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高二数学:7.2《直线方程》教案(湘教版必修三)


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第四课时 直线方程

学习目标

⑴进一步理解倾斜角与斜率的定义,掌握过两点的斜率公式

⑵掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,会根据条件选用适当的方程形式解决有

关问题

⑶认识事物之间的普遍联系与相互转化,能用联系的观点看问题

教学过程

例1 过两点 A(0,0),B(cosθ ,sinθ )(-90°<θ <0°)的直线的斜率是___

______,倾斜角是________。

例2 例 2 设直线 l:3x+4y-5=0 的倾斜角为θ ,则 l 关于直线 y=3 对称的直线的

倾斜角是________。

例 3 直线 ax+by=ab(a>0,b>0)的倾斜角是

()

A、arctan(-b/a)

B、arctan(-a/b)

C、π -arctan(b/a)

D、π +arctan(-a/b)

例 4 若直线 l 的斜率 k∈[-1,1],则它的倾斜角的取值范围是( )

A、[kπ -π /4,kπ +π /4](k∈Z) B、[-π /4,π /4]

C、[π /4,3π /4]

D、[0,π /4]∪[3π /4,π )

例 5θ ∈(π /2,π ),则直线 xcosθ +ysinθ +1=0 的倾斜角的范围是( )

A、θ -π /2

B、θ +π /2 C、π /2-θ

D、π -θ

例 6 下列命题:①直线的倾斜角为α ,则斜率为 tanα ;②直线的斜率为 k,则倾斜

角为 arctank;③平行于 y 轴的直线的倾斜角为 90°;④直线 y=xtanα +2 的倾斜角是α 。

其中正确的是

( )A、①

B、②和③

C、③

D、②和④

例7 已知ab>0,直线ax ? by ? c ? 0的倾斜角?满足 sin ? ? 1 ? sin?- 1-sin?,求直线的斜率。
2
解:∵ab>0,直线 ax+by+c=0 的倾斜角为α , ∴tanα =-a/b<0,又α ∈[0,π )∴α ∈(π /2,π ) ∴0<cosα /2<sinα /2

? 1 ? sin?- 1-sin? ? (sin? / 2 ? cos? / 2)2 ? (sin? / 2 ? cos? / 2)2



?| sin? / 2 ? cos? / 2 | ? | sin? / 2 ? cos? / 2 |

sinα /2+cosα /2-sinα /2+cosα /2=2 cosα /2
又 sin ? ? 1 ? sin?- 1-sin? ∴ sinα /2=2cosα /2 2
∴tanα /2=2 ∴k=tanα =-4/3 例 8 求直线 3x-2y+24=0 的斜率及它在 x、y 轴上的截距。 变:直线 l 过点 P(-4,6),且与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,若点 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程。 例 9 设直线 l 的方程为 (a+1)x+y-2+a=0(a∈R),若 l 不经过第四象限,求实 数 a 的取值范围。

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解:若 a+1=0,即 a=-1 时,直线 l 的方程为 y=3 满足条件。 若 a+1≠0,即 a≠-1 时,直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距是(2-a)/(a+1), 2-a,由 直线 l 不经过第四象限得

综上:a≤-1

例 10 光线自点 M(2,3)射到 y 轴的 N(0,1)点后被 y 轴反射,求反射光线的方程。

分析一:如图

∵入射线经过两已知点 M、N

∴k=(3―1)/(2―0)=1

即倾斜角为 45°,故入射角θ =

45°

由物理学知识知反射角等于入射角

∴反射光线的倾斜角为 135°,

其斜率为-1,又反射光线过点 N

(0,1)

∴反射光线的方程为 y-1=(―

1)(x―0)

即 x+y-1=0

分析二:如图

由物理学知识知反射角等于入射角

∵入射线经过已知点 M(2,3)

∴M 关于 y 轴的对称点 Q(-2,3)在反射光线上

又反射光线过点 N(0,1),∴其斜率为 k=(3―1)/(-2―0)=-1

∴反射光线的方程为 y-1=(―1)(x―0)

即 x+y-1=0

变:一束光线经过点 A(-2,1),由直线 l:x-3y+2=0 反射后,经过点 B(3,5),

求反射光线所在的直线方程。

解:设点 A(-2,1)关于由直线 l:x-3y+2=0 的对称点为 A′(x0,y0),

由物理学知识知反射角等于

入射角

∴点 A′在反射光线上,又

反射光线过

点 B(3,5),

∴由两点式得:

y?5 ? x?3 ?4/5?5 ?7/5?3 即 29x-22y+23=0 归纳总结

数学思想:数形结合、特殊

到一般

数学方法:公式法

知识点:倾斜角与斜率的定义、点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式

作业:创新作业 直线方程 4

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