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第7讲三角函数的综合问题1


第7讲

三角函数的综合问题

1.配方法、换元法、数形结合法、基本不等式法等是三角 函数综合问题中的常用数学方法,学习中要突出这些数学方法. 2.将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种:一是代 入法,二是代换法.最常用的代换就是三角代换.形如条件 x2 sinθ cosθ +y2=1,通常设 x=_______,y=_______.

1.函数 y=cos2x+2sinxcosx 的最小正周期 T=( B ) A.2π B.π π C.2 π D.3

sinx+1 2.对于函数 f(x)= sinx (0<x<π),下列结论正确的是( B )

A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

3. 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数. f(x) 若
?5π? π 的最小正周期是 π,且当 x∈[0,2]时,f(x)=sinx,则 f? 3 ?的值 ? ?

为( D ) 1 A.-2 1 B.2 3 C.- 2 3 D. 2

解析:∵f(x)的最小正周期是
? π? f?-3?,∵函数 ? ?

?5π? ?5π ? π,∴f? 3 ?=f? 3 -2π?= ? ? ? ?

? π? ?π? ?- ?=f? ?= f(x)是偶函数,∴f 3 ? ? ?3?

?5π? π 3 3 ? ?= . sin3= 2 ,∴f 3 2 ? ?

sin22x 4.观察下列结论:sinx+sin3x= sinx ;sinx+sin3x+sin5x sin23x sin24x = sinx ;sinx+sin3x+sin5x+sin7x= sinx ;…,则 sinx+sin3x
sin2nx +sin5x+sin7x+…+sin(2n-1)x 应等于_________. sinx

π x ≤ ,那么函数 f(x)=cos2x+sinx 的最小值是 5.如果 4
? ? ? ?

1- 2 2 ________.

考点 1 三角函数与解析几何 例 1:已知直线 l 的倾斜角α是直线 x-2y-6=0 的倾斜角 sin2α+sin2α 的值. 的 2 倍,求 1-cos2α

1 解析:因为直线 x-2y-6=0 的斜率为2,
2? 1 2 ?1? 1? ? ? ?2?
2

所以 tanα=

4 =3,

sin2α+sin2α 2sinαcosα+sin2α 2cosα+sinα 则 = = 2sinα 2sin2α 1-cos2α 4 2+tanα 2+3 5 = 2tanα = 4=4. 2×3

直线的斜率是倾斜角的正切值,但要注意两条直 线的倾斜角是两倍关系时,它们的斜率并非两倍关系.

【互动探究】

1.已知 D

?x+2y≥0 ? 是由不等式组? ? ?x-3y≥0

,所确定的平面区域,则

圆 x2+y2=9 在区域 D 内的弧长为( C )
π A.4 π B.2 3π C. 4 3π D. 2

解析: 如图 6-7-1, 不等式组所表示的区域如图中阴影部 tanα+tanβ 1 1 分所示,其中 tanα=3,tanβ=2,∴tan(α+β)= = 1-tanαtanβ 1 1 3+2 π π 3π 1 1=1, ∴α+β=4,所求弧长为 3×4= 4 . 1-3· 2

图 6-7-1

考点 2 三角函数与不等式

例 2:已知定义在 R 上的奇函数 f(x)是增函数,对任意θ∈R,
不等式 f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)>0 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

解题思路: 利用函数的单调性和奇偶性, 化简不等式 f(cos2θ -3)+f(2m-sinθ)>0. 解析: ∵奇函数 f(x)在 R 上是增函数且 f(cos2θ-3)+f(2m- sinθ)>0 恒成立?f(cos2θ-3)>-f(2m-sinθ)恒成立 ?f(cos2θ-3)>f(sinθ-2m)恒成立 ?cos2θ-3>sinθ-2m 恒成立,

分离出 m 即

? 1?2 15 得,m>?sinθ+4? +16恒成立, ? ?

? 1? 15 ?sinθ+ ?2+ 的最大值. m> 4? 16 ? ? 1?2 15 5 5 时,?sinθ+4? +16的最大值为2,∴m>2. ? ?

∵当 sinθ=1 故实数 m

?5 ? ? ,+∞?. 的取值范围是 2 ? ?

若一个不等式恒成立,求其中参数的取值范围的 问题,通常采取分离参数法,转化为求最值问题.

【互动探究】

2.设

? π? x=log2(sinθ+cosθ),θ∈?0,2?. ? ?

(1)求 x 的取值范围; (2)设 y= 1 x+ x ,试问当 θ 变化时,y 有没有最小值?如

果有,求出这个最小值;如果没有,说明理由.
? 解:(1)x=log2? ? ? π? ? π 2sin?θ+4??,∵0<θ<2, ? ??

? π? π π 3π 1 ?θ+ ?≤ 2,即 0<x≤ . ∴4<θ+4< 4 , ∴1< 2sin 4? 2 ?

