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厦门二中2012届高三理科数学限时训练(五)


厦门二中 2012 届高三理科数学限时训练(五)2011.11.1
班级
7 6

座号

姓名

得分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. cos A.
? 的值等于

( B. ?
1 2

)

1 2
ln 2 0

C.

3 2

D. ?

3 2

2.定积分 ? A. ? 1 3.函数

e dx 的值为

x

( C. e ? 1
2

)

B. 1 的零点个数为

D. e

2

2 ? ? ? 2 ? ln x , x ? 0 f (x) ? ? 2 ? x ? 4 x ? 5, x ? 0 ?

( C. 2 D. 3 ( D. 正三角形 ( D. 0 (

)

A. 0 4. ? ABC 中,已知 ta n A. 直角三角形
3

B. 1
A? B 2

? s in C ,则 ? ABC 的形状为

)

B.等腰三角形 B. ? 1
?
2

C. 等腰直角三角形 C. ? 2
, x ? R ) 部分图

5. f ( x ) ? x ? sin x ? 1 ( x ? R ) ,若 f ( a ) ? 2 ,则 f ( ? a ) 的值为 A. 3 6.函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? ? 象如图,则函数 f ( x ) 的表达式为 A. f ( x ) ? 4 s in ( B. f ( x ) ? 4 s in (
?
4 x? x?
x?





?
4

) )
)

?

?
4 ?
4

4 ? C. f ( x ) ? ? 4 s in ( 8 ? D. f ( x ) ? ? 4 s in ( 8 ? ? ? 7.若 | a |? 1, | b |? 2, c ?
0

x?

) 4 ? ? ? ? ? ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
0 0 0

?





A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 ? ? 8.已知 ? 9, a 1, a 2 , 1 四个实数成等差数列, ? 9, b1, b 2, b 3, 1 五个实数成等比数列,则 b 2 ( a 2 ? a 1 ) ? A.8 B.? 8 C.? 8 D.9
8


?
,



9.已知函数 f ( x ) 对任意的实数, 满足 f ( x ) ? f ( ? ? x ) , 且当 x ? ( ? A.f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) B. f ( 2 ) ? f (3) ? f (1)

) 时, f ( x ) ? x ? sin x , ( 则 ) 2 2 C.f (3) ? f ( 2 ) ? f (1) D.f (3) ? f (1) ? f ( 2 )

?

10.如图, 当直线 l : y ? x ? t 从虚线位置开始, 沿图中箭头方向平行匀速移动时, 正方形 ABCD 位于直线 l 下 方(图中阴影部分)的面积记为 s ,s 与 t 的函数图象大致是 ( )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
1

11.设 x 、 y 为实数,且
2

x 1? i
2

?

y 1 ? 2i
2

?

5 1 ? 3i

,则 x + y =_________;

12.在△ ABC 中,若 ( a ? c ? b ) tan B ?

3 a c ,则角 B 的值为___________。

13. 已知定义域为 ( ? ? , 0 ) ? (0 . ? ? ) 的函数 f(x)是偶函数,并且在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数,若 f ? ? 3 ? ? 0 ,则 不等式
x f (x) ? 0 的解集是

. .
k? 2

an+1 n+2 14. 已知数列{an}满足 = (n∈N*),且 a1=1,则 an= an n 15. 下面有五个命题: ①函数 y ? sin
4

x ? cos

4

x 的最小正周期是 ? ;②终边在 y 轴上的角的集合是 ?? ? ?

,k ? Z

?;

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点; π π ④把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位得到 y=3sin2x 的图象; 3 6 π ⑤函数 y=sin(x- )在[0,π]上是减函数. 2 其中真命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16. (本题 13 分) 已知集合 A ={ x | (1)求 A ∩ B ;
? 5 ? 4 x },C ={ x │ x ? m ? 1 ,m ? R }。 x?2 (2)若( A ∩ B ) ? C ,求 m 的取值范围。

2x ? 2

? 1 },B ={ x | x

2

17. 13 分) ( 命题 p : 函数 f ( x ) ? lg( ax

2

? 2 ax ? 1) 的定义域为 R , 命题 q : 不等式

3 4

sin x ?

1 4

cos x ? a ? 0

的解集为 ? ,若“ p ? q ”为假命题且“ p ? q

”为真命题,求实数 a 的取值范围.

2

sin 18.(13 分)已知 A , B , C 是三角形 ? A B C 三内角,向量 m ? ( ? 1, 3), n ? (cos A , A ),且 m ? n ? 1

(1)求角 A ;

(2)若

1 ? s in 2 B c o s B ? s in B
2 2

? ? 3 ,求 tan B

19.(13 分)已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x co s x ? 2 co s x ? 1
2

(1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间及 f ( x ) 在区间 ? 0 ,
?

?

? ?
2? ?

上的最大值和最小值;

(2)若 f ( x 0 ) ?

6 5

, x0 ?

?? ? ? , ,求 co s 2 x 0 的值。 ?4 2? ? ?

20.(本题 14 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN ,要求 M 在 AB 的 延长线上, N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过 C 点。已知 AB ? 3 m , AD ? 2 m 。 (1)设 AN ? x (单位: m ) ,要使花坛 AMPN 的面积大于 32 m ,求 x 的取值范围; (2)若 x ? [ 3 , 4 ) (单位: m ) ,则当 AM , AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的面积最大?并求 出最大面积。
2

3

21.(本题 14 分)已知函数 f ( x ) ?

t。 3 3 (1)当 t ? 8 时,求函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间;

x

3

2

, g (x) ? t 3 x ?

