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安徽省六安市第一中学2019-2020年高一数学下学期期末考试试题 理(含解析)


六安一中 2017~2018 年度高一年级第二学期期末考试 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 数列-1,3,-5,7,-9,…的一个通项公式为( A. 【答案】C 【解析】 【解析】首先是符号规律: ,再是奇数规律 ,因此 ,选 C. B. C. ) D.

点睛:由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想 (联想常见的数列)等方法. (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项 的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找 分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用 2. 已知数列 A. 【答案】B 【解析】 分析:根据前几项,确定数列的周期,然后求解数列的项. 详解:数列{an}满足 , , B. 中, C. -1 , D. 2 ,则 等于( ) 处理.

可得 a2=﹣1,a3=2,a4= ,所以数列的周期为 3, =a3×672+2= a2=﹣1, 故选:C. 点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出 这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再 归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,
-1-

或用累加法、累乘法、迭代法求通项. 3. 已知数列 ( A. 4 ) B. 5 C. 24 D. 25 满足: , , ,那么使 成立的 的最大值为

【答案】C 【解析】 分析:由题意知 an2 为首项为 1,公差为 1 的等差数列,由此可知 an= ,再结合题设条件解不 等式即可得出答案. 详解:由题意 an+1 ﹣an =1, ∴an 为首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴an2=1+(n﹣1)×1=n,又 an>0,则 an= , 由 an<5 得 <5, ∴n<25. 那么使 an<5 成立的 n 的最大值为 24. 故选:C. 点睛:本题考查数列的性质和应用,考查了不等式的解法,解题时要注意整体数学思想的应 用. 4. 已知数列 的值为( A. ) C. 2 D. 是公差不为 0 的等差数列,且 , , 为等比数列 的连续三项,则
2 2 2

B. 4

【答案】A 【解析】 分析:数列{an}是公差 d 不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项,可得 =a1?a7,化简可得 a1 与 d 的关系.可得公比 q= .即可得出 = .

详解:数列{an}是公差 d 不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项, ∴ =a1?a7,可得 =a1(a1+6d) ,化为:a1=2d≠0.

-2-

∴公比 q= =

= =2.



= = .

故选:A. 点睛:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 5. 若 A. C. 【答案】C 【解析】 分析: 先根据 a 的范围确定 a 与 的大小关系, 然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集. 详解:∵0<a<1, ∴a< , 而 ∴ 故选:C. 点睛: (1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断 对应方程根的情况,然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首 先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即判别式的符号进行分类,最后 当根存在时,再根据根的大小进行分类. 6. 已知 A. 【答案】B 【解析】
-3-

,则不等式 B. D.

的解集是(



是开口向上的二次函数,大于零的解集在两根之外 的解集为{x| }

,且 B.

,则下列不等式一定成立的是( C. D.



分析:利用不等式性质,指数函数的单调性,特值法逐一判断即可. 详解:a,b∈R,且 ,

a2﹣b2=(a+b) (a﹣b) ,若 a<0,b<0,则 a+b<0,a﹣b>0,a2﹣b2<0,A 不一定成立; 函数 y=2x 在 R 上递增,且 ,∴ ,即 ,B 正确;

若 a=2π ,b=0,则 cos2π =cos0=1,B 不一定成立; 若 a<0,b>0,则 < ,C 不一定成立; 若 a=0,b=2π ,则 cos2π =cos0=1,D 不一定成立; 故选:B. 点睛:不等式的性质及其应用: (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说 明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找 到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如 对数函数,指数函数的性质等. 7. 已知点 A. 【答案】C 【解析】 【分析】 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用点到直线的距离公式即可得到结论. 【详解】作出不等式组对应的平面区域, B. 2 ,若动点 C. 的坐标满足 D. ,则 的最小值为( )

-4-

...........................

由图象可知点 A 到直线 x+y=2 的距离最小, 此时 d= = ,

即|PA|的最小值为 , 故选:C. 【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还 是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 8. 若 A. C. 【答案】D 【解析】 分析:由条件得到 =﹣2, =﹣3,从而 较大小即可. 详解:∵ax2+bx+c<0 的解集为 , ,利用二次函数的图象与性质比 的解集为 B. D. ,则对于函数 应有( )

∴﹣1,3 是 ax2+bx+c=0 的两个实数根,且 a<0. ∴﹣1+3= ,﹣1×3= .

化为 =﹣2, =﹣3.

-5-

∴函数

=a

=a(-3x ﹣2x+1)= .

