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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第八章 立体几何 第2课


数学

R B(理)

§8.2 平面的基本性质与推论
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.平面的基本性质及推论 (1)平面的基本性质: 基本性质 1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 基本性质 2:经过 不在一条直线上 的三点,有且只有 一个平面. 基本性质 3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那 么它们 有且只有一条 过这个点的公共直线.
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要点梳理
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(2)平面基本性质的推论: 推论 1:经过一条直线和 直线外 的一点,有且只有一个 平面. 推论 2:经过两条 相交直线 有且只有一个平面. 推论 3:经过两条 平行直线 有且只有一个平面.

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要点梳理
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2.直线与直线的位置关系
平行 相交 平行 相交

(2)判断两直线异面:与一平面相交于一点的直线与
这个平面内不经过交点

的直线是异面直线.

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √(2) ×(3) × (4) × (5) √

解析

C C D


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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用

【例 1】

如图所示,正方体

思维启迪

解析

思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分 别是 AB 和 AA1 的中点. 求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用

【例 1】

如图所示,正方体

思维启迪

解析

思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分 别是 AB 和 AA1 的中点. 求证: (1) 两条相交直线或两条平行 (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

直线确定一个平面;
(2)可以先证 CE 与 D1F 交于一 点, 然后再证该点在直线 DA 上.

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题型一 平面基本性质的应用
思维启迪 解析 如图所示,正方体 证明 (1)连接 EF, 思维升华

【例 1】

ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分 (1)E、C、D1、F 四点共面;

CD1,A1B.

别是 AB 和 AA1 的中点. 求证:

∵E、 F 分别是 AB、 AA1 的中点,

(2)CE、D1F、DA 三线共点. ∴EF∥BA . 1
又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,

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基础知识 题型分类

∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,
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题型一 平面基本性质的应用

【例 1】

如图所示,正方体

思维启迪

解析

思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 别是 AB 和 AA1 的中点. 求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 同理 P∈平面 ADD1A1.
又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA,
∴P∈直线 DA. P∈平面 ABCD.

∴CE、D1F、DA 三线共点.
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题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用

【例 1】

如图所示,正方体

思维启迪

解析

思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分 别是 AB 和 AA1 的中点. 求证: 基本性质 1 是判断一条直线是 (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

否在某个平面的依据; 基本性质 2 及推论是判断或证明点、线共 面的依据; 基本性质 3 是证明三 线共点或三点共线的依据.

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跟踪训练 1 (1)以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、 B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

(2)a、b 是异面直线,在直线 a 上有 5 个点,在直线 b 上有 4 个点,则这 9 个点可确定________个平面.
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题型分类·深度剖析
解析 (1)①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确 定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以 ①正确.

②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共 线,则结论不正确; ③不正确;

④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面 上,如空间四边形.

(2)∵a、b 是异面直线,
∴a 上任一点与直线 b 确定一平面,共 5 个,b 上任一点与直线 a 确定一平面,共 4 个,一共 9 个.

答案 (1)B (2)9
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

判断空间两直线的位置关系
如图所示,正方体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分 别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线? 说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线? 说明理由.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

判断空间两直线的位置关系
如图所示,正方体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分 别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线? 说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线? 说明理由.

第 (1) 问,连接 MN , AC ,证 MN∥AC, 即 AM 与 CN 共面;

第(2)问可采用反证法.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

判断空间两直线的位置关系
如图所示,正方体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分 解 (1)不是异面直线.理由如下: 别是 A1B1、B1C1 的中点.问: 连接 MN、A1C1、AC. (1)AM 和 CN 是否是异面直线? ∵M、N 分别是 A1B1、 说明理由; 说明理由.
B1C1 的中点,

(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线? ∴MN∥A1C1.

又∵A1A 綊 C1C,

∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,
∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线.
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题型二
【例 2】

判断空间两直线的位置关系
如图所示,正方体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分 (2)是异面直线.证明如下: 别是 A1B1、B1C1 的中点.问: ∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体, (1)AM 和 CN 是否是异面直线? ∴B、C、C1、D1 不共面. 说明理由;
假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,

(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线? 则存在平面 α,使 D1B?平面 α, 说明理由. CC1?平面 α,
∴D1、B、C、C1∈α,与 ABCD— A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异 面直线.
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

判断空间两直线的位置关系
如图所示,正方体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分 别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线? 说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线? 说明理由.

(1)证明直线异面通常用反 证法;
(2)证明直线相交,通常用平 面的基本性质,平面图形的 性质等.

