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2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习:第三章1.2 椭圆的简单性质(一)1 Wo


[基础达标] 1.椭圆 x +8y =1 的短轴的端点坐标是( A.(0,- 2 2 ),(0, ) 4 4 2 2 ) B.(-1,0),(1,0) C.(2 2,0),(-2 2,0) D.(0,2 2),(0,-2 2) y2 1 2 解析:选 A.椭圆方程可化为 x + =1,焦点在 x 轴,b2= ,b= ,故椭圆的短轴的 1 8 4 8 2 端点坐标为(0,- 2 2 ),(0, ). 4 4 2.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点 坐标为( ) B.(0,±10) D.(0,± 69) A.(± 13,0) C.(0,±13) (0,± 69). 3.椭圆(m+1)x2+my2=1 的长轴长是( 2 m-1 A. m-1 2 m C. m 解析:选 C.将椭圆化为标准方程为 ) -2 -m B. m 2 1-m D.- m-1 x2 y2 + =1, 1 1 m+1 m 解析:选 D.由题意知焦点在 y 轴上,a=13,b=10,∴c2=a2-b2=69,故焦点坐标为 则必有 m>0. ∵m+1>m>0,∴ 1 1 < . m+1 m 1 m 2 m ∴a2= ,a= ,2a= . m m m 4.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,一个焦点的坐标是(3,0),则 椭圆的标准方程为( x y A. + =1 9 16 x2 y2 C. + =1 16 25 2 2 ) x2 y2 B. + =1 25 16 x2 y2 D. + =1 16 9 解析:选 B.2a+2b=18,即 a+b=9,又 c=3,∴9=a2-b2,∴a-b=1,∴a=5,b x2 y2 =4,又焦点在 x 轴,故椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 x2 y2 5.如图,A、B、C 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90°,则该 a b 椭圆的离心率为( ) -1+ 5 A. 2 C. 2+1 2 B. 5-1 D. 2+1 a b 解析:选 A.Rt△AOB∽Rt△BOC,∴ = ,即 b2=ac, b c 又 b2=a2-c2,∴a2-c2=ac, 即 c2+ac-a2=0, ∴e2+e-1=0,又 e∈(0,1), -1+ 5 ∴e= . 2 3 6.已知椭圆的长轴长为 20,离心率为 ,则该椭圆的标准方程为________. 5 c 3 解析:2a=20,a=10,e= = ,∴c=6,b2=a2-c2=64. a 5 x2 y2 y2 x2 故椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 100 64 100 64 x2 y2 y2 x2 答案: + =1 或 + =1 100 64 100 64 7. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列 ,则该椭圆的离心率是 ________. 解析:由题意 2a,2b,2c 成等差数列,即 a,b,c 成等差数列, b ∴2b=a+c①,又 b2=a2-c2=(a+c)(a-c),∴a-c= ② 2 ?a= 4 c 3 由①②可得? ,∴e= = . a 5 3b ?c= 4 3 答案: 5 y2 x2 x2 y2 8.已知与椭圆 + =1 有相同的离心率且长轴长与 + =1 的长轴长相同的椭圆的标 4 3 8 3 准方程为________. y2 x2 1 x2 y2 解析:易求得椭圆 + =1 的离心率为 ,椭圆 + =1 的长轴长为 4 2,设所求椭 4 3 2 8 3 5b c 1 1 圆的半长轴,半短轴,半焦距,离心率依次为 a,b,c,e 则 a=2 2,e= = ,∴c= a= a 2 2 2,∴b2=a2-c2=8-2=6. x2 y2 y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 8 6 8 6 x2 y2 y2 x2 答案: + =1 或 + =1 8 6 8 6 9.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 焦点坐标、顶点坐标. x2 y2 解:椭圆方程可化为 + =1, m m m+3 m(m+2) m ∵m- = >0, m+3 m+3 m m ∴m> ,即 a2=m,b2= ,c= a2-b2= m+3 m+3 由 e= 3 得 2 m+2 3 = ,∴m=1. m+3 2 m(m+2) . m+3 3 , 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、 2 y2 ∴椭圆的标准方程的 x2+ =1. 1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= . 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;两焦点坐标分别为(- 3 3 ,0),( ,0); 2 2 1 1 四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),(0,- ),(0, ). 2 2 1 10.已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e= . 2 求椭圆 E 的方程. x2 y2 1 c 1 解: 设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). 由 e= , 即 = , 得 a=2c, b2=a2-c2=3c2, a b 2 a 2 x2 y2 ∴椭圆方程可化为 2+ 2=1. 4c 3c 1 3 将 A(2,3)代入上式,得 2+ 2=1,解得 c2=4, c c x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 [能力提升] x y 1.椭圆 2+ 2=1(a>b>0),B 为上顶点,F 为左焦点,A 为右顶点,且右顶点 A 到直线 a b FB 的距离为 2b,则该椭圆的离心率为( A. 2 2 ) B.2- 2 2 2 C. 2-1 D. 3- 2 |ab+bc| x y 解析:选 C.A(a,0),直线 BF 的方程为 + =1, 即 bx-cy+bc=0, 由题意得 2 2 b -c b +c a+c c c = 2b,即 = 2,1+ =

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