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福建安徽版01期2014届高三名校数学理试题分省分项汇编专题10立体几何Word版含解析


一.基础题组

1.【福建省漳州市四地七校 2013 届高三 6 月模拟考数学(理)】某几何体的三视图如下,则

该几何体的体积是( )

A.124

B.144

C.192

D.256

2.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学 2013 届高三下学期第二次联考数学试题(理)】一

个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的体积是

()

A. 8?

B.12?

C.14?

D.16?

3.【福建省三明市 2013 年普通高中 5 月毕业班质量检查(理)】某四棱锥的三视图如图所示,

则该四棱锥的体积是





A. 5 3

B. 2 3

C. 5 3 3

D. 2 3 3

4.【安徽省 2013 年马鞍山三模(理)】右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都

是一个两底长分别为 2 和 4 ,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的表面积是(

).

(A)12?

(B)13?

(C)15?

(D)17?

正(主)视图 侧(左)视图 俯视图

5.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(理)】已知某几何体的三视图如图所示,

其中正视图中半圆的直径为 2,则该几何体的体积为( )

A. 24 ? ?
3

B. 24 ? ?
2

C. 24 ? 3 ?
2

D. 24 ??

6.【福建省漳州市四地七校 2013 届高三 6 月模拟考数学(理)】设 l, m, n 是三条不同的直线,

? , ? ,? 是三个不同的平面,则下列命题不正确的是(



A.若 l ∥ m , m ∥ n ,则 l ∥ n C.若 l ∥? , m ? ? ,则 l ∥ m

B.若? ∥ ? , ? ∥? ,则? ∥ ? D.若 l ∥? , m ∥? ,则 l 不一定平行于 m

7.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学 2013 届高三下学期第二次联考数学试题(理)】已

知 l, m 为两条不同的直线,? 为一个平面.若 l //? ,则“ l // m ”是“ m //? ”的( )

A.充分不必要条件 C. 充要条件

B.必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

8.【2013 年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺

寸如图所示,则该三棱锥的俯视图的面积为

.

9.【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理)】已知一几何体的三视图如图

所示,则该几何体的体积为

.

二.能力题组

1.【2013 年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】已知命题“直线 l 与平面? 有公共点”

是真命题,那么下列命题:

①直线 l 上的点都在平面? 内;

②直线 l 上有些点不在平面? 内;

③平面? 内任意一条直线都不与直线 l 平行.

其中真命题的个数是( )

A.3

B. 2

C.1

D.0

2.【福建省三明市 2013 年普通高中 5 月毕业班质量检查(理)】如图,在几何体 ABCDE中, BE ? 平面 ABC, CD // BE , ?ABC是等腰直角三角形, ?ABC ? 900 ,且 BE ? AB ? 2 , CD ? 1,点 F 是 AE 的中点.
(Ⅰ)求证: DF // 平面 ABC; (Ⅱ)求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) 2 .
3
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证法一是取 AB 的中点 G ,构造四边形 FGCD ,并证明四边形 FGCD 为平 行四边形,得到 DF //CG ,从而证明 DF // 平面 ABC ;证法二是取 BE 的中点 M ,构造平 面 DFM ,通过证明平面 DFM // 平面 ABC ,并利用平面与平面平行的性质来证明 DF // 平 面 ABC ;(Ⅱ)直接利用空间向量法求直线 AD 与平面 BDF 所成角的正弦值. 试题解析:解法一:(Ⅰ)取 AB 的中点 G ,连结 CG, FG ,

则 B(0,0,0) , A(2,0,0) , C(0,2,0) , D(0,2,1) , E(0,0,2) , F(1,0,1) ,

解法二:(Ⅰ)取 BE的中点 M ,连结 MD, MF ,
3.【福建省漳州市四地七校 2013 届高三 6 月模拟考数学(理)】(本小题满分 13 分)
如图, AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, ?BAC ? 30?, BM ? AC 交 AC 于点 M , EA ? 平面 ABC, FC // EA, AC ? 4,EA ? 3,FC ? 1 .

(1)证明: EM ? BF ; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

(2)解法一:常规几何方法
??FCH 是等腰直角三角形, ?FHC ? 45? .

? 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 . 2
解法二:空间向量方法

?
则 cos? ? cos ? n, AE ? ?

