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高中数学第三章统计案例2独立性检验课件北师大选修2_3_图文


理解教材新知
§2

第 三 章

独 立 性 检 验

考点一

把握热点考向

考点二

应用创新演练

§ 2

独立性检验

1.2×2 列联表 设 A,B 为两个变量,每个变量都可以取两个值,变量 A: A1,A2=- A 1;变量 B:B1,B2=- B 1,用下表表示抽样数据 B A A1 A2 总计 B1 a c a+c B2 b d b+d 总计 a+b c+d n=a+b+c+d

并将此表称为 2×2 列联表.

2.χ2 的计算公式 n?ad-bc?2 a+b??c+d??a+c??b+d? χ2=? ______________________. 3.独立性判断的方法 (1)当 χ2≤2.706 时, 没有充分的证据判定变量 A, B 有关联,
没有关联 的; 可以认为变量 A,B 是__________ 90% 的把握判定变量 A,B 有关联; (2)当 χ2>2.706 时,有_____ 95% 的把握判定变量 A,B 有关联; (3)当 χ2>3.841 时,有_____ 99% 的把握判定变量 A,B 有关联. (4)当 χ2>6.635 时,有_____

(1)独立性检验是一种假设检验, 在对总体的估计中, 通过抽取 样本,构造合适的统计量,对假设的正确性进行判断. (2)使用 χ2 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时,一般要求表 中的 4 个数据都大于 5,数据越大,越能说明结果的普遍性.

2×2 列联表

[例 1] 在调查的 480 名男性中有 38 名患有色盲,520 名女 性中有 6 名患有色盲,试作出性别与色盲的列联表. [思路点拨] 在 2×2 列联表中, 共有两类变量, 每一类变量 都有两个不同的取值,然后出相应的数据,列表即可.

[精解详析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表: 色盲 性别 男 女 患色盲 38 6 不患色盲 442 514

[一点通] 分清类别是作列联表的关键步骤, 对所给数据 要明确属于那一类.

1.下面是一个 2×2 列联表:则表中 a,b 处的值分别为(

)

y1 x1
x2 总计

y2 21
25 46

总计 53
33

a
8 b

A.32,40 C.74,82

B.42,50 D.64,72

解析:a=53-21=32,b=a+8=40.

答案:A

2.某学校对高三学生作一项调查后发现:在平时的模拟考试中, 性格内向的 426 名学生中有 332 名在考前心情紧张,性格外向 的 594 名学生中在考前心情紧张的有 213 人.试作出 2×2 列 联表.

解:列联表如下:

性格情况 考前心情 是否紧张 考前心情紧张 考前心情不紧张 总计 性格内向 332 94 426 性格外向 213 381 594 总计 545 475 1 020

独立性检验的应用
[例 2] (8 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用

简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下:

性别 是否需要志愿者 需要 不需要

男 40 160

女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的 比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿 者提供帮助与性别有关?

[思路点拨]

解答本题先分析列联表数, 后计算 χ2, 再与临界

值比较,判断两个变量是否相互独立.

[精解详析]

(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿

者提供帮助,因此在该地区老年人中,需要帮助的老年人的比 70 例的估计值为 ×100%=14%. 500
2 500 × ? 40 × 270 - 30 × 160 ? (2)χ2= ≈9.967. 200×300×70×430

(4 分) (6 分)

因为 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年 人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. (8 分)

[一点通] 这类问题的解决方法为先确定 a,b,c,d,n 的 值并求出 χ2 的值,再与临界值相比较,作出判断,解题时注意 正确运用公式,代入数据准确计算.

3.在一个 2×2 列联表中,通过数据计算 χ2=8.325,则这两 个变量间有关系的可能性为________.

答案:99%

4.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的 一些情况,具体数据如下表: 非统计专业 男 女 13 7 统计专业 10 20

则 χ2≈________,有________的把握判定主修统计专业与 性别有关.

2 50 × ? 13 × 20 - 10 × 7 ? 解析:χ2= ≈4.844>3.841,故有 95%的把 20×30×23×27

握认为主修统计专业与性别有关.
答案:4.844 95%

5.(福建高考)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名, 25 周岁以下工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与 年龄有关, 现采用分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在 “25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组, 再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组: [50,60), [60,70), [70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频 率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根 据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为 “生产能手与工人所在的年龄组有关”?

P(χ2≥k) k

0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828

2 n ? ad - bc ? 附:χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

解:(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05=3(人),25 周岁以下组工人 有 40×0.05=2(人).

从中随机抽取 2 名工人,记至少抽到一名 25 周岁以下组工 C2 7 7 3 人的事件为 A,故 P(A)=1- 2= ,故所求概率为 . C5 10 10 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25=15(人),“25 周岁 以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人), 据此可得 2×2 列联表如下:

生产能手

非生产能手

合计

25周岁以上组
25周岁以下组 合计

15
15 30

45
25 70

60
40 100

2 2 n ? ad - bc ? 100 × ? 15 × 25 - 15 × 45 ? 所以得 χ2= = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 60×40×30×70

25 = ≈1.79. 14 因为 1.79<2.706, 所以没有 90% 的把握认为 “ 生产能手与工人所在的年龄组有 关”.

独立性检验的基本步骤: 1.列出 2×2 列联表.
2 n ? ad - bc ? 2.求出 χ2= . ?a+c??a+b??b+d??c+d?

3.判断是否有关联,得出事件有关的可能性大小.


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