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2015届江苏省海安高级中学高三调研测试数学试卷 (理科) 2014年10月


2015 届江苏省海安高级中学 高三调研测试
1. sin 600? ? ▲
2

数学试卷 (理科)

1 ? 2x 14.已知函数 f ( x) ? ,对于 ?? ? R , ?x ? R ,使得 cos? ? m2 ? f ( x) ? sin 2 ? ? m ? 1 成立,则 x ?1 2?2
实数 m 的取值范围是 ▲ . 二、解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分.请在答题卡指 .... 定的区域内作答 , 解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ....... 15. (本小题满分 14 分) 已知 p : log2 ( x ? 2) ? 2 , q :1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) (1)若 p 是 q 的充分条件,求 m 的取值范围; (2)若 m ? 2 , p ∨ q 为真, p ∧ q 为假,求 x 的取值范围.

2014 年 10 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ . A 第 2 题图 B 2.命题“ ?x ? 1 , x ? x ? 0 ”的否定是: ▲ . 3.如图所示的 Venn 图中, A , B 是非空集合,定义集合 A # B 为阴影部 分表示的集合.若 A ? ?0,1,2? , B ? ?1,2,3? ,则 A # B = ▲ .

4.用二分法求方程 2 x ? x ? 4 在区间(1,2)上的近似解,所需数据已由下表 给出,则该方程精确到 0.1 的解为 x 1.25 2.3784 1.3125 2.4837 ▲ 1.375 2.5937
?

. 1.4375 2.7085 1.5 2.8284 1.5625 2.9537 1.625 3.0844 ▲ .

2

x

5.设 ? ? ?? 2,?1,? ,2? ,若幂函数 y ? x 为偶函数且在 ?0,??? 上单调递减,则 ? ? 6.已知扇形的的周长为 4,面积为 1,则扇形的圆心角为 7.函数 y= ▲ .

? ?

1 ? 2 ?

x(4 ? x) 的定义域是 lg( x ? 3)

▲ ▲

. . 16. (本小题满分 14 分) 如图,角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点 A ,直线 MA 垂直 x 轴于点 M , B 是 直线 y ? x 与 MA 的交点,设 f (1)求 f

8.函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 的极大值为 x

?log 2 (5 ? x), x ? 4 9.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? ,则 f (2015) = ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 4





10.已知“半径为 r 的圆内接四边形中,以正方形的面积最大,最大值为 2 r 2 ” ;由此类比可得,半径为 . R 的球内接六面体的体积的最大值为 ▲ (用 R 表示) 11.已知函数 f ? x ? ? ax 2 ? 1? (a ? 0) ,若关于 x 的方程 ? ? f ? x ?? ? ? tf ? x ? ? 2 ? 0 有两个不等实根,则实数 t
2

?? ? ? OA ? OB .

y B A x

?? ? 的解析式;
3 ,求 tan ? 的值. 5
O

的取值范围是



. ,则关于 x 的不等式 f ? x ? ? log ??1 ? c? ? ? 5 4
2
1 2

(2)若 f ?? ? ?

M

x ? 2c,0 ? x ? c, ? ? 12.已知函数 f ? x ? ? ?log x ? 2, c ? x ? 1 ,且 f 1 ? ? 2
解集为 ▲ . 13.给出下列命题中:
2

? cx ? ? x 的

①函数 y ? log 1 (4 x ? x ) 的增区间为 ?2, ??? ;
2

②函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,则函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 1 对称; ③若函数 g ( x) ?

x ? x ? a ? 2 的定义域为 R ,则 a ? 2 ;

④已知 x, y ? R , “若 xy ? 0 , 则 x ? 0 或 y ? 0 ”的逆否命题是: “若 x ? 0 或 y ? 0 ,则 xy ? 0 ” . 其中所有真命题的序号为 ▲ .

17. (本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 16 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 且f (1) ? ?a . (1)若 a ? c ? b ,求

ax ? 1 (a ? R ) . 已知函数 f ( x) ? x
(1)写出 f ( x ) 为奇函数的充要条件,并证明;

b 的取值范围; a

n] ,使得 x0 ?[m , kn] ,求实数 k 的取值范 (2)若 a ? 4 ,存在区间 [m , n] 时, f ( x) 取值范围为 [km ,
围.

