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高中数学(人教版A版必修一)配套课件:第一章 集合与函数的概念 1.3.1 第2课时_图文


第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值

学习目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义; 2.会借助单调性求最值; 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.

问题导学

题型探究

达标检测

问题导学

新知探究 点点落实

知识点一 函数的最大(小)值

思考 在下图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多 少?为什么不是最小值?

答案 最大的函数值为4,最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应, 不是函数值.
答案

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意 x∈I,都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x) 的最大值. 如果存在实数M满足:(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I,使 得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.

知识点二 函数的最大(小)值的几何意义 思考 函数y=x2,x∈[-1,1]的图象如右: 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案 x=±1时,y有最大值1,对应的点是图象中的最高点,x=0时, y有最小值0,对应的点为图象中的最低点. 一般地,函数最大值对应图象中的最高点,最小值对应图象中的最低 点,它们不一定只有一个.

答案

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题型探究

重点难点 个个击破

类型一 借助单调性求最值 例 1 已知函数 f(x)=x-2 1(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 1 已知函数 f(x)=x2+x 1(x>0),求函数的最大值和最小值.
解析答案

类型二 求二次函数的最值 例2 (1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值; 解 ∵函数f(x)=x2-2x-3开口向上,对称轴x=1, ∴f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(0)=f(2). ∴f(x)max=f(0)=f(2)=-3, f(x)min=f(1)=-4.
解析答案

(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值;
解析答案

(3)已知函数 f(x)=x-2 x-3,求函数 f(x)的最值;
解 设 x=t(t≥0),则 x-2 x-3=t2-2t-3.
由(1)知y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上单调递减, 在[1,+∞)上单调递增. ∴当t=1即x=1时,f(x)min=-4,无最大值.

解析答案

(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高 点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=- 4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这 时距地面的高度是多少?(精确到1 m)

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=x4-2x2-3,求函数f(x)的最值; 解 设x2=t(t≥0),则x4-2x2-3=t2-2t-3. y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ∴当t=1即x=1时,f(x)min=-4,无最大值.
解析答案

(2)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值;
解 ∵函数图象的对称轴是x=a, ∴当a<2时,f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当a>4时,f(x)在[2,4]上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当2≤a≤4时,f(x)min=f(a)=2-a2.
??6-4a,a<2, ∴f(x)min=???2-a2,2≤a≤4,
??18-8a,a>4.

解析答案

(3)如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛 物线路径落下,以水池的中央为坐标原点,水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度 h(单位:m)与水平距离 x(单 位:m)之间的函数关系式为 h=-x2+2x+54,x∈[0,52].求水流喷出的高 度 h 的最大值是多少?
解析答案

类型三 函数最值的应用 例3 已知ax2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值 范围.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3 已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.

解 ∵x>0,∴ax2+x≤1 可化为 a≤x12-1x. 要使 a≤x12-1x对任意 x∈(0,1]恒成立,

只需 a≤(x12-1x)min. 设 t=1x,∵x∈(0,1],∴t≥1.

x12-1x=t2-t=(t-12)2-14. 当 t=1 时,(t2-t)min=0,即 x=1 时,(x12-1x)min=0, ∴a≤0.

解析答案

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达标检测

1 23 45

1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分 别是( C )

A.f(-2),0 C.f(-2),2

B.0,2 D.f(2),2

答案

2.函数 y=-x+1 在区间[12,2]上的最大值是( C )

A.-12

B.-1

1

C.2

D.3

1 23 45

答案

3.函数 f(x)=1x在[1,+∞)上( A ) A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值

1 23 45
答案

1 23 45

4.函数f(x)=x2,x∈[-2,1]的最大值,最小值分别为( B )

A.4,1

B.4,0

C.1,0

D.以上都不对

答案

1 23 45

5.函数 f(x)=?????2x+x+76,,x∈x∈[-[1, 1,21],], 则 f(x)的最大值,最小值分别为( A )

A.10,6 C.8,6

B.10,8 D.以上都不对

答案

规律与方法
1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数 y=1x. 如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得. 即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a).

2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图, 然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给 区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依 据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
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