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高中数学人教B版必修四3.1.1《两角和与差的余弦公式》word赛课教案2


名师精编 优秀教案 两角和与差的余弦公式教学设计 【教学三维目标】 1.知识与技能目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程, 熟记两角和与差的余弦公式, 运用两角和与差的余弦公式,解决相关数学问题;培养学生严密而准确的数学表达能力;培 养学生逆向思维和发散思维能力; 2 过程与方法目标 :通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力;体 会公式探求中从特殊到一般的数学思想,同时渗透如上所说的多种数学思想。 3.情感、态度、价值观目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美,培养学生良好的 数学表达和思考的能力, 学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好 情感态度。 【高考等级要求】 C 级 【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。 【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程,特别是一般性的推广。 【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡,充分挖掘学生的思考和探究能力,以达 到对公式的深入理解和灵活运用。 【教材分析】 这节内容是教材必修 4 的第三章《三角恒等变换》第一节,是高考的重点考 点,历年高考必考内容,一般在填空或解答题第 15 题出现。教材在学生掌握了任意角的三 角函数的概念、 向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上, 进一步研究用单角的 三角函数表示的两角和与差的三角函数. “两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于 教学的推导方法, 即先借助于单位圆中的三角函数线, 推出α , β , α -β 均为锐角时成立. 对 于α ,β 为任意角的情况,教材运用向量的知识进行了探究.同时,补充了用向量的方法推 导过程中的不严谨之处,这样,两角差的余弦公式便具有了一般性。 【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生,数学表达能力和逻辑推理能力正处于 高度发展的时期,学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。他们经过半 个多学期的高中生活,储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法,这为本节 课的学习建立了良好的知识基础。 【学具准备】 小黑板 圆规 【学法设计】 独立思考,生生交流探究,小组合作 【知识链接】 诱导公式 平面向量的数量积 一、 产生对公式的需求 引入新课 (1 分钟) 首先让学生通过具体实例消除对 “cos(α -β )=cosα -cosβ ” 的误解, 说明两角和 (差) 的三角函数不能按分配律展开。 并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探 索。 二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论 (8 分钟) 独立思考以下问题: (1)向量的数量积 a? (x1 , y1 ), b ? (x2 , y2 ) 则 a ? b ? __________ a ? b ? __________ 名师精编 优秀教案 (2)单位圆上的点的坐标表示 由图可知: OP 1 ? ? ? a ?( ), ? OP2 ? b ? ( ? )则 a ? b ? a ? __________ ___ b ? __________ ___ 问题 1 : cos?P1OP 2 ? cos(45? ? 30?) ? 问题 2 :由 cos(45? ? 30?) ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? 出发,你能推广到对任意的 两个角都成立吗? 问题 3 :两角和与差的余弦公式推导 (一)两角差的余弦公式 设a ? (cos? , sin? ), (cos? , sin? ), b ? a ? b ? cos?cos? ? sin?sin? ? a ? b ? a b cos? ? cos? ? cos?cos? ? sin?sin? 如果 ? ? ? ? [0, ? ] ,那么 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin? 故 cos( 实际上,当 ? ? ? 为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化 ? ? [0,2? ) ,使 cos ? ? cos( ? ? ? ) 。 ? - ? ) ? cos?cos? ? sin?sin? ,对于任意的角 ? , ? 都成立。 综上所述, cos( 名师精编 优秀教案 根据两角差的余弦公式,你可以猜猜 cos(? ? ? ) ? ? 提示:令 ? ? ? ? (二)两角和的余弦公式(学生回答) cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin? 结论: 两角和与差的余弦公式 C (? ? ?) cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 注: 1.公式中两边的符号正好相反(一正一负) ; 2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后; 3.式子中α 、β 是任意的。 4 式子的逆用,变形用 正因为α 、β 的任意性,所以赋予 C(α +β )公式的强大生命力 三. 互相交流,小组活动 公式应用闯关 (12 分钟) 第一关:小试身手 请用特殊角分别代替公式中α 、β ,你能求哪些非特殊角的值呢?(选择的特殊角可以 是 30°60°45°等) (1) cos15 ? ______ ; (2) cos 75 ? ______ ; (3) cos1050 ? ______ ; …… 0 0 问题预测:学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求 cos15°、cos75°、cos105°、 cos(-15°)、cos165°……的值。甚至可能有的同学会说他验证了 cos30°=sin60°……. (让同学感受获得公式后的第一份喜悦)由于初学公式的应用,我选择其中之一作示范。 第二关:再接再厉 若β 固定,分别用 π , π 代替α ,你将会发现什么结论呢? 2 (1) cos(? ? ? ) ? ___________(2) cos(? ? ? ) ? ___________ (3) c

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