3 ?0 ?1?0 ? 2?3 ?

2,

3?2 2

2

? 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 . 2
考点:1.线面垂直、线线垂直的证明方法,2.二面角的平面角的求解.

4.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(理)】(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 A? BCD 中, ?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3 , BC ? CD ? 6,设顶点 A 在 底面 BCD 上的射影为 E . (Ⅰ)求证: CE ? BD ; (Ⅱ)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA ,试求二面角 C ? EG ? D 的余弦值.

方法二: 由(I)的证明过程知

为正方形,如图建立坐标系,

则 E(0, 0, 0) ,F(0, 6, 0) A(0, 0, 6) ,B(6, 0, 0) C(6, 6, 0) ,可得 G(2, 2, 4) ,…………………8



uuur

uuur

则 ED ? (0,6,0) , EG ? (2, 2, 4),易知平面

uuur 的一个法向量为 BD ? (?6,6,0) ,设平面

的一个法向量为 n ? ? x, y,1? ,则由

uuur

??n ?

?

ED uuur

?

0



n

?

??2,

0,1?

………………………10



??n? EG ? 0

uuur 则 cos ? BD, n ??

uuur BD ? n uuur

?

BD ? n

10 5 ,即二面角

的余弦值为 10 .………… 12 5

分 考点:1.垂直关系的证明;2.二面角;3.空间向量.

5.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试数学(理)】(本小题满分 12 分)如图,几

何体 ABCD ? B1C1D1 中,四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , AB ? a ,面 B1C1D1 ∥面

ABCD, BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点, F 为 AB

的中点.
(1)求几何体 ABCD ? B1C1D1 的体积; (2)求证: ?DB1E 为等腰直角三角形; (3)求二面角 B1 ? DE ? F 的大小.

【答案】(1)几何体

ABCD

?

B1C1D1 的体积为

56 12

a3

;(2)

详见试题解析;(3)二面角 B1 ? DE ? F 的大小为 45? .
【解析】

试题分析:(1)将几何体 ABCD ? B1C1D1 补成如图的直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 ,利用 VABCD?B1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VA? A1B1D1 计算几何体 ABCD ? B1C1D1 的体积;(2)详见试题解析; (3)取 DB1 的中点 H ,因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OH ∥ BB1 ,以 OA,OB,OH
分别为

(3)取 DB1 的中点 H ,因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OH ∥ BB1 ,以 OA,OB,OH 分别为 x, y, z 轴建立坐标系,则

D(0, ? a , 0), E(? 2

3 a, 0, 2

2

a

2 a), B1(0, 2 ,

2a), F( 3 a, a , 0) ,所以 44

EB1 ? (

3 a, a , 22

2 a), DF ? ( 2

3 a, 3 a, 0) . 44

CC1 ? 平面 ABCD ,?CC1 ? DF ,

F为



6. 【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理)】(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 A ? BCDE 中,侧面 ?ADE 是等边三角形,在底面等腰梯形 BCDE 中, CD / /BE ,DE ? 2 ,CD ? 4,?CDE ? 600 ,M 为 DE 的中点,F 为 AC 的中点,AC ? 4 . (1)求证:平面 ADE ?平面 BCD ; (2)求证: FB / / 平面 ADE .
试题解析:(Ⅰ)∵ ?ADE 是等边三角形, M 是 DE 的中点, ∴ AM ? DE , AM ? 3 .……2 分

(Ⅱ)取 DC 的中点 N ,连接 FN, NB .
7.【安徽省屯溪一中 2014 届高三第一次月考数学(理)】(本小题 12 分)如图:四棱锥 P—ABCD
中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD= 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边
BC 上移动. (1)证明:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF; (2)当 BE 等于何值时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

试题解析:解:(1) 建立如图所示空间直角坐标系,

则 P(0,0,1),B(0,1,0),

F(0, 1 , 1), D( 3,0,0) 设 BE ? x,则E(x,1,0) 22

PE ? AF ? (x,1,?1) ? (0, 1 , 1) ? 0 ∴AF⊥PE 22

(2)设平面

PDE

的法向量为

m

?

(

p,

q,1)

,由

?? ?

m

?

PD

?

