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19章一次函数章末小结(第2课时)


第十九章

一次函数

章末小结
第2课时
重庆市实验中学 姜雅仙

如图,l1、l2分别表示张强步行与李华 骑车在同一路上行驶的路程s与时间t的关 系. (1)李华出发时与张强相距 10 千米. (2)李华行驶了一段路后,自行车发生 故障,进行修理,所用的时间是 1 小时. (3)李华出发后 3 小时与张强相遇. (4)若李华的自行车不发生故障,保持 出发时的速度前进, 1 小时与张强相遇, 相遇点离李华的出发点 15 千米.在图中 表示出这个相遇点C.

C

1.一次函数与一元一次方程:
求ax+b=0(a,b是常 数,a≠0)的解.
从“数”的角度看

x为何值时函数y= ax+b的值为0.

求ax+b=0(a, b是 常数,a≠0)的解.

从“形”的角度看

求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标.

2.一次函数与一元一次不等式:
解不等式ax+b>0(a, b是常数,a≠0) .
从“数”的角度看

x为何值时函数y= ax+b的值大于0.

解不等式ax+b > 0(a,b 是常数,a≠0) .

从“形”的角度看

求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分(射线) 所对应的的横坐标的 取值范围.

3.一次函数与二元一次方程组:
?a1 x ? b1 y ? c1 解方程组 ? ? 从“数”的角度看 x ? y ? ? a b c 2 2 ? 2

自变量(x)为何值 时两个函数的值相 等.并求出这个函数值

? ?a1 x ? b1 y ? c1 解方程组 ? ? ?a2 x ? b2 y ? c2

从“形”的角度看

确定两直线交点的 坐标.

1.下列函数中,y随x的增大而减小的有(C ) ①

y ? ?2 x ? 1 ② y ? 6 ? x

1 x ③y?? ? 3 3

④ y ? (1 ? 2 ) x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知一次函数的图象如图所示,当 0 ? x ? 2 时, y的取值 范围是( B ) y ?2 ? y ? 0 B. A. ?4 ? y ? 0

C.y ? ?2

y ? ?4 D.

O

2

x

3.已知mx+n=0的解是x=-2,则直线 (-2,0) . y=mx+n与x轴的交点坐标是________

-4

4.直线 y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的 4 . 解,则a的值是____ 5.直线l1: y1 ? k1 x ? b与直线l2: y 2 ? k 2 x 在同一平面直角 坐标系中,图象如图所示,则关于x的不等式 k 2 x ? k1 x ? b
? k1 ? b ? y1 , 的解集为 x<-2 ,方程组 ?k x ? y 的解 ? 2 2



?

x ??2 y ?3

.

探究1

重庆市2013年7月1日开始实行 y 电价阶梯收费,如果某居民每月应 交电费 y(元)与用电量x(度) 的函数图象是一条折线(如图所 261.5 示),根据图象解下列问题: 218 (1)分别写出当0≤x≤200、200 <x≤400、400<x时,y与x的函数 解析式; 104 (2)利用函数解析式说明电力公 司采用的收费标准; (3)若某用户7月用电300度,则 O 应缴费多少元?若该用户8月缴费 479元,则该用户该月用了多少度 电?

x
200 400 450

探究1

重庆市2013年7月1日开始实行电价阶梯收费,如果某居民每月应交电费 y(元)与 用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题: (1)分别写出当0≤x≤200、200<x≤400、400<x时,y与x的函数解析式; (2)利用函数解析式说明电力公司采用的收费标准; (3)若某用户7月用电300度,则应缴费多少元?若该用户8月缴费479元,则该用户该月 用了多少度电?

y
提问1 :从图上你得到了哪些信息?

这些信息对于解决问(1)有什么作 用?

261.5

218

104

O

x
200 400 450

探究1 重庆市2013年7月1日开始实行电价阶梯收费,如果某居民每月应交电费 y(元)与 用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题: (1)分别写出当0≤x≤200、200<x≤400、400<x时,y与x的函数解析式; (2)利用函数解析式说明电力公司采用的收费标准; (3)若某用户7月用电300度,则应缴费多少元?若该用户8月缴费479元,则该用户该月 用了多少度电?

y

261.5

提问2: 如何根据解析式获得电力公 司的收费标准?一次函数解析式中一 次项系数的实际意义是什么?不用求 解析式可以直接从图象上获得吗?

