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【金版学案】2015届高考数学总复习 第七章 第五节椭圆(一)课时精练 理


第五节
1.(2013·海淀模拟)2<m<6 是方程 A.充分不必要条件 C.充要条件


x2

圆 (一)
y2
)

+ =1 表示椭圆的( m-2 6-m B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

m-2>0, ? ? 解析:若 + =1 表示椭圆,则有?6-m>0, m-2 6-m ? ?m-2≠6-m, x2 y2
所以 2<m<6 且 m≠4. 故 2<m<6 是 答案:B 2.椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若 3 △ABF2 的周长为 20,离心率为 ,则椭圆方程为( 5 A. + =1 25 9 ) + =1 表示椭圆的必要不充分条件.故选 B. m-2 6-m

x2

y2

x2 y2 a b

x2

y2

B. + =1 25 16 D. + =1 16 25

x2

y2

C. + =1 9 25

x2

y2

x2

y2

c 3 2 2 2 解析:由椭圆的定义知 4a=20,∴a=5,又 = ,∴c=3,从而 b =a -c =16.∴椭 a 5
圆方程为 + =1.故选 B. 25 16 答案:B 3.(2013·韶关调研)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2
2 2

x2

y2

y 1 2 2 2 解析:将原方程变形为 x + =1,由题意知 a = ,b =1, 1 m m
所以 a= 答案:A 4.已知椭圆 +y =1,F1,F2 为其两焦点,P 为椭圆上任一点.则|PF1|·|PF2|的最大 4 值为( ) A.6 B.4 C.2 D.8 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=4,|PF1|·|PF2|=mn≤? 1 ,b=1,所以 1 1 =2,所以 m= . 故应选 A. m 4

2

m

x2

2

?m+n?2=4,当且 ? ? 2 ?
1

仅当 m=n=2 时 ,等号成立.故选 B. 答案:B 5.已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,则动 点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|.又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆定义知,点 P 的轨迹是椭圆.故选 B. 答案:B 6.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 P,F1,F2 是一 16 9 个直角三角形的三个顶点,P 为直 角顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) 9 9 7 9 A. B.3 C. D. 5 7 4
?|PF1|+|PF2|=8, ? 解析:由题意? 2 2 ? ?|PF1| +|PF2| =4×7, ∴|PF1||PF2|=18. 1 1 9 7 又 S△PF1F2= ×18= ×2 7×h(其中 h 为 P 到 x 轴的距离),∴h= .故选 C. 2 2 7 答案:C
2 2

x2

y2

7. (2013·大纲全国 卷)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且 4 3 直线 PA2 斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( ) ?1 3? ?3 3? A.? , ? B.? , ? ?2 4? ?8 4? ?1 ? ?3 ? C.? ,1? D.? ,1? ?2 ? ?4 ? 解析: 椭圆的左、 右顶点分别为(-2,0), (2,0), 设 P(x0, y0), 则 kPA1·kPA2= =

x2 y2

y0 y0 · x0+2 x0-2

x0 y0 3 3 2 2 ,而 + =1,即 y0= (4-x0),所以 kPA1·kPA2=- ,因为-2≤kPA2≤-1, x -4 4 3 4 4 3 3 3 ? ? 所以 kPA1=- ∈? , ?.故选 B. 4kPA2 ?8 4? 答案:B
2 0

y2 0

2

2

2 . 2 过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 ________________. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1, F2 在 x 轴 上, 离心率为

2

解析: 设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). 2 2 b 因为离心率为 ,所以 = 1- 2, 2 2 a 2 b 1 2 2 解得 2= ,即 a =2b . a 2 又△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|) +(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2, 所以椭圆方程为 + =1. 16 8 答案: + =1 16 8
2

x2 y2 a b

x2

y2

x2

y2

9.与椭圆 + =1 共焦点,且过 M(3,-2)的椭圆方程为___ ______________. 9 4 解析:∵c =9-4=5,∴设所求椭圆方程为 2+
2

x2 y2

x2 y2 2 =1,代入(3,-2)得 a =15 或 2 a a -5

a2=3(舍去).
∴所求方程为 + =1. 15 10 答案: + =1 15 10

x2

y2

x2

y2

π 10.(2013·上海卷)设 AB 是椭圆 P 的长轴,点 C 在 P 上,且∠CBA= ,若 AB=4,BC 4 = 2,则 P 的两个焦点之间的距离为________. 解析:不妨设椭圆 P 的标准方程为 + 2=1,不妨设点 C 在第一象限,坐标为 C(x0, 4 b

x2 y2

y0),依题意有?