0

得 m ? ( 1 ,1?

x ,1) ,而

??M ? PE ? 0

33

AP ? (0, 0,1) ,

8.【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)】(本小题共 12 分)如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC =1, E 是 PC
的中点.
(1)证明平面 BDE ? 平面 PBC ; (2)求二面角 E ? BD ?C 的余弦值.
∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? AD .又由于 AD ? CD , PD CD ? D ,故 AD ? 底面 PCD ,

所以有 AD ? DE .又由题意得 AD // BC ,故 BC ? DE .
9.【安徽省 2013 年马鞍山三模(理)】(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,AB ? 平面 BCE , DC ? 平面 BCE , AB ? BC ? CE ? 2CD ? 2 , ?BCE ? 2? .
3 (Ⅰ)求证:平面 ADE ? 平面 ABE ; (Ⅱ)求二面角 A ? EB ? D 的大小.

试题解析:(Ⅰ)证明:取 BE 的中点 O , AE 的中点 F ,连 OC ,OF , DF ,则 2OF / /BA
从而平面 ABE ? 平面 ABE . ………………………………………………………… ………………6 分

以 O 为原点建立如图空间直角坐标系 O ? xyz ,
? ? ? ? ? ? 则由已知条件有: A 0, 3,2 , B 0, 3,0 , C ?1,0,0?, D?1,0,1?, E 0,? 3,0 ,
设平面 ADE 的法向量为 n ? ? x1, y1, z1 ? ,
? ? 则由 n? EA ? ? x1, y1, z1 ?? 0, 2 3, 2 ? 2 3y1 ? 2z1 ? 0. ? ? 及 n ? EA ? ? x1, y1, z1 ?? ?1, 3,1 ? ?x1 ? 3y1 ? z1 ? 0.
? ? 可取 n ? 0,1, ? 3

三.拔高题组

1.【安徽省 2013 年马鞍山三模(理)】如图,设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从顶点

A 出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,截去 8 个三棱锥,所得的各

截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:

① 有12 个顶点;

② 有 24 条棱;

③ 有12 个面;

④ 表面积为 3a2 ; 其中正确的结论是

⑤ 体积为 5 a3 . 6
(写出所有正确结论的编.号.).

2.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试数学(理)】如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C?D? 的棱长为 1, E, F 分别是棱 AA? , CC? 的中点,过直线 EF 的平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M , N ,设 BM ? x , x ?[0,1] ,给出以下四个命题:

①平面 MENF ? 平面 BDD?B?;

②当且仅当 x ? 1 时,四边形 MENF 的面积最小; 2

③四边形 MENF 周长 L ? f (x) , x ?[0,1] 是单调函数;

④四棱锥 C? ? MENF 的体积V ? h(x) 为常函数;

以上命题中真.命.题.的序号为



【答案】①②④.

【解析】

试题分析:①连结 BD , B?D? ,则由正方体的性质可知,EF ? 平面 BDD?B? ,所以平面 MENF ?

平面

3.【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理)】如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G ,已知 ?A'DE ( A' ?平面 ABC )是 ?ADE 绕 DE
旋转过程中的一个图形,有下列命题:

①平面 A'FG ? 平面 ABC ;

② BC //平面 A'DE ;

③三棱锥 A' ? DEF 的体积最大值为 1 a3 ; 64

④动点 A' 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上;

⑤二面角 A' ? DE ? F 大小的范围是[0, ? ]. 2

其中正确的命题是

(写出所有正确命题的编号).

【答案】①②③④ 【解析】

4.【2013 年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】如图,已知多面体 EABCDF的底面 ABCD是边长为 2 的正方形, EA ? 底面 ABCD, FD// EA,且 FD ? 1 EA ? 1.
2 (Ⅰ)求多面体 EABCDF的体积; (Ⅱ)求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值; (Ⅲ)记线段 BC 的中点为 K,在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线与平面 ECF 平行,要求保
留作图痕迹,但不要求证明.

(Ⅱ)以点 A 为原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系, 如图.由已知可得 A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),

5.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学 2013 届高三下学期第二次联考数学试题(理)】(本 小题满分 13 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为等腰直角三角形,∠B = 900, D 为棱 BB1 上一点,且面 DA1 C⊥面 AA1C1C.

求证:D 为棱 BB1 中点;(2)

AA1 AB

为何值时,二面角 A

-A1D



C 的平面角为 600.


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