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列判断 错误的是 A.MN 与 CC1 垂直 C.MN 与 BD 平行 ( B.MN 与 AC 垂直 D.MN 与 A1B1 平行 )

(2)在图中,G、N、M、H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正 确答案的序号)

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思想方法

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题型分类·深度剖析
解析 (1)连接 B1C,B1D1,则点 M 是 B1C 的中点,MN 是△B1CD1 的中位线,∴MN∥B1D1,
∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1, ∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.

又∵A1B1 与 B1D1 相交,∴MN 与 A1B1 不平行,故选 D.
(2)图①中,直线 GH∥MN;
图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,

因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面.
所以图②、④中 GH 与 MN 异面.
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题型分类·深度剖析
(3)下列命题中不 正确的是________.(填序号) . ①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行, 则它和另一条 直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交, 则它们可以确定两个 平面.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
解析 (3)没有公共点的两直线平行或异面,故①错;
命题②错,此时两直线有可能相交;
命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不 可能平行, 用反证法证明如下: 若 c∥b, 又 c∥a, 则 a∥b, 这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由基本性 质 2 可知,a,c 可确定一个平面,b,c 也可确定一个平面, 这样,a,b,c 共确定两个平面.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列12
构造衬托平面研究直线相交问题
典例:(5 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的 中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有______条.
思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列12
构造衬托平面研究直线相交问题
典例:(5 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的 中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有______条.
思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒

找三条异面直线都相交的直线, 可以转化成在一个平面内, 作 与三条直线都相交的直线. 因而可考虑过一条直线及另外一条 直线上的一点作平面.进而研究公共交线问题.

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列12
构造衬托平面研究直线相交问题
典例:(5 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的

无数 条. 中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有______
思 维 启 迪
解析 方法一

解 析

温 馨 提 醒

在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确

定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N,当 M 取 不同的位置时就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点.如图所示. 方法二 在 A1D1 上任取一点 P,过点 P 与直线 EF 作一个平面 α,因 CD 与 平面 α 不平行,所以它们相交,设它们交于点 Q,连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相交,即 PQ 为所求直线.由点 P 的任意性,知有无数条直线与三条直 线 A1D1,EF,CD 都相交.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列12
构造衬托平面研究直线相交问题
典例:(5 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的

无数 条. 中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有______
思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒

(1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条 直线的位置关系的考查,难度一般都不会太大.
(2)误区警示:本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少 学生不会构造平面,因此失分较多.这说明学生还是缺少空 间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.
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思想方法·感悟提高

1.主要题型的解题方法

方 法 与 技 巧

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分 直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也 在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交 线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点, 根据基本性质 3 可知这些点在交线上, 因此共线.

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思想方法

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思想方法·感悟提高

2.判定空间两条直线是异面直线的方法

方 法 与 技 巧

(1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的 连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明 两线不可能共面,从而可得两线异面.

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思想方法

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思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.正确理解异面直线 “不同在任何一个平面内”的含 义,不要理解成“不在同一个平面内”.
2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共 线”条件.

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直 线”是“这两条直线没有公共点”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件
解析

( A )

D.既非充分又非必要条件

“两条直线为异面直线 ”?“两条直线无公

共点”.“两直线无公共点 ”?“两直线异面或平 行”.故选 A.
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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b⊥c,则直 线a与c A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、是异面直线都有可能 ( D )

解析 当 a,b,c 共面时,a∥c;当 a,b,c 不共面时,a 与 c 可能异面也可能相交.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长 为 a 的棱与长为 2的棱异面, 则 a 的取值范围是( A ) A.(0, 2)
解析

B.(0, 3)

C.(1, 2)

D.(1, 3)

此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四

面体,长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 2.选 A.

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思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.如图所示, 平面 α∩平面 β=l, A∈α, B∈α, AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面 ABC 与平 面 β 的交线是 A.直线 AC C.直线 CD
解析

( B ) B.直线 AB D.直线 BC

易知 D∈β,D∈平面 ABC,C∈β,C∈平面 ABC.

