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高中数学(人教A版选修2-2)课件3.2.2复数代数形式的乘除运算


第三章 数系的扩充与复数的引入 §3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 自学引导 课前热身 名师讲解 典例剖析 技能演练 自学引导 掌握复数代数形式的乘法、除法运算法则、掌握i次幂的 有关性质,了解共轭复数的概念. 课前热身 1.复数的乘法法则. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1· z2=(a+ bi)(c+di)=__________. 2.共轭复数. 如果两个复数满足________________________,那么称 这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用__________表示,即 z=a+bi,则 z =__________(a,b∈R). 3.复数的除法法则. z1 a+bi 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z = = c+di 2 __________(c+di≠0). 1.(ac-bd)+(ad+bc)i 答 案 2.实部相等,虚部互为相反数时 z a-bi ac+bd bc-ad 3. 2 2 + 2 2 i c +d c +d 名师讲解 1.复数的乘法 (1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项 式乘法进行,但结果实部、虚部要分开(i2换上-1). (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公 式也运用. 2.复数的除法 在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷ (c+di)写成商 a+bi 的形式,即(a+bi)÷ (c+di)= ;然后分子、分母同乘以 c+di 分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就 是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类 似.注意最后结果要实部、虚部分开. 3.共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R? z =z. (2)z· z =| z |2=|z|2. (3)两个共轭复数的对应点关于x轴对称. 4.几个常用结论 (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1, i4n+3=-i(n∈N*). 1 (2)(1± i) =± 2i, i =-i. 2 (3)(a+bi)(a-bi)=a2+b2. 典例剖析 题型一 复数的乘除运算 例1 计算: (1)(1+i)2+(1+i)(1-i); (2)(-2-i)(3-2i)(-1+3i); 2- i - 2 3 + i (3) + ; 3-4i 1+2 3i 2+2i 2 2010 (4) +( ) . ?1-i?2 1+i 分析 利用复数的运算法则进行. 解 (1)原式=1+2i+i2+1-i2 =2+2i. (2)原式=(-8+i)(-1+3i) =5-25i. ?2-i??3+4i? i?1+2 3i? (3)原式= + ?3-4i??3+4i? 1+2 3i 10+5i = +i 9+16 2 6 =5+5i. 2+2i 2 1005 (4)原式= +( ) 2i -2i 2?1+i?i 1 1005 = +( ) 2 i =-1+i+i1004· i =-1+i-i=-1. 1 规律技巧 复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是 先进行高级运算?乘方、开方?,再进行次级运算?乘、除?,最 后进行低级运算?加、减?,如i的幂运算,先利用i的幂的周期 性,将其次数降低,然后再进行四则运算. 变式训练1 1+i (1) ; 1-i 计算: (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; 1 3 (3)(2+2i)(4i-6); 4+3i 1 (4) + . 1+2i i 解 1+i ?1+i?2 2i (1) = = =i. 1-i ?1-i??1+i? 2 (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =53+21i+2i =53+23i. 1 3 (3)(2+2i)(4i-6) 1 1 3 3 = · 4i+ · (-6)+ i· 4i+ i· (-6) 2 2 2 2 =2i-3-6-9i =-9-7i. 4+3i 1 (4) + 1+2i i ?4+3i??1-2i? i = + i ?1+2i??1-2i? i· 10-5i = 5 -i =2-2i. 题型二 共轭复数的应用 例2 已知z∈C, z 为z的共轭复数,若 z · z-3i z =1+ 3i,求z. 分析 合理运用共轭复数的概念,利用复数相等求解. 解 设z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,由题意得 (a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即 a2+b2-3b-3ai=1+3i, 2 2 ? ?a +b -3b=1, 则有? ? ?-3a=3, ? ?a=-1, 解得? ? ?b=0, ? ?a=-1, 或? ? ?b=3. 所以z=-1,或z=-1+3i. 规律技巧 解此类题型的常用解法是设z=a+bi?a,b∈ R?,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程 组求解. 变式训练2 设z∈C, z 为z的共轭复数,若 z · z+iz= 10 ,求z. 3+i 解 设z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi, 10 ∵z· z+iz= , 3+i ∴(a-bi)(a+bi)+i(a+bi)=3-i. 即a2+b2-b+ai=3-i, 2 2 ? ?a +b -b=3, ∴? ? ?a=-1. ? ?a=-1, 解得? ? ?b=-1, ? ?a=-1, 或? ? ?b=2. ∴z=-1-i,或z=-1+2i. 题型三 in的周期性 例3 (海南、宁夏高考题)i是虚数单位,i+2i2+3i3+? +8i8=__________.(用a+bi的形式表示,a,b∈R) 分析 利用i的周期性化简求和. 解析 i+2i2+3i3+?+8i8 =i-2-3i+4+5i-6-7i+

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