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2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例课后提升训练(含解析)新人教A版选修1_1


生活中的优化问题举例 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.用长为 24m 的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方 体体积的最大值为 ( A.8m 3 70 分) ) 3 B.12m C.16m 3 D.24m 3 【解析】选 A.设长方体的底面边长为 xm, 则高为(6-2x)m, 所以 0<x<3,则 V=x ·(6-2x)=6x -2x , V′=12x-6x , 令 V′=0 得 x=2 或 x=0(舍), 所以当 x∈(0,2)时,V 是增函数, 当 x∈(2,3)时,V 是减函数, 所以当 x=2 时,Vmax=4×2=8(m ). 2.某工厂需要建一个面积为 512m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用 材料最省,则堆料场的长和宽各为 ( A.16 m,16 m C.32 m,8 m 【解析】选 B.如图所示, B.32 m,16 m D.16 m,8 m ) 2 3 2 2 2 3 设场地一边长为 xm,则另一边长为 L′=2- m.因此新墙总长度 L=2x+ (x>0), .令 L′=0,得 x=16 或 x=-16(舍去). 因为 L 在(0,+∞)上只有一个极值点, 所以它必是最小值点.因为 x=16,所以 =32. 故当堆料场的宽为 16m,长为 32m 时,可使砌墙所用的材料最省. 3. 已知 某生产厂家的年利 润 y( 单位 : 万元 ) 与年产 量 x( 单位 : 万件 ) 的函数关系 式为 1 y=- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( A.13 万件 2 3 ) D.7 万件 B.11 万件 C.9 万件 【解析】 选 C.y′=-x +81,令 y′=0,解得 x=9 或 x=-9(舍去).当 0<x<9 时,y′>0,当 x>9 时,y′ <0,所以当 x=9 时,y 取得最大值. 4.(2017 ·烟台高二检测 ) 若商品的年利润 y( 万元 ) 与年产量 x( 百万件 ) 的函数关系式 为:y=-x +27x+123(x>0),则获得利润最大时的年产量为 ( A.1 百万件 C.3 百万件 3 3 ) B.2 百万件 D.4 百万件 【解析】选 C.因为 y=-x +27x+123(x>0), 所以 y′=-3x +27=-3(x+3)(x-3)(x>0), 所以 y=-x +27x+123 在(0,3)上是增函数, 在(3,+∞)上是减函数, 故当 x=3 时,获得最大利润. 5.(2017·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,则其表面积最小时,底面 边长为 ( A. ) B. C. D.2 3 2 【解析】选 C.如图, 设底面边长为 x(x>0),则底面积 S= 所以 h= = . x, 2 S 表=x· ×3+ x ×2= 2 + x, 2 S′表= x- ,令 S′表=0 得 x= , 因为 S 表只有一个极值,故 x= 为最小值点. 2 6.如图,在等腰梯形 ABCD 中,CD=40,AD=40,梯形 ABCD 的面积最大时,AB 等 于 ( ) A.40 B.60 C.80 D.120 【 解 析 】 选 C. 设 ∠ BAD= θ , 则 AB=40+2 × 40cos θ , 梯 形 高 h=40sin θ , 从 而 梯 形 面 积 S=1600(1+cosθ )sinθ . 故 S′=1600(cosθ +cos2θ ). 令 S′=0,得 cosθ =-1(舍)或 cosθ = ,即θ = ,此时 AB=80,即当 AB=80 时,梯形有最大面积 1200 . 7.某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为 P 元,销售量为 Q,销售量 Q(单位:件)与零售价 P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P ,则最大毛利润为(毛 利润=销售收入-进货支出) ( A.30 元 C.28000 元 B.60 元 D.23000 元 ) 2 【解析】选 D.设毛利润为 L(P),由题意知 L(P)=PQ-20Q=Q(P-20) =(8300-170P-P )(P-20) =-P -150P +11700P-166000, 所 以 L ′ (P)=-3P -300P+11700, 令 L ′ (P)=0, 解 得 P=30 或 P=-130(舍去). 此时,L(30)=23000. 根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件 30 元时,最大毛利润为 23000 元. 8.(2017·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位的产品, 成本增加 100 元,若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)= 3 2 2 2 3 则当总利润最大时,每年生产产品的单位数 是 ( A.150 ) B.200 C.250 D.300 【解析】选 D.因为总利润 p(x)= 当 0≤x≤390 时,p′(x)=令 p′(x)=0,得 x=±300, x +300, 2 当 x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增, 当 x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减, 所以当 x=300 时,p(x)有最大值 40000 元, 当 x>390 时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000, 所以当 x=300 时,总利润最大. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 9.(2017·河源高二检测)把长为 60cm 的铁丝围成矩形,长为 时,矩形的面积最大. 【解析】设长为 xcm,则宽为(30-x)cm, 此时 S=x·(30-x)=30x-x ,令 S

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