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广州市第六中学2011-2012学年度第二学期高一期中考试(数学)


广州市第六中学 2011-2012 学年度第二学期高一期中考试 数学试题
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的班级、姓名、考号涂写在答题卡上。 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案。 4. 第Ⅱ卷必须在答题卡按题号标记位置处作答。 第Ⅰ卷 一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.
sin 1 2 0 的值为(
?


1 2 1 2

A.

3 2

B.

C. ?

D. ?

3 2

2.下列角中终边与 330°相同的角是( ) A. 30° B. - 30° C. 630° 3.如果
sin α ? 2 cos α 3 sin α ? 5 cos α

D. - 630° ( D. 23 16

= - 5,那么 tan ? 的值为 C.
?
3
23 16

)

A. -2

B. 2

4. 设 ? ? 0 ,函数 y ? s in ( ? x ? 的最小值是( ) (A)
2 3

) ? 2 的图像向右平移

2? 3

个单位后与原图像重合,则 ?

(B)

4 3

(C)

3 2

(D) 3

5.在 △ A B C 中, AB ? c , AC ? b . 若点 D 满足 B D ? 2 D C ,则 A D ? ( A.
2 3 b? 1 3 c

????

????

????

) D. b ?
3 1 2 3 c

B. c ?
3

5

2 3

b

C.

2 3

b?

1 3

c

6.三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角三角形)如图所 示, 则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A. 1 2 ? 4 2 B. 6 ? 2 2 C. 8 ? 4 2 D. 4 主视图 2 俯视图 2
1

左视图

2

7.已知函数 f ( x ) ? 2 ? 1 , a ? b ? c ,且 f ( a ) ? f ( c ) ? f ( b ) ,则下列结论中,必成立的
x

是(

) A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 C. 2 ? 2 ? 2
a c

B. a ? 0, b ? 0, c ? 0 D. 2
?a

? 2

c

8. 集合 U ? ?( x , y ) | x ? R , y ? R ?, M ? ?( x , y ) | x ? y ? a ?, P ? ?( x , y ) | y ? f ( x ) ?, 现给 出下列函数: y ? a , y = o ① ② lg
x

a

n ③ x , y ? si

?x

? a

④ ?, y

? cs a o x

, 0 ? a ? 1 时, 若

恒有 P ? C U M ? P , 则所有满足条件的函数 f ( x ) 的编号是





①②

B ①②③

C ④

D ①②④

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、过点(1,2)且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程为
2



10 、 若 函 数 f ? x ? ? ? a ? 2 ? x ? ? a ?1? x ? 3 是 偶 函 数 , 则 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 为 .
a ?
2

1 2

11、若 y ? a ? x

是幂函数,则该函数的值域是__________.
?
3

12、已知 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为
0

,那么 a ? b ? a ? b =

13、在 ? ABC 中, a ? x , b ? 2 , B ? 45 , 若三角形有两解,则 x 的取值范围是 14、 对于函数 f ( x ) , 在使 f ( x ) ? M 恒成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最大值称为 f ( x ) 的"下确界",则函数 f ( x ) ? 2 cos
2

x ? 2 3 sin x cos x 的"下确界"等于_________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15、 (本题满分 12 分)已知向量 a =( co s ? , sin ? ), b =( co s ? , sin ? ). (1)当 ? ?
5? 6 ,? ? ? 1 3

?
2

时,求 a ? b 的值。
1 7 ,0 ? ? ? ? ?

(2)已知 a ? b =

, cos ? ?

?
2

, 求 sin ? 的值。

2

16、(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) =

1 + s in x + c o s x + s in 2 x 1 + s in x + c o s x



(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在 [ 0 , 2 ? ] 上的最值。

17、 (本题满分 14 分)已知圆 C 经过 A ? 3, 2 ? 、 B ? 1, 6 ? 两点,且圆心在直线 y ? 2 x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 经过点 P ? ? 1, 3 ? 且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

18、 (本题满分14分)如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线, 过 A D 作圆柱的截面交下底面于 B C . (1)求证: B C // E F ; (2)若四边形ABCD是正方形,求证 B C ? B E ; (3)在(2)的条件下,求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值。

19、(本题满分 14 分)如图,某小区准备绿化一块直径为 B C 的半圆形空地, ? A B C 外的地 方种草, ? A B C 的内接正方形 P Q R S 为一水池,其余地方种花.若 B C = a , ? A B C =? ,设
S1 S2

? A B C 的面积为 S 1 ,正方形 P Q R S 的面积为 S 2 ,将比值

称为“规划合理度”.