2



∵a<0,抛物线开口向上,且对称轴为 x= ∴离轴越近,值越小. 又 ∴ 故选:D. , ,

点睛:本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次 函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 9. 已知 A. 【答案】C 【解析】 分析:因为 P2﹣Q2=﹣ ≤0,所以 P2≤Q2,则 P≤Q, ,且 B. , C. ,则 , 的关系是( D. )

详解:因为 a,b∈R,且 P=

,Q=



所以 P = 则 P ﹣Q =
2 2

2

,Q = ﹣ =

2

, =﹣ ≤0,

当且仅当 a=b 时取等成立, 所以 P ﹣Q ≤0,即 P ≤Q ,所以 P≤Q, 故选:C. 点睛:比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有 理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作 差. (2)作商法: 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论.
-62 2 2 2

(3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得 出大小关系. (4)借助第三量比较法 10. 已知 , 满足 A. 【答案】A 【解析】 分析:该问题是已知不等关系求范围的问题,可以用待定系数法来解决. 详解:设 α +3β =λ (α +β )+v(α +2β ) =(λ +v)α +(λ +2v)β . 比较 α 、β 的系数,得 从而解出 λ =﹣1,v=2. 分别由①、②得﹣1≤﹣α ﹣β ≤1,2≤2α +4β ≤6, 两式相加,得 1≤α +3β ≤7. 故 α +3β 的取值范围是[1,7]. 故选:A 点睛:本题考查待定系数法,考查不等式的基本性质,属于基础题. 11. 已知数列 A. 【答案】C 【解析】 分析:an= = ,而 a7= = ,a8= = ,比较 a7 与 a8 即可得出. B. 的通项为 C. ,则数列 D. 不存在 的最大值为( ) , B. C. ,则 D. 的取值范围是( )

详解:∵an= 而 a7<a8,

=

,而 a7=

=

,a8=

= ,

∴数列{an}的最大项为 a8 故选:C.



-7-

点睛:本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质,属于基础题. 12. 设正数 ,满足 则 的取值范围是( A. 【答案】C 【解析】 分析:将不等式因式分解可得 >2,则有 合条件 详解: ∴ ∴ 由于解集中整数解恰有 4 个,则 a>2, ∴ 则四个整数解为-3,﹣2,﹣1,0. ∴ 即 ∴ ,即 ,又 ,∴ ,又 a>2 , ,由于解集中整数解恰有 4 个,则 a ,结 B. ) C. D. , 若关于 的不等式 的解集中的整数解恰有 4 个,

,则四个整数解为-3,﹣2,﹣1,0.则有 ,可得 a<4,进而得到 a 的范围. ,即 ,

∴ 的取值范围是 故选:C 点睛:本题考查一元二次不等式的解法,考查不等式的整数解的求法,考查不等式的性质的 运用,考查运算能力,属于易错题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一 个人要走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为__________里. 【答案】6

-8-

【解析】 分析:每天走的路形成等比数列{an},q= ,S6=378.利用求和公式即可得出. 详解:每天走的路形成等比数列{an},q= ,S6=378.

∴S6=378=

,解得 a1=192.

∴该人最后一天走的路程=a1q5= 故答案为:6.

=6.

点睛:本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题. 14. 已知点 【答案】4 【解析】 分析:将(1,2)代入直线方程,求得 + =2,利用“1”代换,根据基本不等式的性质,即可 求得 2a+b 的最小值. 详解:直线 =1(a>0,b>0)过点(1,2) ,则 + =2, =4, 在直线 上,则 的最小值为__________.

由 2a+b=(2a+b)× ( + )=1+ + +1=2+ + ≥2+2 当且仅当 = ,即 a= ,b=2 时,取等号, ∴2a+b 的最小值为 4, 故答案为:4.

点睛:在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各 项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含 变量的各项均相等,取得最值. 15. 不等式组 【答案】1 【解析】 所表示的平面区域的面积等于 ,则 __________.

-9-

分析: 画出不等式组 从而求出 k 的值. 详解:∵不等式组

所表示的平面区域为面积等于 的三角形, 可知其过点 (2, 0) ,

所表示的平面区域三角形,如图:

平面为三角形所以过点(2,0) , ∵y=kx﹣1,与 x 轴的交点为( ,0) , y=kx﹣1 与 y=﹣x+2 的交点为( 三角形的面积为: 解得:k=1. 故答案为:1. 点睛:本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形 结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要 注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的 最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 16. 已知 , 【答案】 【解析】 分析:将方程转化为函数,利用一元二次方程根的分布,转化为关于 m,n 的二元一次不等式 组,利用线性规划的知识进行求解即可得到结论. 详解:设 f(x)=x2+(m+1)x+m+n+1, ∵关于实数 x 的方程 x +(m+1)x+m+n+1=0 的两个实根 x1、x2 满足 0<x1<1,x2>1, ∴ 即 , ,作出不等式对应的平面区域如图,
2

) , = ,

,若关于实数 的方程 ,则 的取值范围为__________.