∴平面 ABC∩平面 β=CD.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个平面, 给出下列四个命题,其中正确的命题是 ( ) ①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β ③a∥b, a?α, P∈b, P∈α?b?α ④α∩β=b, P∈α, P∈β?P∈b A.①② B.②③ C.①④ D.③④

解析

当 a∩α=P 时,P∈a,P∈α,但 a?α,

∴①错;a∩β=P 时,②错;

如图,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α,
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个平面, 给出下列四个命题,其中正确的命题是 ( D ) ①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β ③a∥b, a?α, P∈b, P∈α?b?α ④α∩β=b, P∈α, P∈β?P∈b A.①② B.②③ C.①④ D.③④

又 a∥b, 由 a 与 b 确定唯一平面 β, 但 β 经过直线 a 与点 P,
∴β 与 α 重合,∴b?α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点,这四点都不在

1或4 个平面. 交线上,这四点能确定________

解析

若过四点中任意两点的连线与另外两点的

连线相交或平行,则确定一个平面;否则确定四个 平面.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交, 则 a 与 c 相交;③若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定 是异面直线.

① 上述命题中正确的命题是________( 只填序号).
解析 由公理 4 知①正确;

当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行, 也可以异面,故②不正确;
a?α,b?β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面 内”,故③不正确.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别 为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线;③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线.

③④ . 其中正确的结论为______ (注: 把你认为正确的结论的序号都填上)
解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线, 直线 AM 与 BN 也是异 面直线,故①②错误.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分 别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB= CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、 G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点.
(1)解 AE CF ∵EB=FB=2, ∴EF∥AC,

∴EF∥平面 ACD,而 EF?平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 ACD=GH, AH CG ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴ = =3. ∴AH∶HD=3∶1. HD GD
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分 别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB= CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、 G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点. EF 1 GH 1 (2)证明 ∵EF∥GH,且AC=3, AC =4, ∴EF≠GH,∴EFGH 为梯形.
令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH?平面 ABD,

又 P∈FG,FG?平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,
∴P∈BD. ∴EH、FG、BD 三线共点.
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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.在三棱锥 P-ABC 中,E 是 PC 的中点.求证:AE 与 PB 是异面直线.
证明 假设 AE 与 PB 共面,

设平面为 α, ∵A∈α,B∈α,E∈α, ∴平面 α 即为平面 ABE, ∴P∈平面 ABE,
这与 P?平面 ABE 矛盾,
所以 AE 与 PB 是异面直线.
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

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练出高分

B组

专项能力提升

3 1 4 2 5 1.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B )

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

解析

当 l1⊥l2,l2⊥l3 时,l1 与 l3 也可能相交或异面,故

A 不正确; l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3,故 B 正确; 当 l1∥l2∥l3 时,l1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧 棱,故 C 不正确; l1,l2,l3 共点时,l1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同
一顶点出发的三条棱,故 D 不正确.
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面 展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、 EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行;②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角;④DE 与 MN 垂直.

②③④ . 以上四个命题中,正确命题的序号是________
解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN

为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN.

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练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、 B1C1 的中点.那么,正方体的过 P、Q、R 的截面图形形
六 状是________ 边形.
解析 延长 PQ 或(QP)分别交 CB 延长线于 E,交 CD 延长线于 F,取 C1D1 中点 M,连 接 RM,连接 RE 交 BB1 于 S,连接 MF 交 DD1 于 N, 连接 NQ, PS, 则六边形 PQNMRS 即为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的过 P、 Q、 R 三点的截面图形.
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B组

专项能力提升
5

3 1 4 2 4. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方形
ABCD 的中心, H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点. 求 证:D1、H、O 三点共线.
证明 连接 BD,B1D1,
则 BD∩AC=O, ∵BB1 綊 DD1,

∴四边形 BB1D1D 为平行四边形,又 H∈B1D,

B1D?平面 BB1D1D,

则 H∈平面 BB1D1D,
∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1,∴H∈OD1.

即 D1、H、O 三点共线.
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1

B组

专项能力提升

3 4 2 5 5.定线段 AB 所在的直线与定平面 α 相交,P 为直线 AB 外的一点,且
P 不在 α 内,若直线 AP、BP 与 α 分别交于 C、D 点,求证:不论 P 在什么位置,直线 CD 必过一定点.
证明 设定线段 AB 所在直线为 l,与平面 α 交于 O 点,即 l∩α=O.
由题意可知,AP∩α=C,BP∩α=D,∴C∈α,D∈α. 又∵AP∩BP=P,∴AP、BP 可确定一平面 β,

且 C∈β,D∈β.∴CD=α∩β.

∵A∈β,B∈β,∴l?β,∴O∈β.∴O∈α∩β.即 O∈CD.
∴不论 P 在什么位置,直线 CD 必过一定点.
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