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高三数学教案第四节函数的连续性及极限的


第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数 f(x)在点 x=x0 处有定义,lim f(x)存在, 且 lim f(x)=f(x0), x ? x0 x ? x0 那么函数 f(x)在点 x=x0 处连续. 2..函数 f(x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件. (1)函数 f(x)在点 x=x0 处有定义; (2) lim f(x)存在; x ? x0 (3) lim f(x)=f(x0),即函数 f(x)在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值. x ? x0 如果上述三个条件中有一个条件不满足,就说函数 f(x)在点 x0 处不连续.那根据这三个 条件,我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3.函数连续性的运算: ①若 f(x),g(x)都在点 x0 处连续,则 f(x)±g(x),f(x)?g(x), f ( x ) (g(x)≠0)也在点 g ( x) x0 处连续。 ②若 u(x)都在点 x0 处连续, 且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处连续。 4.函数 f(x)在(a,b)内连续的定义: 如果函数 f(x)在某一开区间(a,b)内每一点处连续,就说函数 f(x)在开区间(a,b)内连续, 或 f(x)是开区间(a,b)内的连续函数. f(x)在开区间(a,b)内的每一点以及在 a、b 两点都连续,现在函数 f(x)的定义域是[a, b] ,若在 a 点连续,则 f(x)在 a 点的极限存在并且等于 f(a),即在 a 点的左、右极限都存在, 且都等于 f(a), f(x)在(a,b)内的每一点处连续,在 a 点处右极限存在等于 f(a),在 b 点处左 极限存在等于 f(b). 5.函数 f(x)在[a,b]上连续的定义: 如果 f(x)在开区间(a,b)内连续,在左端点 x=a 处有 x?a ? lim f(x)=f(a),在右端点 x=b 处有 x ?b ? lim f(x)=f(b),就说函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,或 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函 数. 6. 最大值最小值定理 如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最 小值 7.特别注意:函数 f(x)在 x=x0 处连续与函数 f(x)在 x=x0 处有极限的联系与区别。 “连续必 有极限,有极限未必连续。 ” 二、问题讨论 ●点击双基 1.f(x)在 x=x0 处连续是 f(x)在 x=x0 处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析:f(x)在 x=x0 处有定义不一定连续. 王新敞 奎屯 新疆 答案:A π x 的不连续点为 2.f(x)= π cos x cos A.x=0 B.x= 2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1 C.x=0 和 x=2kπ (k=0,±1,±2,?) 2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1 π π π 2 解析:由 cos =0,得 =kπ + (k∈Z),∴x= (k ? Z) . x x 2 2k ? 1 D.x=0 和 x= 又 x=0 也不是连续点,故选 D 答案:D 3.下列图象表示的函数在 x=x0 处连续的是 y y O ① y A.① 答案:A 4.四个函数:①f(x)= B.②③ x0 x O x0 ② x y C.①④ D.③④ 1 x20 x

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