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【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习:小题专项限时突破4.立体几何-含解析


二、小题专项,限时突破 4.立体几何 (时间:40 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.(2017· 湛江调研)若直线 l 与平面 α 相交,则( A.平面 α 内存在直线与 l 异面 B.平面 α 内存在唯一一条直线与 l 平行 C.平面 α 内存在唯一一条直线与 l 垂直 D.平面 α 内的直线与 l 都相交 [解析] 当直线 l 与平面 α 相交时,这条直线与该平面内任意一 条不过交点的直线均为异面直线,故 A 正确;该平面内不存在与直 线 l 平行的直线,故 B 错误;该平面内有无数条直线与直线 l 垂直, 所以 C 错误,平面 α 内的直线与 l 可能异面,故 D 错误,故选 A. [答案] A ) ) 2.(2017· 唐山一模)下列命题正确的是( A.若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平 面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行 [解析] A 选项中两条直线可能平行也可能异面或相交;对于 B 选项,如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ABB1A1 和平面 BCC1B1 与 B1D1 所成的角相等,但这两个平面垂直;D 选项中两平面 也可能相交.C 正确. [答案] C 3.(2018· 陕西部分学校第一学期摸底检测)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,形成的三棱 锥 C-ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( ) 1 2 2 A. B. C. 2 2 4 D. 1 4 [解析] 由三棱锥 C-ABD 的正视图、 俯视图得三棱锥 C-ABD 的侧视图为直角边长是 2 的等腰直角三角形,如图所示,所以三棱 2 1 锥 C-ABD 的侧视图的面积为 ,故选 D. 4 [答案] D ) 4.在空间中,下列命题正确的是( A.互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行 的两条直线 B.若平面 α∥平面 β,则平面 α 内任意一条直线 m∥平面 β C.若平面 α 与平面 β 的交线为 m,平面 α 内的直线 n⊥m,则 直线 n⊥平面 β D.若平面 α 内的三点 A,B,C 到平面 β 的距离相等,则 α∥β [解析] 若直线与平面垂直,其射影是点,故 A 错误;由两平面 平行的定义可知,平面 α 内任意一条直线 m∥平面 β,故 B 正确;若 平面 α 与平面 β 的交线为 m,平面 α 内的直线 n⊥m,只有当平面 α⊥ 平面 β 时,才有直线 n⊥平面 β,故 C 不正确;若平面 α 内的三点 A, B,C 到平面 β 的距离相等,则 α 与 β 相交或平行,故 D 不正确.故 选 B. [答案] B 5.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直,且 AB= 5, BC= 7,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为( ) 8 8 2 16 32 A. π B. π C. π D. π 3 3 3 3 [ 解析 ] 设三条侧棱的长度分别为 x , y , z ,故由已知可得 ? ? ?x +z =7, ? ?y +z =4, 2 2 2 2 x2+y2=5, 所以 x2 + y2 + z2 = 8. 故三棱锥的外接球半径 r = 1 2 1 4π 8 2π x2+y2+z2= × 8= 2, 故三棱锥的外接球的体积 V= r3= . 2 3 3 故选 B. [答案] B 6.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,AA1=2, AC=BC=1,则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是( ) A. C. 6 3 6 6 B. D. 6 5 10 5 [解析] 因为 AC∥A1C1,所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直 线 A1B 与 AC 所成的角,连接 BC1,在△BA1C1 中,A1B= 6,A1C1 6+1-5 6 =1,BC1= 5,cos∠BA1C1= = . 2× 6×1 6 [答案] C 7.过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分,所得几何体的三视图如 图所示,则原圆锥的体积为( ) A.1 4π C. 3 [解析] 2π B. 3 8π D. 3 由三视图可得底面圆的半径为 3+1=2,圆锥的高为 1 8π 5-1=2,所以原圆锥的体积为 π×22×2= ,故选 D. 3 3 [答案] D 8.(2017· 连城一模)已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A ?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α,m∥β,则下列四种位置 关系中,不一定成立的是( A.AB∥m C.AB∥β ) B.AC⊥m D.AC⊥β [解析] 因为直线 m∥α,m∥β,α∩β=l,所以 m∥l,所以 AB∥m 正确,AC⊥m 正确;根据线面平行的判定定理可得 AB∥β 正确;当直 线 AC 不在平面 α 内时,尽管 AC⊥l,AC 与平面 β 可以平行,也可以 相交(不垂直),所以 AC⊥β 不一定成立.故选 D. [答案] D 9.(2017· 潍坊一模)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1 ⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 的中点, 则下列叙述正确的是( ) A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E [解析] 对于 A,CC1 与 B1E 均在侧面 BCC1B1 内,又两直线不 平行,故相交,A 错误;对于 B,AC 与平面 ABB1A1 所成的角为 60° , 所以 AC 不垂直于平面 ABB1A1,故 B 错误;对于 C,AE⊥BC,BC∥ B1C1,所以 AE⊥B1C1,故

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