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2013年全国高考理科数学试题分类汇编8:直线与圆


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 8:直线与圆
一、选择题 1 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是





A. (2, 3) ?
【答案】D

B. (2, 3)

C. (?3, 2)

D. (3, 2)

2 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) 纯 WORD 版 含 答 案 ) 已 知 点 ( ( )
A( ?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b( a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范

围是 A. (0,1)
【答案】B

( B. (1 ?
2 1 , ) 2 2



( C) (1 ?

2 1 1 1 , ] D. [ , ) 3 2 2 3

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 过点 (3,1) 作圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的两 )
2 2

条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为 A. 2 x ? y ? 3 ? 0
【答案】A 4

( D. 4 x ? y ? 3 ? 0



B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

.( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 )) 已 知 点
O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B ? a , a
3

? .若? ABC为直角三角形 ,则必有
B. b ? a 3 ?
1 a





A. b ? a 3 C. ? b ? a 3 ? ? b ? a 3 ?
? ? 1? ??0 a?

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 a

?0

【答案】C

5 . (2013 年高考江西卷(理) 如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2 之间// l1 ,与 )
? 半 圆 相 交 于 F,G 两 点 , 与 三 角 形 ABC 两 边 相 交 于 E,D 两 点 , 设 弧 FG 的 长 为
x (0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f ( x ) 的图像大致是

【答案】D 6 . (2013 年高考湖南卷(理) 在等腰三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光 ) 点

线从点 P 出发,经 BC , CA 发射后又回到原点 P (如图).若光线 QR 经过 ?ABC 的中心,则 AP 等

( A. 2
【答案】D 二、解答题



B.

C.

8 3

D.

4 3

7 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 本小题满分 )

14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为,圆心在上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

y A l

O

x

? y ? 2x ? 4 【答案】解:(1)由 ? 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 ?y ? x ?1

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0
3k ? 2 ? 3 k ?1
2



? 1 ∴ 3k ? 1 ?

k ? 1 ∴ 2k ( 4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?
2

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 4

x ? 3 即 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) 2 ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为(x,y)则 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整理得: x ? ( y ? 1) ? 4 设为圆 D
2 2

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2 2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a ? ?( 2a ? 4) ? ( ?1)? ? 2 ? 1

由 5a 2 ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a 2 ? 12a ? 0 得 0 ? x ?
12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,
?

?

12 ? 5? ?


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