3

(1)试用 a , ? 表示 S 1 和 S 2 . (2)当 a 为定值, ? 变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角 ? 的大小. A P S

B

Q

R

C

20、 (本小题满分 14 分) 如图, G 是△ OAB 的重心, P 、 Q 分别是边 OA 、 OB 上的动点,且 P 、 G 、 Q 三点 共线. (1)设 PG ? ? PQ ,将 OG 用 ? 、 OP 、 OQ 表示; (2)设 OP ? x OA , OQ ? y OB ,证明:
1 x ? 1 y

O

是定值;
T S

Q

P

G

(3)记△ OAB 与△ OPQ 的面积分别为 S 、 T .求 (提示: S ? OPQ ?
1 2 OP ? OQ ? sin ? POQ )

的取值范围.
A M B

4

高一数学期中考试答案:
1—8 A B D D A A C D 10. ? 0, ? ? ? (或 ? 0, ? ? ? ) 11. [ 0 , ?? ) 12.
21

9. 2 x ? y ? 0 14.-1

13. 2 ? x ? 2 2

a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos( ? ? ? )

15. 解、 (1)
? cos[

5? 6

? (?

?
2

)] ? ? sin

5? 6

? ?

1 2

????..4 分

(2) 因为: 0 ? ? ? ? ?

?
2

,? 0 ? ? ? ? ?

?
2 1 3

a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos( ? ? ? )

=







sin( ? ? ? ) ?

1 ? cos

2

(? ? ? ) ?

2 3

2

6分

因为: cos ? ?

1 7

,0 ? ? ?

?
2

,? sin ? ?

1 ? sin

2

? ?

4 3 7

8分

sin ? ? sin[ ? ? (? ? ? )] ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? sin( ? ? ? ) ?.10 分
4 3 ?2 21

=

4 3 7

?

1 3

?

1 7

?

2 3

2

?

2

??????????..12 分

16. 解: f ( x ) =

1 + sin x + co s x + sin 2 x 1 + s in x + c o s x

=

sin

2

x ? cos

2

x ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x 1 ? sin x ? cos x

=

(sin x ? cos x ) ? sin x ? cos x
2

1 ? sin x ? cos x
2 2 2 2

?

(sin x ? cos x )( 1 ? sin x ? cos x ) 1 ? sin x ? cos x

? sin x ? cos x ?4 分

= 2(

sin x ?

cos x ) ?

2 sin( x ?

?
4

)......... ......... 6 分

(1) T=

2?

?

? 2 ? ????????????????..8 分

(2) 由 x ? [ 0 , 2 ? ] 得: x ? 当x ? 当x ?
?
4 ? ?

?
4

?[

?
4

,

9? 4

]

?
2

,即 x ?

?
4

时,f(x)取得最大值 2 ????10 分
5? 4

?
4

3? 2

,即 x ?

时,(x)取得最小值 2 ????12 分

5

17. 解(1)方法 1:设圆 C 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? ,
2 2 2

1分

? (3 ? a ) ? ( 2 ? b ) ? r , ? 依题意得: ? (1 ? a ) 2 ? (6 ? b ) 2 ? r 2 , ?b ? 2 a. ?
2 2 2

4分

解得 a ? 2, b ? 4, r ? 5 .
2

7分
2

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 .
2

8分 2分

方法 2:因为 A ? 3, 2 ? 、 B ? 1, 6 ? ,所以线段 A B 中点 D 的坐标为 ? 2 , 4 ? , 直线 A B 的斜率 k A B ?
6?2 1? 3 ? ?2 , 1 2

3分

因此直线 A B 的垂直平分线 l ? 的方程是 y ? 4 ?
? x ? 2 y ? 6 ? 0, ? y ? 2x

? x ? 2 ? ,即 x ? 2 y ? 6

? 0.

4分

圆心 C 的坐标是方程组 ?
? x ? 2, ? y ? 4.

的解.

5分

解此方程组,得 ?

即圆心 C 的坐标为 ? 2 , 4 ? .

6分

圆心为 C 的圆的半径长 r ? A C ?
2

?3 ? 2?
2

2

? ?2 ? 4? ?
2

5 .

7分 8分

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 . (2)由于直线 l 经过点 P ? ? 1, 3 ? , 当直线 l 的斜率不存在时, x ? ? 1 与圆 C ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 相离.
2 2

9分

当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 1 ? , 即: kx ? y ? k ? 3 ? 0 . 10分

因为直线 l 与圆 C 相切,且圆 C 的圆心为 ? 2 , 4 ? ,半径为 5 ,所以有
2k ? 4 ? k ? 3 k ?1
2

?

5 .

解得 k ? 2 或 k ? ?

1 2


1 2

13分

所以直线 l 的方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? 或 y ? 3 ? ?

? x ? 1? ,

6

即: 2 x ? y ? 5 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 .

