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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第二章《数列》章末检测


章末检测
一、选择题 1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 ) ( )

2.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3·11=16,则 a5 等于 ( a A.1 B.2 C.4 D.8 (

3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11 等于 A.58 B.88 C.143 D.176

)

4.若{an}是等比数列,其公比是 q,且-a5,a4,a6 成等差数列,则 q 等于( A.1 或 2 C.-1 或 2 B.1 或-2 D.-1 或-2

)

5.等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1 和 d 变化时,a2+a8+a11 是一个定 值,则下列各数也为定值的是 A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 ( ) ( )

6.等比数列{an}中,a2,a6 是方程 x2-34x+64=0 的两根,则 a4 等于 A.8 C.± 8 B.-8 D.以上都不对

7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5 等于 ( A.3∶4 C.1∶2 B.2∶3 D.1∶3

)

anan-1 anan+1 8. 如果数列{an}满足 a1=2, 2=1, a 且 = , 则此数列的第 10 项 a10 等于( an-1-an an-an+1 1 A. 10 2 1 B. 9 2 1 C. 10 1 D. 5

)

9.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 使得 Sn 达到最大值的 n 是 A.21 B.20 C.19 D.18


(

)

10.已知 Sn=1-2+3-4+?+(-1)n 1n,则 S17+S33+S50 等于 A.0 B.1 C.-1 D.2 11.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于 A.7 B.5 C.-5 D.-7

(

)

(

)

12.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12,则 a8 等于 ( )

A.0 二、填空题

B.3

C.8

D.11

13. 2-1 与 2+1 的等比中项是________. 14.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点 火第一秒钟通过的路程为 2 km, 以后每秒钟通过的路程都增加 2 km, 在达到离地面 240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是________秒. 15.已知等比数列{an}为递增数列,且 a2=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 5 an=________. a99-1 16. 等比数列{an}的公比为 q, 其前 n 项的积为 Tn, 并且满足条件 a1>1, 99a100-1>0, a a100-1 <0.给出下列结论:①0<q<1;②a99a101-1<0;③T100 的值是 Tn 中最大的;④使 Tn>1 成 立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是________.(填写所有正确的序号) 三、解答题 17.成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 {bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列.
? ?

18.已知数列{log2(an-1)} (n∈N )为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)证明: + +?+ <1. a2-a1 a3-a2 an+1-an 19.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n?

*

20.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2 . an (1)设 bn= n-1.证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 1 21.已知正项数列{bn}的前 n 项和 Bn= (bn+1)2,求{bn}的通项公式. 4 22.甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为 a 万元,由于经营方式不同,甲超市 2 a 前 n 年的总销售额为 (n2-n+2)万元,乙超市第 n 年的销售额比前一年销售额多 a?3?n ? ? 2
-1

n

万元.

(1)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式;

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%,则该超市将被另一超市 收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?

答案
1.B 2.A 3.B 10.B 4.C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B [S17=(1-2)+(3-4)+?+(15-16)+17=9,

S33=(1-2)+(3-4)+?+(31-32)+33=17, S50=(1-2)+(3-4)+?+(49-50)=-25, 所以 S17+S33+S50=1.] 11.D [∵a5·6=a4·7=-8, a a
? ?a4+a7=2 由? ?a4·7=-8 ? a ?a4=-2 ?a4=4 ? ? 解得? 或? . ? ? ?a7=4 ?a7=-2

? 4 ?a4=-2 ? ? ? 3 ∴ 或? 3 1 ? ?q =-2 ?q =- .
a =4

?