?2-x0=y0, 2 2 =( 2) , ?(2-x0)2+y0

4 4 6 2 可得 C(1,1),以上得 b = ,所以 2c= . 3 3 答案: 4 6 3

3

11.已知如图,

椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P,F1、F2 为椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ ,则△PF1F2 的 面积等于________. 解析:在△PF1F2 中,由余弦定理得: 2 2 2 2|PF1|·|PF2|·cos θ =|PF1| +|PF2| -|F1F2| 2 2 =(|PF1|+|PF2|) -2|PF1|·|PF2|-|F1F2| 2 2 2 2 2 =(2a) -2|PF1|·|PF2|-(2c) (其中 c =a -b ). 2 所以|PF1|·|PF2|·(1+cos θ )=2b , 1 所以 S△F1PF2= |PF1|·|PF2|·sin θ 2 2 1 2b θ 2 = · ·sin θ =b tan . 2 1+cos θ 2 θ 2 答案:b tan 2

x2 y2 a b

y2 x2 ?x1 y1? n=?x2,y2?, 12. 设 A(x1, y1), B(x2, y2)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的两点, m=? , ?, ?b a? a b ?b a? ? ?
且满足 m·n=0,椭圆的离心率 e= 3 ,短轴长为 2,O 为坐标原点. 2

(1)求椭圆的方程; (2)若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值. 解析:(1)由 2b=2,b=1,e= = 故椭圆的方程为 +x =1. 4 (2)设 AB 的方程为 y=kx+ 3,

c a

a2-b2 3 = ,解得 a=2,c= 3. a 2

y2

2

? ?y=kx+ 3, 由?y2 2 +x =1 ? ?4

得(k +4)x +2 3kx-1=0.

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 -2 3k -1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k +4 k +4 由已知 0=m·n=

x1x2 y1y2 1 2 + 2 =x1x2+ (kx1+ 3)(kx2+ 3) b a 4

4

3k 3 ? k? =?1+ ?x1x2+ (x1+x2)+ 4 4 ? 4? 1 ? k2+4 ? 3k -2 3k 3 ·?- 2 ?+ · 2 + , k + 4 4 k +4 4 ? ? 4 解得 k=± 2. = 13.(2013·北京卷)已知 A、B、C 是椭圆 W: +y =1 上的三个点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解析:(1)椭圆 W: +y =1 的右顶点 B 的坐标为(2,0).因为四边形 OABC 为菱形,所 4 1 3 2 以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得 +m =1,即 m=± ,所 4 2 1 1 以菱形 OABC 的面积是 |OB|·|AC|= ×2×2|m|= 3. 2 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形.因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0). 2 2 ?x +4y =4, ? 2 2 2 由? 消去 y 并整理得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0. ?y=kx+m ? 设 A(x1,y1),C(x2,y2), x1+x2 4km y1+y2 x1+x2 m 则 =- =k· +m= 2, 2. 2 1+4k 2 2 1+4k ? 4km 2, m 2? . 所以 AC 的中点为 M?- ? ? 1+4k 1+4k ? 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为- . 4k ? 1? 因为 k·?- ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直.所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. ? 4k? 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是 菱形 .

2

x2

2

x2

2

x y → → 14. 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(3,1), 其左、 右焦点分别为 F1, F2, 且F1P·F2P a b
=-6. (1)求椭圆 E 的方程. (2)若 M, N 是直线 x=5 上的两个动点, 且 F1M⊥F2N, 则以 MN 为直径的圆 C 是否过定点? 请说明理由. → → 解析:(1)设点 F1,F2 的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0),则F1P=(3+c,1),F2P=(3 -c,1), → → 2 故F1P·F2P=(3+c)(3-c)+1=10-c =-6,可得 c=4,所以 2a=|PF1|+|PF2|= 2 2 2 2 (3+4) +1 + (3-4) +1 =6 2, 2 2 2 故 a=3 2,b =a -c =18-16=2, 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 18 2 → → (2)设 M,N 的坐标分别为(5,m),(5,n),则F1M=(9,m),F2N=(1,n),
5

2

2

x2

y2

→ → → → 又F1M⊥F2N,可得F1M·F2N=9+mn=0,即 mn=-9, ? m+n?,半径为|m-n|, 又圆 C 的圆心为?5, 2 ? 2 ? ? m + n ? ?2=?|m-n|?2, 2 故圆 C 的方程为(x-5) +?y- ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 即(x-5) +y -(m+n)y+mn=0, 2 2 也就是(x-5) +y -(m+n)y-9=0, 令 y=0,可得 x=8 或 2, 故圆 C 必过定点(8,0)和(2,0).

6


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