2

(2)求证:当 t ? 0 时, f ( x ) ? g ( x ) 对任意正实数 x 都成立; (3)若存在正实数 x 0 ,使得 g ( x 0 ) ? 4 x 0 ? 个 x 0 的值(不必给出求解过程)
16 3

对任意的正实数 t 都成立,请直接写出满足这样条件的一

4

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求。请把正确答案填在答题卡上) 题号 答案 1 D
?
3
2? 3

2 B

3 C

4 A

5 D

6 C

7 C

8 B

9 D

10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11、4 12、 或 13、 ( ? 3, 0 ) ? (3, ? ? ) n(n+1) 14、 2 15、①、④

三、解答题(6 小题,共 80 分) 16、 (13 分)

17、 (13 分) 解:∵函数 f ( x ) ? lg( ax ∴ ax
2

2

? 2 ax ? 1) 的定义域为 R

? 2 ax ? 1 ? 0 恒成立……………………………………………………2 分

∴a ? 0 或?

?a ? 0 ?? ? 0

………………………………………………………………4 分

解得 0 ? a ? 1 又∵不等式
1 2

…………………………………………………………………5 分
sin x ? 1 4 cos x ? a ? 0 的解集为 ?

3 4

∴a ?

………………………………………………………………………8 分

若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题 则 p,q 一真一假, 所以 0 ? a ? 18、 (13 分) 解: (1)∵ m ? n ? 1 ∴ ? ? 1, 3 ? ? ? co s A , sin A ? ? 1
?? ?
1 2 或 a ? 1 …………………………………………………………13 分

即 3 sin A ? co s A ? 1
5

? 3 1 2 ? s in A ? ? cos A ? ? 2 2 ?

? ? ?1, ? ?

? ? 1 ? s in ? A ? ?? 6 ? 2 ?

∵0 ? A ? ? ,? (2)由题知

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

∴A?
2

?
6

?

?
6

∴A ?

?
3
2

1 ? 2 s in B c o s B c o s B ? s in B
2 2

? ? 3 ,整理得 sin B ? sin B co s B ? 2 co s B ? 0

∴ co s B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ? 1
2

而 tan B ? ? 1 使 co s B ? sin B ? 0 ,舍去
2 2

∴ tan B ? 2

19.(13 分) (1)由 f ( x ) ? 2 3 sin x co s x ? 2 co s x ? 1 ,得
2

f (x) ?

3 ( 2 s in x c o s x ) ? ( 2 c o s x ? 1) ?
2

3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

) …2 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为……………………………………………………3 分
? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 s? i n ? 2 ? 在 区 间 0 , x 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 ? 6? 6 ? ? ? ? ?6 2?

因 为 f ( x )?

?? ? ?? ? ? ? ? f (0 ) ? 1, f ? ? ? 2 , f ? ? ? ? 1 , 所 以 函 数 f ( x ) 在 区 间 0 , 上的最大值为 2,最小值为 ? 2? ? 6 ? ? 2 ? ? ?

-1……………………………………………………………………………6 分

………………………… ……………………………………………………1 20、 (14 分)

6

因为当 x ? [3, 4 ) 时,y′< 0,所以函数 y=

3x

2

x?2

在 [3, 4 ) 上为单调递减函数,

从而当 x=3 时 y=

3x

2

x?2

取得最大值,即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米, …………………………………………14 分
16 3 ,

此时 AN=3 米,AM=9 米

21、 (14 分)解: (1)当 t ? 8时, g ( x ) ? 4 x ?
x
3

y ? f (x) ? g (x) ?

? 4x ?

16 3

3

y ? x
' '

2

? 4,

令 y ? 0 , 得 x ? ? 2 ………………………………………………………………1 分 令 y ? 0, 得 x ? ? 2或 x ? 2
'

令 y ? 0 , 得 ? 2 ? x ? 2 …………………………………………………………3 分
'

故 所 求 的 函 数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( ?? , ? 2 ) 和 ( 2 , ?? ), 单 调 递 减 区 间 是 ( -2 , 2) 。…………………………………………………………………………4 分 (2)证明:令 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?
2

x

3

2

?t3x?

2 3

t,

3

则 h (x) ? x
' '

2

?t3,
1

? t ? 0 ,由 h ( x ) ? 0 , 得 x ? t 3 , ……………………………………………………6 分
1 1 '

当 x ? ( t , ?? )时, h ( x ) ? 0 ;
3

当 x ? ( 0 , t 3 )时, h ( x ) ? 0 ; ……………………8 分
'

7

当 x 变化时,

y 与 y 的变化情况如下表

'

1

所以 h ( x ) 在( 0, ? )上的最小值是 ?

h ( t 3 )? 0

故当 t ? 0时, f ( x ) ? g ( x ) 对任意正实数

x 都成立
16 3

…………………………11 分
t 都成立。 …14 分

(3)存在正实数 x 0 ? 2 , 使得 g ( x 0 ) ? 4 x 0 ?

对任意的正实数

8


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