2

a4 当 a4=-2,q3=-2 时,a1+a10= 3+a7q3 q



-2 +4×(-2)=-7, -2

1 当 a4=4,q3=- 时, 2 a4 4 1 a1+a10= 3+a7q3= +(-2)×(- )=-7. q 1 2 - 2 ∴a1+a10=-7.] 12.B [设数列{bn}的首项为 b1,公差为 d,

由 b3=-2,b10=12,
?b1+2d=-2, ?b1=-6, ? ? 得? 解得? ? ? ?b1+9d=12, ?d=2,

∴bn=-6+2(n-1)=2n-8. ∵bn=an+1-an, ∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =b7+b6+b5+?+b1+a1 = 7×?-6+2×7-8? +3=3.] 2

13.± 14.15 15.2n 1 16.①②④ 17.(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d, 依题意,得 a-d+a+a+d=15,

解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 由 b3=b1·2,即 5=b1·2, 2 2 5 解得 b1= . 4 5 5 - - 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn= ·n 1=5·n 3. 2 2 4 4 5 ?1-2n? 4 5 - (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5·n 2- , 2 4 1-2 5 - 即 Sn+ =5·n 2. 2 4 5 5 所以 S1+ = , 4 2 5 Sn+1+ 4 5·n-1 2 = =2. 5 5·n-2 2 Sn+ 4 5? ? 5 因此?Sn+4?是以 为首项,2 为公比的等比数列. 2 ? ? 18.(1)解 设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9, 得 log2(9-1)=log2(3-1)+2d, 则 d=1. 所以 log2(an-1)=1+(n-1)×1=n, 即 an=2n+1. (2)证明 因为 1 1 1 = n+1 n= n, an+1-an 2 -2 2

1 1 1 所以 + +?+ a2-a1 a3-a2 an+1-an 1 1 1 1 = 1+ 2+ 3+?+ n 2 2 2 2 1 1 1 - × 2 2n 2 1 = =1- n<1. 1 2 1- 2 19.解 (1)设数列{an}的公比为 q.

1 由 a2=9a2a6 得 a2=9a2,所以 q2= . 3 3 4 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1, 1 所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an n?n+1? =-(1+2+?+n)=- . 2 1 1 1 2 故 =- =-2?n-n+1?, bn ? ? n?n+1? 1 1 1 + +?+ b1 b2 bn 1 1 1 1 1 2n =-2[?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?]=- . ? ? ? ? ? ? n+1
?1? 2n 所以数列?b ?的前 n 项和为- . ? n? n+1

20.(1)证明 由已知 an+1=2an+2n, an+1 2an+2n an 得 bn+1= n = = n-1+1=bn+1.∴bn+1-bn=1,又 b1=a1=1. 2 2n 2 ∴{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)解 an - 由(1)知,bn=n, n-1=bn=n.∴an=n·n 1. 2 2
-1

∴Sn=1+2·1+3·2+?+n·n 2 2 2 两边乘以 2 得:

2Sn=1·1+2·2+?+(n-1)·n 1+n·n, 2 2 2 2 两式相减得:-Sn=1+21+22+?+2n 1-n·n 2 =2n-1-n·n=(1-n)2n-1, 2 ∴Sn=(n-1)·n+1. 2 21.解 当 n=1 时,B1=b1, 1 ∴b1= (b1+1)2,解得 b1=1. 4 当 n≥2 时,bn=Bn-Bn-1 1 1 = (bn+1)2- (bn-1+1)2 4 4




1 = (b2-b2-1+2bn-2bn-1), n 4 n 整理得 b2-b2-1-2bn-2bn-1=0, n n ∴(bn+bn-1)(bn-bn-1-2)=0. ∵bn+bn-1>0,∴bn-bn-1-2=0. ∴{bn}为首项 b1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴bn=2(n-1)+1=2n-1,即{bn}的通项 bn=2n-1. 22.解 (1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an,bn. 则有 a1=a,当 n≥2 时, a a an= (n2-n+2)- [(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a. 2 2
?a, n=1, ? ∴an=? ? ??n-1?a, n≥2.

2 2 2 - bn = b1 + (b2 - b1) + (b3 - b2) + ? + (bn - bn - 1) = a + a ?3? + a ?3? 2 + ? + a ?3? n 1 = ? ? ? ? ? ?

?3-2?2?n-1?a(n∈N*). ? ?3? ?
(2)易知 bn<3a,所以乙将被甲超市收购, 1 由 bn< an 得: 2

?3-2?2?n-1?a<1(n-1)a. ? ?3? ? 2
2 - ∴n+4?3?n 1>7,∴n≥7. ? ? 即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.


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