(2)求证:函数 f ( x) 在区间(0,3)内至少有一个零点; (3)若 y ? f ( x) ? x 在 (0, ) 内有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 求证:当 x ? ( x1 , x2 ) 时, x1 ? f ( x) ? x2

1 a

18. (本小题满分 16 分) 如图是我海军某部进行海滩登陆演习示意图,我海军要从海上点 A 处出发,先乘登陆舰在海面上航行至 海岸线 BC 上的某点 D 处登陆后,再沿海岸线 BC 方向乘装甲车进攻目标 C .已知 A 到海岸线 BC 的距 离 AB 为 80km , B、C 间的距离为 160km ,登陆舰的速度为 40km / h ,装甲车的速度为 80km / h . (1)设从 A 到 C 所用时间为 t (h) ,按下列要求写出函数关系式(不必写出定义域) : ①设 BD = x (km) ,将 t 表示为 x 的函数; ②设 ? BAD

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? ( a ? 1) x 2 ? 3(a ? R ) . 3 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

B
D

C

(2)函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值 g (a ) . ①求 g (a ) ; ②若过点 (m,

q(rad ) ,将 t 表示为 q 的函数;

(2)请你选择(1)中的一个函数,确定登陆点选在何处时, 从 A 进攻到 C 所用时间最短.

A

25 ) 可作出曲线 y ? g ( x) 的三条切线,求 m 的范围. 3

2015 届江苏省海安高级中学 高三调研测试 数学试卷 (理科) (答案)
2014 年 10 月

∴ f ( x ) 是奇函数

??????????????6 分 y x 4 O
1 4

4x ?1 1 ? 4? , (2)若 a ? 4 , f ( x) ? x x 1 f ( x) 的图像可由反比例函数 y ? ? 图像 x
向上平移 4 个单位而得(如右图所示) ∵ m ? n , km ? kn ,∴ k ? 0 , ∵ x ? 0 ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , ∴ m ? n ? 0 和 m ? 0 ? n 不合题意

一、填空题: 1. ? 10.

1 3 ;2. ?x ? 1, , x 2 ? x ? 0 ;3. ?3? ;4. 1.4;5. ?2 ;6. 2;7. (3, 4) ;8. 2 ;9. ?1 ; 2 e

x

8 3 3 3 2 ? 1? R ;11. t ? ?3 或 t ? ?2 2 ;12. ? 0, ? ;13.②③;14. (? , ?1) ? ( , ??) 9 2 2 ? 2?
??????????????3 分 ??????????????7 分

二、解答题:

?x ? 2 ? 0 15.解: (1)由 log 2 ( x ? 2) ? 2 得 ? ,∴ ?2 ? x ? 2 ?x ? 2 ? 4 ??2 ? 1 ? m 若 p 是 q 的充分条件,则 ? ∴1 ? m ? 3 ?2 ? 1+m (2)由(1)得 p : ?2 ? x ? 2 , m ? 2 ,则 q : ?1 ? x ? 3 ,

p ∨ q 为真, p ∧ q 为假,即一真一假, p 真 q 假,则 ?2 ? x ? ?1 , q 真 p 假,则 2 ? x ? 3
∴ ?2 ? x ? ?1 或 2 ? x ? 3 16.解: (1)根据三角函数定义知, A(cos ? ,sin ? ) , 又 B 是直线 y ? x 与 MA 的交点,所以 B(cos ? ,cos ? ) ∴f

?? ? ? OA ? OB ? cos2 ? ? sin ? cos ?

??????????????10 分 ??????????????13 分 ??????????????14 分 ????2 分 y ????4 分 B ????7 分 A x

1 ?????????9 分 4 ? f (m) ? km 1 1 又 f ( x) ? 4 ? 在 ( , ??) 上单调增,∴ ? ?????????11 分 x 4 ? f (n) ? kn 1 1 即 f ( x) ? kx 在 ( , ??) 有两个不等实数根,即 4 ? ? kx 有两个不等实数根, 4 x 1 4 1 1 k ? ? 2 ? ? ?( ? 2)2 ? 4 , ? (0,4) , x x x x 1 2 设 ? t ,则 k ? ?(t ? 2) ? 4, t ? (0,4) ,∴ 0 ? k ? 4 ?????????4 分 x 18. 解: (1)设登陆点 D 到 B 的距离 x(km) 时,
kn] ? (0, ??) ,∴ [m , ∴ 0 ? m ? n ,∴ [km , n] ? ( , ??) ,