的两个实根 , 满足

- 10 -

设 k= , 则 k 的几何意义为过原点的直线的斜率, 由 解得 , ,即 A(﹣2,1) ,此时 OA 的斜率 k= = ,

直线 2m+n+3=0 的斜率 k=﹣2, 故﹣2<k< 故答案为: , .

点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是 虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 若 【答案】 【解析】 分析:利用作差法比较大小即可. 详解:∵ ∴ , , , ,即 ,即 综上可得: 点睛:作差法: . , , , . , ,比较 , , 的大小.

- 11 -

一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方 再作差. 18. 已知函数 (1)当 (2)若 时,求不等式 . 的解集;

的定义域为 ,求 的取值范围. ; (2) .

【答案】 (1) 【解析】

分析: (1)当 a=1 时,不等式 f(x)≥log23,即 结合单调性转化为一元二次不等式问题. (2)f(x)的定义域为 R,即 详解: (1) 则 ∴不等式 (2)∵ 当 的解集为 的定义域为 ,∴ ,解得 . 时,

≥log23,根据真数大于 0,

>0,对 a 讨论即可求解. , ,即 ; 对任意 .又 恒成立, ,解得 或 .

时,

成立,

∴ 的取值范围是

点睛:本题是一道易错题,解对数型不等式容易忽视真数大于零,二次型不等式恒成立问题 注意对二次项系数的讨论. 19. 某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品甲,乙, 要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过 调查,有关数据如表: 产品甲(件) 研制成本与搭载费用之和(万元/ 200 件) 产品重量(千克/件) 10 5 300 元 最大搭载重量 110 千 产品乙(件) 计划最大资金额 3000

- 12 -

克 预计收益(万元/件) 160 120

试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少? 【答案】搭载产品甲 9 件,产品乙 4 件,可使得总预计收益最大,为 1920 万元. 【解析】 分析:由题意,设搭载甲产品 x 件,乙产品 y 件,总预计收益为 单线性规划应用. 详解:设搭载产品甲 件,产品乙 件,预计总收益 则 , (或写成 . 万元,化为简

)作出可行域,如图.

作出直线 : 解得 ∴ .

并平移,由图象得,当直线经过 点时 能取得最大值,



(万元).

答:搭载产品甲 9 件,产品乙 4 件,可使得总预计收益最大,为 1920 万元. 点睛:本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划,属于中档题. 20. 各项均为正数的等比数列 (1)求数列 (2)令 , 中, , ,且 .

的通项公式; ,求数列 的前 项和 .

【答案】 (1)



.(2)

.

- 13 -

【解析】 分析:(1)利用等比数列通项公式与性质求出数列 到 (2) 的通项公式; ,利用错位相减法得到数列 的前 项和 . 的通项公式,进而利用对数运算法则得

详解: (1)



.

(2)

,数列

的前 项和









. ∴ .

点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数 的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分 公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 21. (1)若关于 的不等式 (2)已知 , , 均为正数,且 【答案】 (1) 【解析】 分析: (1)化简不等式 <0,通过 a 与 2 的范围的讨论,求解即可; , 则 a+b+c= (a+b) +9× , .(2)12. 的解集是 ,求 的子集,求实数 的取值范围; 的最小值.

(2) 根据题意, 将 abc=9 (a+b) 变形可得 c=9× 结合基本不等式的性质分析可得答案. 详解: (1)由题 当 当 时,不等式的解集为 时, 不等式的解集为 ,

,此时显然是 , 要使其为

的子集, 的子集, ∴ , 综上, .
- 14 -

(2)根据题意, 则 当且仅当

,则

, ,

时,等号成立;则

的最小值为 12.

点睛: (1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断 对应方程根的情况,然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首 先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即判别式的符号进行分类,最后 当根存在时,再根据根的大小进行分类. 22. 已知数列 中, ,其前 项的和为 ,且满足 .

(1)求证:数列 (2)证明:

是等差数列; .

【答案】 (1)见解析.(2)见解析. 【解析】 分析: (Ⅰ)当 n≥2 时, ,变形为 ,即可证明;

(Ⅱ)由(1)可知, =4+2(n﹣1)=2n+2, 求和”与“放缩法”即可证明. 详解: (1)当 时, ,整理得:

,可得

=

.利用“裂项



,从而 (2)由(1)可知, ∴当 当 ∴ 另解:当 时, 时, 时,

构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列. ,∴ , , . .

