中各抽取一人,乙班同学不及格”.

20

则 P(B | A) ?

P(A B) P( A)

?

100 1? 30

? 2.
7

100

20.解:(Ⅰ)连接 BD,设 AC∩BD=O,连结 OE,

∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 是 BD 的中点, ∵点 E 是棱 PD 的中点,∴PB∥EO,

又 PB ?平面 AEC,EO ? 平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. (Ⅱ)由题可知 AB,AD,AP 两两垂直,则分别以 AB 、AD 、AP 的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系.

设由 PB ? 2AB 可得 AP=AB, 于是可令 AP=AB=AD=2,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P (0,0,2),E(0,1,1),F(1,1,1) 设平面 CAF 的一个法向量为 n ? (x,1, 0) .由于 AC ? (2, 2, 0) , 所以 AC n ? (2, 2, 0) (x,1, 0) ? 2x ? 2 ? 0 ,解得=-1,所以 n ? (?1,1, 0) . 因为 y 轴 ? 平面 DAF,所以可设平面 DAF 的一个法向量为 m ? (1, 0, z) . 由于 AF ? (1,1,1) ,所以 AF m ? (1,1,1) (1, 0, z) ? 1? z ? 0 ,解得=-1, 所以 m ? (1, 0, ?1) .

故| cos m, n |? | m n | ? 1 .所以二面角 C—AF—D 的大小为 60°.
|m||n| 2

21.解:(Ⅰ)∵A(a,0),B(0,b),MA ?MB1
3

1 b ).
4

∴ kOM

?

b 3a

?

1 6

,解得

a=2b,

,所以 M( 3a ,
4

于是 e ? c ? a2 ? b2 ? 3 ,∴椭圆 E 的离心率 e 为 3 .

a

a

2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a=2b,∴椭圆 E 的方程为 x2 ? y2 ? 1即 2+4y2
4b2 b2

=4b2(1)

依题意,圆心 C(2,1)是线段 PQ 的中点,且| PQ |? 2 5 .

由对称性可知,PQ 与轴不垂直,设其直线方程为 y=(-2)+

1,代入(1)得: (1+42)2-8(2-1)+4(2-1)2-4b2=0



P(1,y1),Q(2,y2),则 x1

?

x2

?

8k(2k ?1) 1? 4k 2

, x1x2

?

4(2k ?1)2 ? 4b2 1? 4k 2





x1

? x2 2

?

2



8k(2k ?1) 1? 4k 2

? 4 ,解得 k

?

?1.
2

从而 12=8-2b2.于是

| PQ |?

1? k 2 | x1 ? x2 |?

5 2

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

5

2b2 ? 4 ? 2 5 .

解得:b2=4,a2=16,∴椭圆 E 的方程为 x2 ? y2 ? 1.
16 4
22 . 解 :( Ⅰ ) ∵ a = - 3 , ∴ f (x) ? ?3ln(x ? 3) ? 1 x2 ? x , 故
2 f ?(x )? ?x(x ? 2 )x( ? ? 3 )
x?3
令 f′()<0,解得-3<<-2 或>0,

即所求的单调递减区间为(-3,-2)和(0,+∞)

(Ⅱ)∵ f ?(x) ? a ? x ?1 ? ?x[x ? (a ?1)] (>a)

x?a

x?a

令 f′()=0,得=0 或=a+1

(1)当 a+1>0,即-1<a<0 时,f()在(a,0)和(a+1,

+∞)上为减函数,在(0,a+1)上为增函数.

由于 f(0)=aln(-a)>0,当→a 时,f()→+∞.

当→+∞时,f()→-∞,于是可得函数 f()图像的草图如图,

此时函数 f()有且仅有一个零点. 即当-1<a<0 对,f()有且仅有一个零点; (2)当 a=-1 时, f (x) ? ? ln(x ?1) ? 1 x2 ? x ,
2
∵ f ?(x) ? ?x2 ≤ 0 ,∴f()在(a,+∞)单调递减,
x ?1
又当→-1 时,f()→+∞.当→+∞时,f()→-∞, 故函数 f()有且仅有一个零点; (3)当 a+1<0 即 a<-1 时,f()在(a,a+1)和(0,+∞) 上为减函数,在(a+1,0)上为增函数.又 f(0)=aln(-a) <0,当→a 时,f()→+∞,当→+∞时,f()→-∞,于是可 得函数 f()图像的草图如图,此时函数 f()有且仅有一个零点; 综上所述,所求的范围是 a<0.


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