3 ,∴ cos ? ? 0 O M 5 2 cos ? ? sin ? cos ? 1 ? tan ? 2 ? 2 又 f ?? ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? ????9 分 sin 2 ? ? cos 2 ? tan ? ? 1 1 ? tan ? 3 ? ,即 3tan 2 ? ? 5tan ? ? 2 ? 0 , ∴ ????12 分 tan 2 ? ? 1 5 1 ∴ tan ? ? 2 或 tan ? ? ? ??????????????14 分 3 17.解: (1) f ( x ) 为奇函数的充要条件为 a ? 0 ??????????????2 分
(2)∵ f ?? ? ? 必要性: f ( x ) 定义域为 B ? x x ? 0 , 若为奇函数,则对任意的 x ? 0 ,都有 f (? x) ? ? f ( x)

?

?

? ax ? 1 ax ? 1 ?? ,即 ax ? 0 ,对任意的 x ? 0 成立,∴ a ? 0 , ?x x ∴ f ( x ) 是奇函数时, a ? 0 , ??????4 分 1 充分性:当 a ? 0 时, f ( x) ? ? , 满足 f (? x) ? ? f ( x) , x


1 1 802 + x 2 + (160 - x) ??????????????3 分 40 80 设 ?BAD = q 时, 1 80 1 2 - sin q t= ? (160 - 80 tan q) = + 2 ????????6 分 40 cos q 80 cos q 2 - sin q + 2 ,则 (2)取函数 t = cos q 2 - sin q - cos 2 q + (2 - sin q)sin q 2sin q - 1 tⅱ =( + 2) = = ???8 分 cos q cos 2 q cos2 q 1 π 令 t ?= 0 得 sin q = ,即 q = ,又 q 为锐角 ???????????10 分 2 6 π 2 - sin q + 2 单调递减; ∴当 q < 时, t ?< 0 , t = ?????????12 分 6 cos q π 2 - sin q + 2 单调递增; 当 q > 时, t ?> 0 , t = 6 cos q π ∴当 q = 时 t 取得最小值, ??????????????14 分 6 π 80 3 (km) 此时 BD = 80 tan = 6 3 80 3 km 的地方 ????????16 分 答:登陆点 D 选择在距离 B 地 3 t=

(选择另一函数参照步骤给分) 19.解: (1) f (1) ? ?a 则 a ? b ? c ? ?a , 2a ? b ? c ? 0 ,又 a ? c ? b ,∴ a ? 0, b ? 0 ,

?3a ? ?b b ,∵ a ? 0 ,∴ ?3 ? ? ?1 ??????4 分 a ??2a ? 2b (2)∵ f ( x ) 为二次函数,∴ a ? 0 , b b b 2 2 ∴ f ( x) ? ax ? bx ? 2a ? b ? a ( x ? x ? 2 ? ) ,设 ? t , g ( x) ? x2 ? tx ? 2 ? t a a a 则 f ( x) 的零点即为 g ( x) 的零点,即证 g ( x) 在区间(0,3)内至少有一个零点 g (1) ? ?1 ? 0 , g (0) ? ?t ? 2 , g (3) ? 2t ? 7 ①当 g (0) ? ?t ? 2 ? 0 即 t ? ?2 时, g (1) g (0) ? 0 , ∴ g ( x) 在区间(0,1)内必有一个零点,满足题意; ??????????????7 分 ②当 g (0) ? ?t ? 2 ? 0 即 t ? ?2 时, g (3) ? 2t ? 7 ? 3 ? 0 ,∴ g (3) g (0) ? 0 ∴ g ( x) 在区间(0,3)内必有一个零点,满足题意; 综上函数 f ( x) 在区间(0,3)内至少有一个零点. ??????????????10 分
∴ a ? ?2a ? b ? b ,即 ? (3)∵ f ( x) ? x 两个零点 x1 , x2 ,∴可设 f ( x) ? x ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) , ????????12 分 即 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x 则 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x ? x1 ? a( x ? x1 )( x ? x2 ? ) ∵ x ? ( x1 , x2 ) ,∴ x ? x1 ? 0 ,∵ x2 ? ∴ f ( x) ? x1 ? 0 ,即 f ( x) ? x1