14分

18.证明: (1)由圆柱的性质知:AD 平行平面BCFE 又过 A D 作圆柱的截面交下底面于 B C . AD ∥ BC ?????..2 分 又 AE、DF 是圆柱的两条母线
AE ∥ D F , 且 A E = D F
?四 边 形 A D F 平 行 四 边 形 是E

AD∥EF

? B C // E F ???????????????????.4 分

(2)? 四边形 ABCD 是正方形? B C ? A B BC、AE 是平面 ABE 内两条相交直线

又 AE ? BC

? B C ? 平 面 A B E ????????????????9 分

? B C ? B E ????????????????????10分

(3)设正方形 ABCD 的边长为 x,则在 R t ? A E B中 有 : B E ? x ? 4
2 2

在 R t ? F E B中 有 : B E ? x ? 2 8 ? x ? 4 ???????12 分
2 2

由(2)可知: ? ABE 为二面角 A-BC-E 的平面角,所以 sin ? ABE ? 19. 解: 、 如图,在 Rt ? ABC中 (1)
S1 ? 1 2 a s in ? c o s ? =
2

AE AB

?

1 2

??14 分

A C = a? s i n
a s in 2 ?
2

,? A B = a c o s ,

1 4

-----------------------------4 分
,R C = xta n ?

设正方形的边长为 x
? x ta n?



BQ=

x ta n ?

+ x + x ta n? = a ? x =

a 1 ta n? + ta n? +1



a s in 2 ? 2 ? s in 2 ?

---------------6 分

? a s in 2 ? ? S2 ? x ? ? ? ----------------------------------------------7 分 ? 2 ? s in 2? ?
2

2

s (2) t ?i 、 n

2?

而S2 =

a sin

2

2

2?
2

4 ? 4 sin 2 ? ? sin

2?

?

S1 S2

?

1 4

(t ?

4 t

? 4)

-----10 分

∵0 < ? < 当t ? 1 时

?
2

,又 0 <2 ? < ? ,? 0< t ?1?
S1 S2

f (t ) ?

1 4

(t ?

4 t

? 4 ) 为减函数 –12 分

取得最小值为

9 4

此时 s in 2? ? 1 ? ? =

?
4

----------------14 分

20. 解: (1) OG ? OP ? PG ? OP ? ? PQ ? OP ? ? ( OQ ? OP )
? (1 ? ? ) OP ? ? OQ

.????????????????2 分

7

(2)一方面,由(1) ,得 OG ? (1 ? ? ) OP ? ? OQ ? (1 ? ? ) x OA ? ? y OB ;① 另一方面,∵ G 是△ OAB 的重心, ∴ OG ?
2 3 OM ? 2 3 ? 1 2 ( OA ? OB ) ? 1 3 OA ? 1 3 OB

. ② ????????4 分

1 ? (1 ? ? ) x ? , ? 3 而 OA 、 OB 不共线,∴由①、②,得 ? ???????6 1 ?? y ? . 3 ?



?1 ? 3 ? 3? , ?x ? 解之,得 ? 1 ? ? 3? . ? y ?

,∴

1 x

?

1 y

? 3 (定值) .???8 分

1

(3)

T

| OP | ? | OQ | sin ? POQ ? | OA | ? | OB | sin ? AOB
1 2 1 2 1 2

? 2 1 S 2

| OP | | OQ | ? ? xy | OA | | OB |

.???????10 分

由点 P 、 Q 的定义知 且x ?
x ? 1 2 2 3

? x ? 1,

? y ? 1,

时, y ? 1 ; x ? 1 时, y ? 时, y ?
4 9 ?
2

.此时,均有
? 4 9 x

T S

?

1 2



2 3

.此时,均有
? 1 2

T S

. ,

以下证明:
T S 4 9

T S
?

. (法一)由(2)知 y ?
(3 x ? 2 )
2

3x ? 1



?

?

x

4 9

3x ? 1
2

?

9 ( 3 x ? 1)

? 0 ,∴

T S

?

4 9

.????12 分



T S

?

1 2

?

x

3x ? 1

?

1 2

?

( x ? 1)( 2 x ? 1) 2 ( 3 x ? 1)

? 0

,∴

T S

?

1 2





T S

的取值范围 [

4 9

,

1 2
x
2

] .??????14



(法二)

T

? ? 1 ? 1 1 2? ? xy ? ? ?( x ? ) ? ? ? 1 S 3x ? 1 3 ? 3 3? 9( x ? ) ? ? 3 ? ?



令t ? x ?

1 3

,则

T S

?

1? 1 2? ? ? ?t ? 3? 9t 3?

,其中

1 6

?t ?

2 3


T S ? 1? 1 2? ? ? ?t ? 3? 9t 3?

利用函数单调性的定义可以证明: 关于 t 的函数
1 2 3

在闭区间 [

1 6

,

1 3

]

上单调递减,在闭区间 [ , ] 上单调递增.????12 分
3 1
1?1 1 2? 4 ?T ? ? ? ? ? ?? ∴ t ? 时, ? ? 3?3 3 3? 9 3 ? S ? min



8

而t ? ∴
T S

1 6

或t ?

2 3

时,均有 ?
4 9 , 1 2

1?1 2 2? 1 ?T ? ? ? ? ? ?? ? 3?6 3 3? 2 ? S ? max



的取值范围 [

] .??????14



9


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