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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第三篇 回扣8 计数原理课件 理


第三篇 考点回扣

回扣8 计数原理

知识方法回顾 易错易忘提醒

知识方法回顾

1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有 m1种 方法,在第二类办法中有 m2种方法,?? ,在第 n类办 法中有mn种方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+? +mn种方法(也称加法原理).

2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1 种方法,做第二步有m2种方法,??,做第n步有mn种方 法,那么完成这件事共有 N= m1×m2×?×mn种方法 (也

称乘法原理).

3.排列
(1)排列的定义:从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列. (2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数,用A n表示.
m

(3)排列数公式:Am n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1). (4)全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元 素的一个全排列,An (n-1)· (n-2)· ?· 2· 1=n!.排列数公 n=n· 式写成阶乘的形式为 Am n= n! ,这里规定 0!=1. ?n-m?!

4.组合

(1)组合的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成 一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2) 组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的
所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素

的组合数,用C m n 表示.

m n! A n m (3) 组 合 数 的 计 算 公 式 : C n = Am = = m ! ? n - m ? ! m

n?n-1??n-2???n-m+1? ,由于 0!=1,所以 C0 n=1. m!
n -m m m m-1 (4)组合数的性质:①Cm = C ; ② C = C + C . n n n+1 n n

5.二项式定理
n 1 n-1 1 k n -k k n n * (a+b)n=C0 a + C a b + ? + C a b + ? + C b ( n ∈ N ). n n n n

这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二 项展开式,其中的系数 Ck n (k=0,1,2,?,n)叫做二项式系
n -k k 数.式中的 Ck a b 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示, n n -k k 即展开式的第 k+1 项:Tk+1=Ck a b. n

6.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.

(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n ,即 a 与 b 的指数的和
为n .

(3) 字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到
零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
1 n-1 n (4)二项式的系数从 C0 , C ,一直到 C , C n n n n.

7.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
m -m 即 Cn =Cn . n

(2)增减性与最大值:二项式系数

Ck n,当

n+1 k< 2 时,二项式

n+1 系数是递增的;当 k> 2 时,二项式系数是递减的.

当 n 是偶数时,那么其展开式中间一项 最大. 当 n 是奇数时,那么其展开式中间两项 系数相等且最大.

Tn
2

?1

的二项式系数

Tn ?1
2

和 Tn2?1?1 的二项式

(3)各二项式系数的和
1 (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n, 即 C0 + C n n k n n +C2 + ? + C + ? + C = 2 . n n n

二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项 的二项式系数的和,
3 5 0 2 4 n-1 即 C1 + C + C + ? = C + C + C + ? = 2 . n n n n n n

易错易忘提醒

1.关于两个计数原理应用的注意事项
(1) 分类加法和分步乘法计数原理,都是关于做一件事的

不同方法的种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针
对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一 种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步” 问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完 成这件事.

(2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确,做到不重复不遗漏. (4) 要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清 楚,便于探索规律.

2.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考 虑: (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他 元素; (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他 位置; (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合 要求的排列数或组合数.

3.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、 组合混合问题先选后排; (4) 相邻问题捆绑处理;(5) 不相邻 问题插空处理; (6) 定序问题排除法处理;(7) 分排问题直排 (10)正难则反,等价条件.

处理; (8)“ 小集团 ” 排列问题先整体后局部;(9) 构造模型;

4.对于二项式定理应用时要注意: (1)区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细. 项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,

恒为正.
(2)运用通项求展开的一些特殊项,通常都是由题意列方程

求出k,再求所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n和
k的取值范围及它们之间的大小关系.

(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为 0,±1. (4)在化简求值时,注意二项式定理的逆用,要用整体思想 看待a、b.


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