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高三数学教案第四节函数的连续性及极限的


第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数 f(x)在点 x=x0 处有定义,lim f(x)存在, 且 lim f(x)=f(x0), x ? x0 x ? x0 那么函数 f(x)在点 x=x0 处连续. 2..函数 f(x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件. (1)函数 f(x)在点 x=x0 处有定义; (2) lim f(x)存在; x ? x0 (3) lim f(x)=f(x0),即函数 f(x)在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值. x ? x0 如果上述三个条件中有一个条件不满足,就说函数 f(x)在点 x0 处不连续.那根据这三个 条件,我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3.函数连续性的运算: ①若 f(x),g(x)都在点 x0 处连续,则 f(x)±g(x),f(x)?g(x), f ( x ) (g(x)≠0)也在点 g ( x) x0 处连续。 ②若 u(x)都在点 x0 处连续, 且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处连续。 4.函数 f(x)在(a,b)内连续的定义: 如果函数 f(x)在某一开区间(a,b)内每一点处连续,就说函数 f(x)在开区间(a,b)内连续, 或 f(x)是开区间(a,b)内的连续函数. f(x)在开区间(a,b)内的每一点以及在 a、b 两点都连续,现在函数 f(x)的定义域是[a, b] ,若在 a 点连续,则 f(x)在 a 点的极限存在并且等于 f(a),即在 a 点的左、右极限都存在, 且都等于 f(a), f(x)在(a,b)内的每一点处连续,在 a 点处右极限存在等于 f(a),在 b 点处左 极限存在等于 f(b). 5.函数 f(x)在[a,b]上连续的定义: 如果 f(x)在开区间(a,b)内连续,在左端点 x=a 处有 x?a ? lim f(x)=f(a),在右端点 x=b 处有 x ?b ? lim f(x)=f(b),就说函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,或 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函 数. 6. 最大值最小值定理 如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最 小值 7.特别注意:函数 f(x)在 x=x0 处连续与函数 f(x)在 x=x0 处有极限的联系与区别。 “连续必 有极限,有极限未必连续。 ” 二、问题讨论 ●点击双基 1.f(x)在 x=x0 处连续是 f(x)在 x=x0 处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析:f(x)在 x=x0 处有定义不一定连续. 王新敞 奎屯 新疆 答案:A π x 的不连续点为 2.f(x)= π cos x cos A.x=0 B.x= 2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1 C.x=0 和 x=2kπ (k=0,±1,±2,?) 2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1 π π π 2 解析:由 cos =0,得 =kπ + (k∈Z),∴x= (k ? Z) . x x 2 2k ? 1 D.x=0 和 x= 又 x=0 也不是连续点,故选 D 答案:D 3.下列图象表示的函数在 x=x0 处连续的是 y y O ① y A.① 答案:A 4.四个函数:①f(x)= B.②③ x0 x O x0 ② x y C.①④ D.③④ 1 x20 x x=0 x 0 x;③f(x O =ax3+bx ;②gO (x)=sin x)=|x|;④f(x) +cx+d.其中在 x ③ 处连续的函数是____________.(把你认为正确的代号都填上) ④ 答案:②③④ 例 1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性 ? 1 e x ?1 ? ? 1 ( x ? 0) ,点 x=0; (1) f ( x) ? ? ?e x ? 1 ? ? ? 1 ( x ? 0) ?x 2 ? 2 (2) f ( x) ? ? ? x?4 ( x ? ?1) ,点 x=-1。 ( x ? ?1) 解: (1)当 x→0 时, - 1 e ?1 ? ?? , lim e ? 0 ,因此 lim =-1, 1 ? ? x ? 0 x ? 0 x e x ?1 1 x 1 x 1 而 lim x?0 e x ?1 e ?1 1 x ? = lim (1 ? x?0 ? 2 e ?1 1 x f ( x) ? lim f ( x) , ) =1,∵ lim ? ? x ?0 x ?0 ∴ f ( x) 在 x=0 处极限不存在,因此 f ( x) 在 x=0 处不连续。 2 ( 2 )∵ lim? f ( x) ? lim? ( x ? 2) ? 3 , lim? f ( x ) ? lim? ( x ? 4) ? 3 , f (?1) ? 3 , x ??1 x ??1 x ? ?1 x ? ?1 ∴ lim f ( x) ? 3 ? f (?1) ,因此函数 f ( x) 在 x=-1 处连续。 x ? ?1 【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续(闭区间的端点例外) 。 例2.(优化P 208例1) (x>0) ?1 ? (1)讨论函数f(x)= ?0 (x=0) , 在点x ? 0处的连续性 ?-1 (x<0) ? x (2)讨论函数f(x)= 在区间? 0,3? 上的连续性 x-3 剖析: (1)需判断 lim f(x)= lim f(x)=f(0). ? ? x ?0 x ?0 (2)需判断 f(x)在(0,3)上的连续性及在 x=0 处右连续,在 x=3 处左连续. 解:(1)∵ lim f(x)=-1, lim f(x)=1, ? ? x ?0 x ?0 x ?0?

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