218

104

O

x
200 400 450

探究1 重庆市2013年7月1日开始实行电价阶梯收费,如果某居民每月应交电费 y(元)与 用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题: (1)分别写出当0≤x≤200、200<x≤400、400<x时,y与x的函数解析式; (2)利用函数解析式说明电力公司采用的收费标准; (3)若某用户7月用电300度,则应缴费多少元?若该用户8月缴费479元,则该用户该月 用了多少度电?

y

提问3: 电力公司的收费标准有 几档?每档的自变量取值范围分别 是什么?如何知道8月用电量的档 位?

261.5

218

104

O

x
200 400 450

探究1

重庆市2013年7月1日开始实行电价阶梯收费,如果某居民每月应交电费 y(元)与 用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题: (1)分别写出当0≤x≤200、200<x≤400、400<x时,y与x的函数解析式; (2)利用函数解析式说明电力公司采用的收费标准; (3)若某用户7月用电300度,则应缴费多少元?若该用户8月缴费479元,则该用户该月 用了多少度电?

解:(1)由图象可知,当0≤x≤200时,y是x的正比例函数, 设 y ? k1 x(k1 ? 0) ,将x=200,y=104代入, 得 k1 ? 0.52 , 所以 y ? 0.52x ; 当200<x≤400时,设 y ? k2 x ? b1 (k2 ? 0) ,将x=200, x=400,y=218
代入,得

?

200 k2 ? b2 ?104, 400 k2 ? b2 ? 218.

解得

当400<x时,设 y ? k3 x ? b3 (k3 ? 0), 将x=400,y=218和将x=450,y=261.5代入, 得

?

k 2 ? 0.57 , 所以y=0.57x-10; b2 ??10 .

?

400 k3 ? b3 ? 218, 450 k3 ? b3 ? 261.5.

解得

?

k3 ? 0.87 , 所以 y ? 0.87 x ? 130. b3 ??130

探究1 重庆市2013年7月1日开始实行电价阶梯收费,如果某居民每月应交电费 y(元)与 用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题: (1)分别写出当0≤x≤200、200<x≤400、400<x时,y与x的函数解析式; (2)利用函数解析式说明电力公司采用的收费标准; (3)若某用户7月用电300度,则应缴费多少元?若该用户8月缴费479元,则该用户该月 用了多少度电?

(2)由(1)知,用户月用电量在0度到200度之间时,每度电的收费标准是 0.52元;超过200度但没有超过400度时,超过的部分每度电的收费标准 是0.57元,超过400度时, 超过的部分每度电的收费标准是0.87元.

(3) 7月用电300度,超过200度但没有超过400度,

所以将x=300代入y=0.57x-10得y=161(元);
8月缴费479元时,用电量超过了400度, 所以将y=479代入

得x=700(度).

探究2

塑料厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表,请你解 答下列问题: (1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨,利润分别为 y1 元和 y2 元,分别求 y1 和 y2 关于x的函数解析式(注:利润=总收入总支出); (2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若 某月要生产甲、乙两种塑料共700吨,该月生产甲、乙塑料各多少 吨,获得的总利润最大?最大利润是多少?
价 目 品 种
甲种塑料

出厂价
2100(元/吨)

成本价
800(元/吨)

排污处理费
200(元/吨) 100(元/吨) 每月还需支付设备管理、 维护费20000元

乙种塑料

2400(元/吨) 1100(元/吨)

探究2

价 出厂价 目 种 甲种塑料 2100(元/吨)



成本价
800(元/吨) 1100(元/吨)

排污处理费
200(元/吨) 100(元/吨) 每月还需支付设备管理、 维护费20000元

乙种塑料

2400(元/吨)

提问1 甲种塑料的总收入= ,甲种塑料的总支出= 乙种塑料的总收入= ,乙种塑料的总支出=

; .

提问2 每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨是什么意思?在解决问 题中有什么作用?若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨是什么意思?

提问3

总利润随哪个变量而变化?如何变化?

