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线性代数新教材课件ch-3-1


第三章 向量
第一节 向量的概念及其运算
定义 1

n 一个 n 元有序数组 (a1 , a2 ,?, an ) 称为一个 维向

量,数 a1 , a2 ,?, an 称为该向量的分量.
向量通常用 ? , ? , ? 等希腊字母表示.



? ? (a1, a2 ,?, an ) .
这时, ? 称为 n 维行向量.

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根据讨论问题的需要,向量也可以写成

这时, ? 称为 n 维列向量.

? a1 ? ?a ? ? ? ? 2 ?, ? ? ? ? ? ? an ?

列向量可看作是行向量的转置,即 ? ? ( a1 , a2 ,?, an )T .
注意 行向量和列向量在本质上是一样的,但进行运算时行

一般地,行(列)向量可以看成 向量与列向量应区别对待.

行(列)矩阵,反之亦然.
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分量全为零的向量称为零向量,记作 0 .

向量 (? a1 ,? a2 ,?,? an ) 称为向量 ? ? (a1, a2 ,?, an ) 的负向量,记为 ? ? .
例1 考虑 m ? n 矩阵 A ? ( aij ) m?n , 它的 m 个行可以看成

m 个 n 维行向量 ? i ? (ai1, ai 2 ,?, ain ), i ? 1,2,?, m ,称
为矩阵 A 的行向量组. 它的 n 个列可看成 n 个 m 维列 ? b1 j ? ? ? ? b2 j ? , j ? 1, 2,? , n 向量 ? j ? ,称为矩阵 A 的列向量组. ? ? ? ? ? ? bmj ? ? ?
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定义 2

设 ? ? ( a1 , a2 ,? , an ), ? ? (b1 , b2 ,? , bn ) ,若

ai ? bi , i ? 1,2,?, n ,则称 ? 与 ? 相等,记为 ? ? ? .
定义 3 设 ? ? ( a1 , a2 ,? , an ), ? ? (b1 , b2 ,? , bn ) ,称向量

(a1 ? b1, a2 ? b2 ,?, an ? bn ) 为向量 ? 与 ? 之和, 记为

? ??, 即

? ? ? ? (a1 ? b1, a2 ? b2 ,?, an ? bn ) .
由向量加法及负向量的定义,可定义向量的减法运算:

? ? ? ? ? ? ( ? ? ) ? (a1 ? b1, a2 ? b2 ,?, an ? bn ) .
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定义 4

设 ? ? ( a1 , a2 ,?, an ) ,k 为数,称向量

(ka1, ka2 ,?, kan ) 为数 k 与向量 ? 的乘积, 记为 k? ,


k? ? (ka1 , ka2 ,?, kan ) .

向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.

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向量的线性运算满足如下运算规律(? , ? , ? 为 n 维 向量,k , l 为数):
(1) 加法结合律 ? ? ( ? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ? ;

(2) 加法交换律 ? ? ? ? ? ? ? ;
(3) ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? ; (4) ? ? (?? ) ? ( ?? ) ? ? ? 0 ; (5) 1? ? ? ; (6) (kl )? ? k (l? ) ;

(7) (k ? l )? ? k? ? l? ;

(8) k (? ? ? ) ? k? ? k ? .
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定义 5

给定 m 个 n 维向量 ?1 ,? 2 ,?,? m ,及 m 个数
称向量 k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m

k1 , k 2 ,?, k m ,

为向量组 ?1,? 2 ,?,? m 的一个线性组合.
定义 6 给定 m ? 1个 n 维向量 ?1 ,? 2 ,?,? m , ? ,

若存在 m 个数 k1 , k 2 ,?, k m ,使得

? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m ,
则称 ? 可由向量组 ?1,? 2 ,?,? m 线性表示,
或称 ? 是向量组 ?1,? 2 ,?,? m 的一个线性组合.

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例2



?1 ? (1, 1, 1), ? 2 ? (2, 3, 1), ? 3 ? (3, 1, 2), ? ? (0, 4, 2),
问 ? 能否由 ?1 ,? 2 ,? 3线性表示?
解 考虑向量方程

? ? k1?1 ? k2? 2 ? k3? 3 ,
即 ? 能否由 2 1 , , 2 1) ? k3 (3, 1, 2 分析 k1 (1, 1, 1) ? k?(2?3, ,? 3 线性表示) ? (0, 4, 2) ,
整理得 ? 是否存在数 k1, k2 , k3 ,使得 ? ? k1?1 ? k2? 2 ? k3? 3
1 2 1 1 3 ? 向量方程 ? 3? k1?1 ?2k2?32 ? k3?23 是否有解

(k ? 2k ? 3k , k ? 3k ? k , k ? k ? 2k ) ? (0, 4, 2) .

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(k1 ? 2k2 ? 3k3 , k1 ? 3k2 ? k3 , k1 ? k2 ? 2k3 ) ? (0, 4, 2) .
由向量相等的定义,得如下线性方程组:

?k1 ? 2k2 ? 3k3 ? 0, ? ? k1 ? 3k2 ? k3 ? 4, ? k ? k ? 2 k ? 2. ? 1 2 3
因系数行列式

1 2 3 1 3 1 ? ?3 ? 0 , 1 1 2
由克拉默法则知,方程组有惟一解 k1 ? 6, k2 ? 0, k3 ? ?2 .
故 ? 可由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表示,且 ? ? 6?1 ? 2? 3 .
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本节完.
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