1 g (a) ? f (a ) ? ? a 3 ? a 2 ? 3 6 当 f (a) ? f (0) 即 a ? 6 时, g (a) ? f (0) ? 3

????????????8 分

1 a

1 1 ,∴ x ? x2 ? ? 0 a a
??????????????14 分

同理 f ( x) ? x2 ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x ? x2 ? a( x ? x2 )( x ? x1 ? ) ? 0 ∴ x1 ? f ( x) ? x2 ??????????????16 分
2 20.解: f ?( x) ? x ? (a ? 2) x ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? a ? 2 , 2 (1)①当 a ? 2 时, f ?( x) ? x ? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,???????????1 分

1 a

∴ f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??) ;

????????????2 分

? 1 3 2 ?? a ? a ? 3,???? ??a ? 6 综上 g (a) ? ? 6 ????????????10 分 ? ?3,???????????????????????a ? 6? ? 1 3 2 ?? x ? x ? 3,???? ??x ? 6 ② g ( x) ? ? 6 ? ?3,???????????????????????x ? 6? 25 ∵ x ? 6 时, g ( x) ? 3 ,∴过点 (m, ) 无法作 y ? g ( x) 的切线 3 1 3 2 ∴三条切线的切点都在 g ( x) ? ? x ? x ? 3,???? ?? x ? 6 的图像上 6 1 2 设切点为 ( x0 , y0 ) ,∵ g ?( x) ? ? x ? 2 x,??? ?? x ? 6 2 1 2 25 则切线的斜率 k ? ? x0 ? 2 x0 ,???? ?? x0 ? 6 ,∴切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,又过 (m, ) 点, 2 3 25 1 3 1 ? x0 ? x0 2 ? 3 ? (? x0 2 ? 2 x0 )(m ? x0 ) ∴ 3 6 2 1 3 2 即 ? ( x0 ? 6 x0 ? 32) ? x0 ( x0 ? 4)(m ? x0 ) (*) ??????????????12 分 3 25 25 1? 当 x0 ? 4 时, (*)式成立,此时的切线方程为 y ? ,过点 (m, ) 3 3 2? 当 x0 ? 4 时,又 ? ??x0 ? 6 , 1 2 ∴ ? ( x0 ? 2 x0 ? 8) ? x0 (m ? x0 ) ,所以 2x02 ? (3m ? 2) x0 ? 8 ? 0 , ????????13 分 3 设 h( x0 ) ? 2x02 ? (3m ? 2) x0 ? 8 ,则 h( x0 ) 在 ??, 4) (4,6) 上有两个不同的解,
46 ? ? h(0) ? 0 m? ? 9 ? h(6) ? 0 ? ? 2 26 ? ? 3m ? 2 ? ?m? ?6 ∴ ?0 ? 即?3 3 4 ? ? 10 ? ? ? (3m ? 2) 2 ? 64 ? 0 ? m ? ?2或m ? 3 ? ? h (4) ? 0 ? ? ?m ? 4 10 46 ?m? ∴ 且m ? 4 ??????????????16 分 3 3 2 4 2 4 ? 1) , ?? ??x0 ? 6 且 x0 ? 4 ,可作出三条切线则 m ? ( x0 ? ? 1) 在 (法二) m ? ( x0 ? 3 x0 3 x0 10 46 ??, 4) (4,6) 内有两解易得 m ? ( , 4) (4, ) 3 3

②当 a ? 2 时, a ? 2 ? 0 , ∴ x ? (??,0) (a ? 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (0, a ? 2) 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (??,0),(a ? 2, ??) ,减区间为 (0, a ? 2) ; ???3 分 ③当 a ? 2 时, a ? 2 ? 0 , x ? (??, a ? 2) (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (a ? 2, 0) 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (??, a ? 2),(0, ??) ,减区间为 (a ? 2, 0) ; (2)①根据题意, a ? 0 ,由(1)得, 1? 当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [0, a ] 上单调增, ∴ g (a) ? f (a ) ? ? ????4 分

1 3 a ? a2 ? 3 ; ????????????6 分 6 2? 当 a ? 2 时, f ( x) 在 [0, a ? 2] 上单调减,在 [a ? 2, a] 上单调增, 1 3 2 当 f (a) ? f (0) 即 ? a ? a ? 3 ? 3 即 2 ? a ? 6 时, 6


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