探究2

(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨,利润分别为y1 元和y2元, 分别求y1和y2关于x的函数解析式(注:利润=总收入-总支出);
价 出厂价 目 种 甲种塑料 2100(元/吨)
品 乙种塑料 2400(元/吨) 成本价 排污处理费

800(元/吨)
1100(元/吨)

200(元/吨)
100(元/吨) 每月还需支付设备管理、 维护费20000元

解: (1)依题意得:y1 ? (2100 ? 800 ? 200)x ? 1100 x,

y2 ? (2400 ? 1100 ? 100) x ? 20000 ? 1200 x ? 20000.

探究2
价 目 种 甲种塑料 品 乙种塑料 出厂价 2100(元/吨) 2400(元/吨) 成本价 800(元/吨) 1100(元/吨) 排污处理费 200(元/吨) 100(元/吨) 每月还需支付设备管理、 维护费20000元

(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若某月要生 产甲、乙两种塑料共700吨,该月生产甲、乙塑料各多少吨,获得的总 利润最大?最大利润是多少? 解: (2)设该月生产甲种塑料x 吨,则乙种塑料 (700 ? x) 吨,总利润为W元,依 题意得:W ? 1100 x ? 1200(700 ? x) ? 20000 ? ?100 x ? 820000 .
? x ≤ 400, 300 ≤ x ≤ 400. 由题意得 ?700 ? x ≤ 400, 解得: ?

∵ ?100 ? 0 ,∴W随着x的增大而减小,∴当时,W最大=790000(元). 此时, 700 ? x ? 400 (吨). 因此,生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大,最大利润为790000元.

1.直线 y=2x-12与x轴的交点坐标为( A A.(6,0) B.(-6,0) C.(0,6)

) D.(0,-6)

2.已知一次函数 y=kx+b的图象如图所示,由图象可知,方程 kx+b=0的解为 x= -1 ,不等式kx+b>0的解集为 x<-1 .

第2题图

3.某块试验田里每天的 需水量y(千克)与x(天) 之间的关系如折线图所示. 这些农作物在第10天、第 30天的需水量分别为2000 千克、3000千克,在第40 天后每天的需水量比前一 天增加100千克. (1)分别求出x≤40和x >40 时,y关于x的函数解析式; (2)如果这些农作物每天 的需水量大于或等于4000 千克时需要进行人工灌溉, 那么应从第几天开始进行 人工灌溉?

第3题图

b. 解:(1)当x ≤ 40时,设 y ? kx ? .
?2000 ? 10k ? b, 根据题意,得 ? ?3000 ? 30k ? b.
?k ? 50, 解这个方程组,得 ?b ? 1500. ?

当 x ≤ 40时,y关于x的函数解析式是 y ? 50x ? 1500. 当 x ? 40 时,y ? 50 ? 40 ? 1500 ? 3500 . 当 x ≥ 40 时,根据题意,得 y ? 100( x ? 40) ? 3500 , 即 y ? 100 x ? 500 .
∵当

x ≥ 40

时, y 与 x 之间的关系式是

y ? 100x ? 500 .
y ? 100 x ? 500


(2)当 y ≥ 4000 时,y与x之间的关系式是
解不等式 100 x ? 500 ≥ 4000 , 得 x ≥ 45 .

应从第45天开始进行人工灌溉.

通过这节课的复习,你对函数及一次函数有了哪些 新的认识?

在前面学习过程中存在的疑问得到解决了吗?

你还有哪些新的发现?

某超市人事部要招聘甲、乙两种职员共15人,甲种职员每 月的工资为800元,乙种职员每月的工资为1000元,要求乙种职 员的人数不少于甲种职员的2倍,请你用所学知识帮人事部经理 算一算甲、乙两种职员应各招聘多少名时,超市每月所付的工 资总额最少? 解:设招聘甲种职员x 人,则乙种职员(15- x )人,设超 市每月所付的工资总额为y 元.由题意可得: y= 800 x+1000(15- x )=15000-200x . ∵15-x≥2 x , ∴ 0≤ x≤5.

∵ y 是x的一次函数,-200<0, y 随x的增大而减小,
∴当x=5时,超市每月所付的工资总额最少, ∴招聘甲种职员5 人,乙种职员10人时,超市每月所付的工资 总额最少.


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