1 ∴x 的取值范围是 0<x≤2.

1 1 1 (2)设 u(x)=x+ x,则 u′(x)=1-x2,当 0<x≤2时, u′(x)<0,故
? 1? ?0, ?上是减函数, u(x)在 2? ?

1 5 ∴当 x=2时,u(x)有最小值2, ∴当 θ 变化时 y= y 最小值= 5 10 2= 2 . 1 x+ x 有最小值.

错源:未对参数进行分类讨论 例 3: 设关于 x 的定义域为 R 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a +1),其中 a 为常数. (1)求函数的最小值为 f(a); 1 (2)试确定满足 f(a)=2的 a 的值.
误解分析:不会利用三角函数的有界性,不会分类讨论.

正解:(1)设 cosx=t,则 记
? a?2 a φ(t)=2?t-2? - ? ?
2

? a ?2 a y=2?t-2? - ? ?

2

+4a+2 , 2

+4a+2 ,t∈[-1,1]. 2

a ①若2≤-1,即 a≤-2 时,函数 φ(t)在区间[-1,1]上是单 调递增函数,所以其最小值为 φ(-1)=1; a ②若-1<2<1,即-2<a<2 时,函数 φ(t)在区间[-1,1]上最 a2 a 小值为函数 φ(t)的极小值 φ(2)=- 2 -2a-1;

a ③若2≥1,即 a≥2 时,函数 φ(t)在区间[-1,1]上是单调递 减函数,所以其最小值为 φ(1)=1-4a.
?1( a ? ? 2 ) ? 2 ? a f(a)= ? ? ? 2 a ? 1( ? 2 ? a ? 2 ) . ? 2 ?1 ? 4 a ( a ? 2 ) ?

综上所述,函数的最小值

1 1 1 (2)∵f(a)=2,∴1-4a=2?a=8?[2,+∞), a2 1 由- 2 -2a-1=2,解得 a=-1∈(-2,2),a=-3 舍去, ∴a 的值为-1.

【互动探究】

3.为使方程 cos x-sinx+a=0 值范围是( B ) A.-1≤a≤1 C.-1≤a<0

2

? π? 在?0,2?内有解,则 ? ?

a 的取

B.-1<a≤1 5 D.a≤-4

解析:设 sinx=t,则方程 cos2x-sinx+a=0 变为 a=t2+t -1,其中 t∈(0,1].∵t2+t-1∈(-1,1],∴-1<a≤1.

例 4:已知角 A 是一个凸四边形的最小内角,sinA 的取值 范围是 D,当 x∈D 时,求函数 y= lo g 1
2

3x ? 1 6x ? 6

的最小值,并求

取得最小值时 x 的值.

解题思路: 3x+1和 6x+6 是一次与二次的关系,结合三 角函数的值域即可切入.

π 解析:∵角 A 是一个凸四边形的最小内角,∴0<A≤2, ∴0<sinA≤1,即 D=(0,1],设 t= 3x+1, t2-1 ∵0<x≤1,∴1<t≤2,x= 3 . 3x+1 3x+1 1 1 2 t 设 M= ,∴ = 2 = ≤ = 8 .当 4 4 2 6x+6 6x+6 2t +4 2t+ t 4 2 且仅当 2t= t ,即 t= 2时,Mmax= 8 . ∵y=log0.5M 在(0,+∞)上是减函数, ∴ymin=log0.5 2 8 =log0.5 5 2-log0.58=2,

1 此时 t= 2即 3x+1= 2,∴x=3.

π 凸四边形的最小内角不超过 2,否则内角和将大 于 2π. 【互动探究】

π 4.已知 0≤θ≤2,求 sin3θ+cos3θ 的最大值与最小值. 解:设 t=sinθ+cosθ.
π π π 3π ∵0≤θ≤2,∴4≤θ+4≤ 4 , π ? ? ∴t=sinθ+cosθ= 2sin(θ+4)∈?1, 2?. ? ? sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
? t2-1? 3 1 3 ?= t- t . =t?1- 2 ? 2 2 ?

3 13 ? ? 设 f(t)=2t-2t ,t∈?1, 2?. ? ? 3 3 ? 1, 2?,∴f′(t)= - t2≤0, ∵t∈ ? 2 2
? ? ?

3 1 ? ? ∴函数 f(t)=2t-2t3 在区间?1, 2?上为减函数, ? ? 2 ∴f(t)min=f( 2)= 2 ,f(t)max=f(1)=1, 2 即 sin θ+cos θ 的最大值是 1,最小值是 2 .
3 3

1.在解析几何中常用三角代换,将二元转化为一元问题.
向量、解析几何、实际应用等中的旋转问题也常引入角变量, 转化为三角函数问题.利用三角函数的有界性,可以求函数的 定义域、值域等. 2.求三角函数最值的常用方法有:①配方法;②化为一个 角的三角函数;③数形结合法;④换元法;⑤基本不等式法等.


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