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天津市2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题及答案


2015—2016 学年度高三年级 第一次月考数学(理科)学科试卷
一.选择题
x 1. 已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2 ? 1} , B ? {x || x ? 1| ? | x ? 2 |? 2} ,则 (CU A) ? B ?



) A. ? C. {x | x ? 1} B. {x |

1 ? x ? 1} 2

D. {x | 0 ? x ? 1}

【答案】B 2.执行右面的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n =( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】C.

3.已知 m ? R ,“函数 y ? 2 x ? m ? 1有零点”是“函数 y ? log m x 在 上为减函数” (0, +?) 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B

2 4 .已知函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ,且 f ( x ) ? x f ' ( ) ? sin x ,则 f ' ( ) ?

?

?

3

3

( A.

)

3 6 ? 4?

B.

3 6 ? 2?

C.

3 6 ? 4?

D.

3 6 ? 2?

【答案】A 5.若把函数 值可能是 A. B. C. D. 图象向左平移 个单位, 则与函数 的图象重合, 则 的

【答案】B 6. 已知函数 f ( x) ? ? 围是( ) B. (??,1) C. (??,1) ? (2, ??) D. (??, 0] ? (1, ??)

?0, x ? 0,
x ?e , x ? 0,

则使函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点的实数 m 的取值范

A. [0,1] 【答案】D 7.设

,则多项式

的常数项( )

A. 【答案】D

B.

C.

D.

? x 2 ? 2, x ? 0 , 若 f ? x ? ? ax在x ? ? ?1,1? 上恒成立,则实数 a 的取值范围 8. 已知 f ? x ? ? ? ?3 x ? 2, x ? 0
是 A. ? ?? ? 1? ? ? 0, ?? ? 【答案】B 二.填空题 9. 复数满足 (? 1 ? i) z ? (1 ? i) ,其中 i 为虚数单位,
2

B. ? ?1, 0?

C. ? 0,1?

D. (??,0] ? [1,??)

则复数 z = 【答案】 1 ? i 10. 右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体 积大小为 10. 【答案】 4 ? .

2? 3 4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围 e ?1
x

11. 已知点 P 在曲线 y ? 是___________________

0 0 【答案】 135 ? ? ? 180 或 [

3? ,? ) 4

12.直线 l : ?

? x ? a ? 4t , ? (极轴与 x 轴的非负半轴重合, (t为参数),圆C : ? ? 2 2 cos(? ? ) y ? ? 1 ? 2 t . 4 ?

且单位长度相同) ,若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 【答案】

6 5 ,则实数 a 的值为 5

.

0 或2

13.如图, A, B, C 是圆 O 上三个点, AD 是 ?BAC 的平分线,交圆 O 于 D , 过 B 作 直 线 BE 交 AD 延 长 线 于 E , 使 BD 平 分 ?EBC . 若

AE ? 6, AB ? 4, BD ? 3, 则 DE 的长为
【答案】DE=

27 . 8 1 ,则 ? 的 4

14.在边长为 1 的正三角形 ABC 中, BC ? 2BD , CA ? ? CE ,若 AD ? BE ? ? 值为 【答案】3 三.解答题 15. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

, ] 上的值域. 6 3 1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? 15. 【解】(I): f ( x) ? 2 2

(II) 求函数 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 ? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6 2? ?? , ∴最小正周期 T ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 2 ? ? ? ∵ ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 时 f ( x ) 为单调递增函数 2 6 2 ? ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 3 6 ? ? ? ? 5? ? ], (II)解: ∵ f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ,由题意得: ? ? x ? ∴ 2 x ? ? [ ? , 6 3 6 6 6 6 ? 1 ∴ sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] ,∴ f ( x) ?[1, 4] 6 2
∴ f ( x ) 值域为 [1, 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分

16.某班植树小组栽培甲、乙两种松树,已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种, 已知栽培甲品种的有 2 人,栽培乙品种的有 6 人,现从中选 2 人,设选出的人中既栽培甲品