- 15 -

, ∴ , . 点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这 一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧: (1) (4) 丢项或多项的问题,导致计算结果错误. ; (2) ; (3) ;

;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现

是餐 理 管 动 走 场 现 直坚 一 人 本 , 之 中 重 的 理 管 常 日 厅 期 班 当 持 进行 则 原 八 二 照 按 格 严 间 配 分 间 时 管理 在 的 十 八 之 (百 在做 间 时 的 十 二 之 分 百 , 场 现 域 区 结 总 理 管 和 集 收 息 信 参与 接 直 并 ), 时的 及 予 给 题 问 的 出 对 , 务 服 场 现 详细 行 进 题 问 型 典 对 , 示 提 和 正 纠 定相 制 源 根 析 分 题 问 性 共 , 录 记 加强 洞 漏 题 问 塞 堵 , 划 计 训 培 的 应 ;领 登 的 表 查 检 核 考 、 录 记 作 工 己辖 自 分 划 任 责 值 据 根 管 主 班 督导 中 、 备 准 前 班 对 针 要 主 , 域 区 , 录 记 面 书 作 评 检 后 班 、 准备 前 餐 的指 应 相 作 求 需 个 人 客 与 性 分 充 状况 好 完 的 施 备 设 , 务 服 醒 提 和 点 。 整 调 的 态 状 神 精 工 员 , 3、 提升部 分主题 宴会服 务的质 量,从 菜单的 设计打 印到配 套餐具 与调料 的准备 ,特别 是上菜 的语言 服务设 计将是 整个服 务的点 缀和装 饰,开 盘菜的 欢迎词 导入, 餐中重 头菜肴 的介绍 宣传, 主食供 应时的 再次祝 福,将 时刻突 出主人 对主宾 的尊敬 热情, 也通过 此举服 务让客 人在 心里更加 加强对 朋友盛 情的美 好回忆 ,真正 达到客 人宴请 的物质 精神双 重享受 。 4、 建立完 善信息 收集制 度,降 低投诉 与提高 存酒的 信赖度 根据 上半年 收集的 案例汇 总看基 本集中 在客人 对存酒 的凝虑 ,由于 当时信 息记录 单一不 全面导 致客人 对自己 的酒水 存放不 放心, 后经部 门开会 加强细 化存酒 服务流 程,特 别注重 值台员 、吧台 的双向 记录要 求及自 带酒水 的饮用 与存放 的书面 记录, 以此避 免了客 人心中 的顾虑 , 查询时可 以第一 时间告 知客人 排除凝 虑。吧 台人员 在货架 的分类 上创新 编号排 放便于 快 速查 找,起 到了良 好的效 果。 5、 班会组 织趣味 活动, 展示餐 厅各项 技能 为营 造快乐 班会快 乐工作 的氛围 ,餐厅 经常以 活动的 形式来 组织趣 味游戏 ,虽然 时间短 暂但是 收获多 多,拓 展 P K 小游 戏配备 奖励式 处罚, 融洽气 氛、消 除工作 中的隔 阂,提 高相互 之间的 信赖度 有着推 波助澜 的作用 ,包括 每月的 消防突 击演练 以真正 检验全 员的真 实性效 果,提 高处变不 惊的能 力和处 理突发 事件的 反应, 当然托 盘摆台 技能的 比拼才 是我们 真正的 专业, 从时间 与质量 考验选 手的日 常基本 功,提 高服务 效率。 6、 开展各 类员工 培训, 提升员 工综合 素质 本年 度共开 展了班 会全员 培训相 对多一 点达到 46 场 次,业 务式技 能培训 11 场 ,新人 入职培 训 5 场 ,领班 主管的 自主专 题培训 海底捞 进行 4 场,通 过培训 来达到 思想意 识的提 高,拓 展管理 思路, 开阔行 业视野 。 7、 全员齐 努力, 销售新 突破 根据 年初部 门设定 的果汁 饮料销 售新目 标,全 员不懈 努力, 在客源 市场不 是很景 气的条 件下发 挥你追 我赶宁 创销售 新高不 伤相互 感情的 比拼精 神,使 我们的 果汁数 量屡创 新高, 到目前 已销售 1190 0 多扎 数,每 月销售 之星奖 励的喜 悦众人 分享, 从二连 冠三连 冠到现 在的年 终四 连冠都是 自身努 力和实 力的象 征,餐 厅也因 此涌现 出了一 批销售 之星。 但是也 有在销 售中因 没有注 意语言 技巧的 把握而 导致客 人感觉 有强买 强的嫌 疑。

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