? 种又栽培乙品种的人数为 ? ,且 P(? ? 0)
(1)植树小组的人数; (2)随机变量 ? 的数学期望。

2 ,求: 5

解: (1)设植树小组共有 x 人,两品种均栽培的有 (8 ? x) 人, 则恰栽一品种的人数为 (2 x ? 8) 人??????????????????2 分

2 P(? ? 0) ? 5 ∵

2 C2 2 x ?8 ? 2 5 ????????????????4 分 ∴ Cx

2 整理为: 3x ? 28x ? 60 ? 0

∴x?6

即植树小组有 6 人??????6 分

(2)依(1)有:恰栽一品种的有 4 人,两品种均栽培的有 2 人

P(? ? 1) ?

1 1 C2 C4 8 ? 2 15 ????????????????????8 分 C6

2 C2 1 P(? ? 2) ? 2 ? C6 15 ????????????????????10 分

E? ? 0 ?

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 15 15 3 ???????????????????13 分

17.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 2c ? cos A ? 2b ? 3a. (I)求角 C 的大小; (II)若 b ? 3a , ?ABC 的面积 3 sin A ,求 a 、 c 的值.
2

x 2 18.设函数 f ( x) ? ae ( x ? 1)(其中 e =2.71828?) ,g ( x) ? x ? bx ? 2 , 已知它们在 x ? 0

处有相同的切线. (Ⅰ)求函数 f ( x) , g ( x) g 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [t , t ? 1](t ? ?3) 上的最小值;

解: (Ⅰ) f'(x)=ae (x+2) ,g'(x)=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣3 分 由题意,两函数在 x=0 处有相同的切线. ∴f'(0)=2a,g'(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4, ∴f(x)=2e (x+1) ,g(x)=x +4x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7 分 (Ⅱ) f'(x)=2e (x+2) ,由 f'(x)>0 得 x>﹣2,由 f'(x)<0 得 x<﹣2, ∴f(x)在(﹣2,+∞)单调递增,在(﹣∞,﹣2)单调递减.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 分 ∵t>﹣3,∴t+1>﹣2 ①当﹣3<t<﹣2 时,f(x)在单调递减,单调递增, ∴ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10 分 ;
x x 2

x

②当 t≥﹣2 时,f(x)在单调递增,∴
?2 ? ?? 2e t ? ?2e (t ? 1)

∴ f ( x) ? ?

? 3 ? t ? ?2 t ? ?2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13 分

19.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, 且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 (n ? 2, q ? 0) 。 (1)设 bn ? an?1 ? an (n ? N * ) ,证明 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N ,an 是 an?3 与
*

an?6 的等差中项。

20.已知函数 f ? x ? ? ln ?2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax?a ? R ? 3

(Ⅰ)若 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 y ? f ? x ? 在 ?3,?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? ?

?1 ? x ? ? b 有实根,求实数 b 的最大值. 1 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2
3



g ?3? ? ?4a 2 ? 6a ? 1 ? 0 , 所 以
3 ? 13 . 4

3 ? 13 3 ? 13 因 为 a?0 , 所 以 ?a? 4 4

0?a?

综上所述,a 的取值范围为 ? 0,

? 3 ? 13 ? ? 4 ? ?
3

???10 分

(Ⅲ)当 a ? ?

?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x ?2 ? ?1 ? x ? ? b 1 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2 x
2

问题转化为 b ? x ln x ? x?1 ? x ? ? x?1 ? x ? ? x ln x ? x 2 ? x 3 在 ?0,?? ? 上有解,即求函数

g ? x ? ? x ln x ? x 2 ? x 3 的值域
因为函数 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,令函数 h? x ? ? ln x ? x ? x ? x ? 0 ? ,
2 3 2

???11 分 ???12 分

则 h?? x ? ?

?2 x ? 1??1 ? x ? , 1 ?1? 2x ? x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h?? x ? ? 0 ,从而函数 h? x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h?? x ? ? 0 ,从而函数 h? x ? 在 ?1,?? ? 上为减函数, 因此 h? x ? ? h?1? ? 0 而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h? x ? ? 0 ,因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0. ???13 分 ???14 分


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